2020年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷 解析版

2020年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（3分）在给出的一组数0，sin30°，π，，3.14，中无理数有（）A．.1个B．2个C．.3个D．.4个

2．（3分）习近平总书记指出，食品安全是国家安全的重要基础，粮稳则农稳，农稳则国兴2019年12月6日，据国家统计局公布数据，2019年某省粮食总产达4054000吨，总产居全国第四位．40540000用科学记数法表示，正确的是（）

A．4054×104B．4.054×104C．4.054×107D．4054×107 3．（3分）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）

A．B．

C．D．

4．（3分）下列计算中，正确的是（）

A．a2+a3＝a5B．（﹣a5）2＝（a2）5

C．（a3b2）3＝a6b5D．a2?a3＝a6

5．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝28°，那么∠2的度数是（）

A．56°B．62°C．58°D．60°

6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3）关于点O中心对称的点的坐标是（）

A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）7．（3分）如图，在△ABC中，点E和点F分别在边AB，AC上，且EF∥BC，若AE＝3，EB＝6，BC＝9，则EF的长为（）

A．1B．C．D．3

8．（3分）代数式有意义的x的取值范围是（）

A．x≥﹣1且x≠0B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣1且x≠0 9．（3分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（）cm．

A．πB．12πC．15πD．36π

10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b+c≤am2+bm+c（m为实数）．其中结论正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（每小题4分，共16分

11．（4分）因式分解：2xm2﹣12xm+18x＝．

12．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、三，四

象限，则y1y2．（用“＞”，＜”或“＝”连接）

13．（4分）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．

14．（4分）如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为．

三、解答题（本大题共6个小题，共34分

15．（12分）（1）计算（π﹣2020）0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；

（2）解不等式组：．

16．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．

17．（8分）某校教务处为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4“级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．

（1）本次抽查的学生人数人，并将条形统计图补充完整；

（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为级，中位数为级．（3）已知学习能力很强的学生中只有1名女生，现从中随机抽取两人写有关“居家学习”

的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率．18．（8分）如图，我市某景区内有一条自西向东的笔直林荫路经过景点A、B，现市政决定开发景点C，经考察人员测量，景点A位于景点C的在南偏西60°方向，景点B位于景点C的西南方向，A、B两景点之间相距380米，现准备由景点C向该林萌路修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732）

19．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．

20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH ⊥AC，垂足为H，且∠BF A＝∠DBC．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若BH＝3，求AD的长度；

（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．（4分）若一元一次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1?x2的值是．

22．（4分）在一个不透明的盒子里装有3个分别写有数字﹣2，0，1的小球，它们除了数字不同以外其余完全相同，先从盒子里随机抽取1个小球，再从剩下的小球中抽取1个，将这两个小球上的数字依次记为a，b，则满足关于x的方程x2+ax+b＝0有实数根的概率为．

23．（4分）如图，在菱形ABCD中，tan A＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB 沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．

24．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若

AC＝7，AB＝3，则BC?CD＝．

25．（4分）如图，已知点A（t，1）在第一象限，将OA绕点O顺时针旋转45°得到OB，若反比例数y＝（k＞0）的图象经过点A、B，则k＝．

二、解答题（本大题共3小题，共30分）

26．（8分）某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表：

销售价格x（元/袋）25303540

销售件数y275250225200

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？

27．（10分）如图，点E在矩形ABCD对角线AC上由A向C运动，且BC＝2，∠ACB ＝30°，连结EF，过点E作EF⊥DE，交BC于点F（当点F与点C重合时，点E也停止运动）

（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；

（2）如图2，连结DF，与AC交于点G，若DF⊥AC时，求四边形DEFC的面积；

（3）若点E分AC为1：2两部分时，求BF：FC．

28．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象交x轴于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为E．

（1）如图1，求线段AB的长度（用含a的式子表示）及抛物线的对称轴；

（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P点坐标；如果不能，请说明理由；

（3）如图3，当a＝3时，若M点为x轴上一动点，连结MC，将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，连结AC、CN、AN，则△ACN周长的最小值为多少？

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（3分）在给出的一组数0，sin30°，π，，3.14，中无理数有（）A．.1个B．2个C．.3个D．.4个

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：0是整数，属于有理数；sin30°＝，3.14，是分数，属于有理数．无理数有：π，，共2个．

故选：B．

2．（3分）习近平总书记指出，食品安全是国家安全的重要基础，粮稳则农稳，农稳则国兴2019年12月6日，据国家统计局公布数据，2019年某省粮食总产达4054000吨，总产居全国第四位．40540000用科学记数法表示，正确的是（）

A．4054×104B．4.054×104C．4.054×107D．4054×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将数据40540000用科学记数法表示为4.054×107，

故选：C．

3．（3分）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）

A．B．

C．D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：它的俯视图是：

故选：D．

4．（3分）下列计算中，正确的是（）

A．a2+a3＝a5B．（﹣a5）2＝（a2）5

C．（a3b2）3＝a6b5D．a2?a3＝a6

【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据积的乘方对C进行判断；根据同底数幂的乘法对D进行判断．

【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，所以A选项错误；

B、（﹣a5）2＝a10，（a2）5＝a10，所以B选项正确；

C、（a3b2）3＝a9b6，所以C选项错误；

D、a2?a3＝a5，所以D选项错误．

故选：B．

5．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝28°，那么∠2的度数是（）

A．56°B．62°C．58°D．60°

【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到∠1＝∠AEG，再利用角平分线的性质推出∠AEF＝2∠1，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”就可求出∠2的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1＝∠AEG．

∵EG平分∠AEF，

∴∠AEF＝2∠AEG，

∴∠AEF＝2∠1＝56°．

∴∠2＝56°．

故选：A．

6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3）关于点O中心对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）

【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．

【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点A关于原点O中心对称，

∴点B的坐标为：（2，﹣3）．

故选：C．

7．（3分）如图，在△ABC中，点E和点F分别在边AB，AC上，且EF∥BC，若AE＝3，EB＝6，BC＝9，则EF的长为（）

A．1B．C．D．3

【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，EF＝3，

故选：D．

8．（3分）代数式有意义的x的取值范围是（）

A．x≥﹣1且x≠0B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣1且x≠0【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据题意，得

，

解得：x≥﹣1且x≠0．

故选：A．

9．（3分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（）cm．

A．πB．12πC．15πD．36π

【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长．

【解答】解：∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，

∴AD＝AB﹣BD＝18cm，

∴的长为：＝15π（cm），

故选：C．

10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b+c≤am2+bm+c（m为实数）．其中结论正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线可知，a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0．

故①错误；

②由对称轴可知，x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

∴b﹣2a＝0，

故②错误；

③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），

∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；

④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，

∴当x＝m时，y＝am2+bm+c，

∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b+c≤am2+bm+c，故④正确．

综上可知，正确的结论有③④两个．

故选：B．

二、填空题（每小题4分，共16分

11．（4分）因式分解：2xm2﹣12xm+18x＝2x（m﹣3）2．

【分析】首先提公因式2x，再利用完全平方进行二次分解即可．

【解答】解：原式＝2x（m2﹣6m+9）＝2x（m﹣3）2．

故答案为：2x（m﹣3）2．

12．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、三，四象限，则y1＜y2．（用“＞”，＜”或“＝”连接）

【分析】由直线经过的象限可得出k＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合﹣2＜1即可得出y1＜y2．

【解答】解：∵直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，

∴k＞0，b＜0，

∴y随x的增大而增大．

又∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，﹣2＜1，

∴y1＜y2．

故答案为：＜．

13．（4分）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上

一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝6时，平行四边形CDEB为菱形．

【分析】首先含30°角直角三角形的性质得AB＝12，由菱形的性质可得OD＝OB，CD ＝CB，由三角形面积可求出OC，根据勾股定理可得OB，由AD＝AB﹣2OB即可求AD 的长．

【解答】解：连接CE交AB于点O，如图所示：

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，

∴AB＝2BC＝12，AC＝＝＝6，

若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，

∵AB?OC＝AC?BC，

∴OC＝＝＝3，

∴OB＝＝＝3，

∴AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，

故答案为：6．

14．（4分）如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为50°．

【分析】利用三角形内角和定理求出∠B+∠C＝115°，再利用等腰三角形的性质求出∠BOD+∠EOC即可解决问题．

【解答】解：∵∠A＝65°，

∴∠B+∠C＝115°，

∵OB＝OD，OC＝OE，

∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，

∴∠BOD+∠EOC＝180°﹣2∠B+180°﹣2∠C＝130°，

∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠EOC）＝180°﹣130°＝50°，

故答案为：50°．

三、解答题（本大题共6个小题，共34分

15．（12分）（1）计算（π﹣2020）0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）根据实数运算法则解答即可；

（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其交集．

【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣2+﹣4

＝1+﹣2+﹣4

＝﹣5+2；

（2）

解不等式①，得x＞﹣3．

解不等式②，得x≤1．

所以，该不等式组的解集是﹣3＜x≤1．

16．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝?﹣（+）

＝﹣

＝，

当x＝时，

原式＝＝＝+1．

17．（8分）某校教务处为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4“级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．

（1）本次抽查的学生人数50人，并将条形统计图补充完整；

（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为3级，中位数为3级．（3）已知学习能力很强的学生中只有1名女生，现从中随机抽取两人写有关“居家学习”

的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率．【分析】（1）先用“2”级的人数除以它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出“1”

级的人数，然后补全条形统计图；

（2）根据众数和中位数的定义即可得到结论；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男的结果数，然后

根据概率公式计算．

【解答】解：（1）本次抽查的学生人数为12÷24%＝50人，

故答案为：50，

“1”级的学生数为50×8%＝4（人），将条形统计图补充完整如图所示；

（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为3级，中位数为3级，

故答案为：3，3；

（3）画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男的结果数为6，

所以恰好抽到2名男的概率＝＝．

18．（8分）如图，我市某景区内有一条自西向东的笔直林荫路经过景点A、B，现市政决定开发景点C，经考察人员测量，景点A位于景点C的在南偏西60°方向，景点B位于景点C的西南方向，A、B两景点之间相距380米，现准备由景点C向该林萌路修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732）

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意可得，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，AB＝380，然后根据三角函数即可求出CD的长，进而可得距离最短的公路的长．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

由题意可知：

∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，AB＝380，

∴在Rt△BCD中，CD＝BD，

在Rt△ACD中，tan∠DCA＝，

∴tan60°＝＝，

∴CD＝190+190≈519.1（米）．

答：这条公路的长约为519.1米．

19．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．

【分析】（1）先把A点坐标代入y2＝中求出m得到反比例函数解析式为y2＝，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）在第象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；（3）设P（t，0），利用两点间的距离公式得到P A2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2，讨论：根据勾股定理，当∠P AB＝90°时，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；当∠PBA＝90°时，t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；当∠APB＝90°时，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分别解关于t的方程可得到P点坐标．

【解答】解：（1）把A（2，4）代入y2＝得m＝2×4＝8，

∴反比例函数解析式为y2＝，

把B（4，n）代入y2＝得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2），

把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得，解得，

∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6；

（2）当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；

（3）设P（t，0），

∵A（2，4），B（4，2）

∴P A2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，

当∠P AB＝90°时，P A2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0），

当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝P A2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0），

当∠APB＝90°时，P A2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解，

展示所述．P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．

20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH ⊥AC，垂足为H，且∠BF A＝∠DBC．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若BH＝3，求AD的长度；

（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．

【分析】（1）根据切线的判定即可证明BF是⊙O的切线；

（2）根据AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，证明△ACD∽△BOH，对应边，即可求出AD的长；

（3）由（2）可得△ACD∽△BOH，∠DAC＝∠OBH，再根据sin∠DAC＝，设OH＝4a，OB＝7a，可得AC＝2OB＝14a，DC＝8a，根据勾股定理得，BH＝＝a，过C作CM⊥OB于M，再根据OB∥CD，CM⊥OB，可得CM⊥CD，由S四边形OBCD＝S

+S△OCB，进而可求出△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．△OCD

【解答】解：（1）证明：∵∠BF A＝∠BDC，∠BDC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠BF A，

∵OB∥CD，

∴∠BOF＝∠ACD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠BOF+∠F＝90°，

∴∠OBF＝90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

（2）∵BH⊥AC，

∴∠OHB＝90°，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠OHB，

∵∠BOC＝∠ACD，

∴△ACD∽△BOH，

∴，

∵BH＝3，

∴AD＝6；

（3）∵△ACD∽△BOH，

∴∠DAC＝∠OBH，

∵sin∠DAC＝＝，

∴sin∠OBH＝，设OH＝4a，OB＝7a，∴AC＝2OB＝14a，

∴DC＝8a，

∴BH＝＝a，

过C作CM⊥OB于M，

∵OB＝OC，

∴CM＝BH＝a，

∵OB∥CD，CM⊥OB，

∴CM⊥CD，

∴S四边形OBCD＝S△OCD+S△OCB

＝CD?CM+OB?CM

＝（8a+7a）×a

＝，