高中三角函数习题解析精选(含详细解答)
三角函数题解
1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π
个单位，再沿y 轴向
下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.（1－y ）sin x +2y －3=0
B.（y －1）sin x +2y －3=0
C.（y +1）sin x +2y +1=0
D.－(y +1)sin x +2y +1=0
2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
D.等边三角形
4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－
2
π
，2k π＋
2π
］（k ∈Z ）
B.［2k π＋
2
π
，2k π＋2
3π］（k ∈Z ）
C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）
D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）
5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.（
4
π，
2
π
）∪（π，
4
5π）
B.（
4
π，π）
C.（
4
π，
4
5π）
D.（4
π，π）∪（
4
5π，
2
3π）
6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1，
2
π
）∪（
2
π
，3）
C.（0，1）∪（
2
π
，3）
D.（0，1）∪（1，3）
7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2
π
，π）上为
减函数的是（ ）
A.y =cos 2
x
B.y ＝2|sin x |
C.y ＝(
3
1)
cos x
D.y =－cot x
8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）
9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ） A.1＋3
B.1－3
C.－1－3
D.－1＋3
11.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β
12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）
13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋?）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函
数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋?）在［a ，b ］上（ ）
A.是增函数
B.是减函数
C.可以取得最大值－
D.可以取得最小值－m
14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－
2
π＜α＜
2
π)，则α∈（ ）
A.（－
2
π，－
4
π） B.（－
4
π，0）
C.（0，
4
π） D.（
4
π，
2
π）
15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x
B.cos x
C.sin2x
D.cos2x
16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）
A.（
2
π，
4
3π）∪（π，
4
5π）
B.（
4
π，
2π）∪（π，
4
5π）
C.（
2
π，4
3π）∪（
4
5π，
2
3π）
D.（
4
π，
2
π）∪（
4
3π，π）
17.（1997全国，3）函数y =tan （
3
12
1-
x π）在一个周期内的图象是（ ）
18.（1996全国）若sin 2
x >cos 2
x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－
4
3π 4 π ，k ∈Z } B.{x |2k π+ 4 π 4 5π，k ∈Z } C.{x |k π－ 4 π 4 π ，k ∈Z } D.{x |k π+4 π 4 3π，k ∈Z } 19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ） A.［－ 4 3π， 4 π］ B.［－ 2 π， 2 π］ C.［－ 4 π， 4 3π］ D.［0，π］ 20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋ 4 π）＋3cos （3x ＋ 4 π）的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C. 3 2π D. 3 π 21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝ 9 5，那么sin2θ等于（ ） A. 3 22 B.－ 3 22 C. 3 2 D.－ 3 2 22.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8 π 对称，那么a 等于（ ） A. 2 B.－2 C.1 D.－1 23.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan 2 θ >cot 2 θ B.tan 2 θ 2 θ C.sin 2 θ >cos 2 θ D.sin 2 θ －cos 2 θ 24.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0， 3 π］上的最大值是2， 则ω＝ . 25.（2002北京文，13）sin 5 2π，cos 5 6π，tan 5 7π从小到大的顺序是 . 26.（1997全国，18）? ?-???+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____. 27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°2tan40°的值是_____. 28.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x － 6 π）cos x 的最小值是 . 29.（1995上海，17）函数y ＝sin 2 x ＋cos 2 x 在（－2π，2π）内的递增区间是 . 30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝5 1，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 31.（2000全国理，17）已知函数y ＝ 2 1cos 2x ＋ 2 3sin x cos x ＋1，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 34.（1994上海，21）已知sin α＝5 3，α∈（ 2 π，π），tan （π－β）＝ 2 1， 求tan （α－2β）的值. 35.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0， 2 π），若x 1、x 2∈（0， 2 π），且x 1 ≠x 2，证明 2 1［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （ 2 2 1x x +）. 36.已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- ⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 37. 求函数f (x )=12 1log cos( )3 4 x π + 的单调递增区间 38. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间； ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。 39若关于x 的方程2cos 2(π + x ) - sin x + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。 参考答案 1.答案：C 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动 2 π 个单位 和1个单位，因此可得y = ) 2 cos(21 π - +x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x － 2 π ）+2（y +1）－1=0，即得C 选项. 2.答案：B 解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α 由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 3.答案：C 解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 4.答案：A 解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间. 5.答案：C 解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4 π 和 4 5π， 由图4—6可得C 答案 . 图4—6 图4—7 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7） 6.答案： C 解析：解不等式f （x ）cos x ＜0?? ? ??<<>?300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或 ∴?? ?<<< ??<<<<1 0102 3 1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.答案：B 解析：A 项：y =cos 2 x =2 2cos 1x +，x =π，但在区间（ 2 π ，π） 上为增函数. B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2 π ，π）上 为减函数. C 项：函数y =cos x 在( 2 π ，π)区间上为减函数,数y =（ 3 1）x 为减函数.因此y =（ 3 1） cos x 在（ 2 π ，π）区间上为增函数. D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2 π ，π）上为增函数. 8.答案：C 解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 9.答案：B 解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3. 11.答案：D 解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同. 12.答案：D 解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0， 2 π）时，y ＝－x cos x ＜ 0. 13.答案：C 解法一：由已知得M ＞0，－ 2 π＋2k π≤ωx ＋?≤ 2 π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在 ［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋?＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C. 解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a ，b ］为［－ 2 π， 2 π］，M ＝1，则 g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C. 评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋?）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题. 14.答案：B 解法一：取α＝± 3 π，± 6 π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－ 6 π适合， 又只有－ 6 π∈（－ 4 π，0），故答案为B. 解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－ 2 π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－ 4 π，0） 评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好. 15.答案：B 解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）2sin x = 2 1sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案：B 解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B. 解法二：取α＝ 3 π ∈（ 2, 4π π），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝ 6 5π∈（ 4 3π， π），则P 点不在第一象限，排除D,选B. 解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得 2 4 π απ < <或π＜α＜ 4 5π，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法. 17.答案：A 解析：y ＝tan （ 3 12 1- x π）＝tan 2 1（x － 3 2π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝ 3 2π时，y =0，故选A. 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键. 18.答案：D 解析一：由已知可得cos2x =cos 2 x －sin 2 x <0，所以2k π+ 2 π<2x <2k π+ 2 3π，k ∈Z .解得k π+ 4 π 4 3π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2 x > 2 1.因此有sin x > 2 2或sin x <－ 2 2.由正 弦函数的图象（或单位圆）得2k π+ 4 π 4 3π或2k π+ 4 5π 4 7π（k ∈Z ）， 2k π+ 4 5π 4 7π可写作（2k +1）π+ 4 π 4 3π，2k 为偶数，2k +1为奇 数，不等式的解可以写作n π+ 4 π 4 3π，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 19.答案：A 解法一：由已知得： 2 sin （x － 4 π）≤0，所以2k π＋π≤x － 4 π≤2k π＋2π，2k π＋ 4 5π≤x ≤2k π＋ 4 9π，令k =－1得－ 4 3π≤x ≤ 4 π，选A. 解法二：取x ＝ 3 2π，有sin 2 13 2cos ,2 33 2- == ππ，排除C 、D ， 取x ＝ 3 π，有sin 3 π＝ 2 13 cos ,2 3= π ，排除B ，故选A. 解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A. 评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象， 属基本 求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用. 20.答案：C 解析：y ＝4sin （3x ＋ 4 π ）＋3cos （3x ＋ 4 π ）＝5［ 5 4sin （3x ＋ 4 π ）＋ 5 3cos （3x ＋ 4 π ）］ ＝5sin （3x ＋ 4 π ＋?）（其中tan ?＝ 4 3） 所以函数y ＝sin （3x ＋4 π ）＋3cos （3x ＋ 4 π ）的最小正周期是T ＝ 3 2π. 故应选C. 评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝ 2 2b a +sin （α＋?），其中sin ?＝2 2 b a b +， cos ?＝ 2 2 b a a +，及正弦函数的周期性. 21.答案：A 解法一：将原式配方得（sin 2 θ＋cos 2 θ）2 －2sin 2 θcos 2 θ＝ 9 5 于是1－ 2 1sin 22θ＝ 9 5，sin 22θ＝ 9 8，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋ 2 3π 从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝ 3 22，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋ 2 3π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝ 3 22，得2sin 2θcos 2 θ＝ 9 4，并与sin 4θ＋cos 4 θ＝ 9 5相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2 ＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号 的判别. 22.答案：D 解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－ 8 π 对称，表明：当x =－ 8 π 时，函数取 得最大值 12+a ， 或取得最小值－12 +a ,所以有［sin （－4 π）+a 2cos （－ 4 π）］2 =a 2+1， 解得a =－1. 评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式. 23.答案：A 解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋ 2 π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即 2 θ 为第一象 限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan 2 θ ＞cot 2 θ . 解法二：由已知得：2k π＋ 2 π＜θ＜2k π＋π，k π＋ 4 π＜ 2 θ＜ k π＋ 2 π，k 为奇数时，2n π＋ 4 5π＜ 2 θ＜2n π＋ 2 3π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋ 4 π＜ 2 θ＜2n π＋ 2 π（n ∈Z ），都有tan 2 θ＞ cot 2 θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 24.答案： 4 3 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ ω π 2＞2π ∴f （x ）在［0， 3 π ］区间上为单调递增函数 ∴f （x ）max ＝f （ 3 π ）即2sin 23 =ωπ 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝ 4 3 25.答案：cos 5 6π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos 5 6π＜0，tan 5 7π＝tan 5 2π ∵0＜x ＜ 2 π时，tan x ＞x ＞sin x ＞ ∴tan 5 2π＞sin 5 2π＞0 ∴tan 5 7π＞sin 5 2π＞cos 5 6π 26.答案：2－3 解析： ? ???= ? ?-?-???+?-?= ? ?-???+?8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 3230sin 30cos 115tan -=? ?-= ?=. 评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 27.答案：3 解析：tan60°= ? ?-?+?40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°， ∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3. 28.答案：－ 4 3 解析：y ＝sin （x － 6 π ）cos x ＝ 2 1［sin （2x － 6 π ）－sin 6 π ］＝ 21［sin （2x － 6 π ）－ 2 1］ 当sin （2x － 6 π ）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝ 2 1（－1－2 1）＝－ 4 3. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.答案：［2,23π π- ］ 解析：y ＝sin 2 x ＋cos 2 x ＝2sin （ 4 2 π + x ），当2k π－ 2 π ≤ 2 x ＋ 4 π≤2k π＋ 2 π （k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－2 3π≤x ≤4k π＋ 2 π （k ∈Z ），只有k ＝0时，［－ 2 3π， 2 π ］ （－2π，2π）. 30.答案：－ 4 3 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝ 25 1 变形得1－2sin θcos θ＝2－ 25 1， 即（sin θ－cos θ）2 ＝ 25 49 又sin θ＋cos θ＝ 5 1，θ∈（0，π） 则 2 π ＜θ＜ 4 3π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝ 5 7，于是 sin θ＝ 5 4，cos θ＝－ 5 3，cot θ＝－ 4 3. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ2cos θ＝－ 25 12，又θ∈（0，π），有cos θ＜0 ＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－ 5 1x － 25 12＝0的两个根，故有cos θ＝－ 5 3， sin θ＝ 5 4，得cot θ＝－ 4 3. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 31.解：（1）y ＝ 2 1cos 2x ＋ 2 3sin x cos x ＋1 ＝ 41（2cos 2x －1）＋ 4 1＋ 4 3（2sin x cos x ）＋1 ＝ 41cos2x ＋ 4 3sin2x ＋ 4 5 ＝2 1（cos2x 2sin 6 π ＋sin2x 2cos 6 π ）＋ 4 5 ＝ 2 1sin （2x ＋ 6 π ）＋ 4 5 y 取得最大值必须且只需2x ＋ 6 π ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝ 6 π ＋k π，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6 π ＋k π，k ∈Z ｝. （2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移 6 π ，得到函数y ＝sin （x ＋ 6 π ）的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 2 1倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋ 6 π ）的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 1倍（横坐标不变），得到函数 y ＝ 2 1sin （2x ＋ 6 π ）的图象； ④把得到的图象向上平移 4 5个单位长度，得到函数y ＝ 2 1sin （2x ＋ 6 π ）＋ 4 5的图象； 综上得到函数y ＝ 2 1cos 2x ＋ 2 3sin x cos x ＋1的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力. 32.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos 6 π ＋cos x sin 6 π ）＝2sin （x ＋ 6 π ），x ∈R y 取得最大值必须且只需x ＋ 6 π ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝ 3 π＋2k π，k ∈Z . 所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3 π＋2k π，k ∈Z ｝ （2）变换的步骤是： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移 6 π ，得到函数y ＝sin （x ＋ 6 π ）的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋ 6 π ）的图象； 经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 33.解：原式＝ 2 1（1－cos40°）＋ 2 1（1＋cos100°）＋ 2 1（sin70°－sin30°） ＝1＋ 2 1（cos100°－cos40°）＋ 2 1sin70°－ 4 1 ＝ 43－sin70°sin30°＋ 2 1sin70° ＝4 3－ 2 1sin70°＋ 2 1sin70°＝ 4 3. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力. 34.解：由题设sin α＝ 5 3，α∈（ 2 π，π）， 可知cos α＝－ 5 4，tan α＝－ 4 3 又因tan （π－β）＝ 2 1，tan β＝－ 2 1，所以tan2β＝ 3 4tan 1tan 22 - =-β β tan （α－2β）＝ 24 7 1134 43 2tan tan 12tan tan =++ -= +-β αβα 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝ 2 12 1212 21 1cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x += + 2 121cos cos )sin(x x x x += ) cos()cos() sin(2212121x x x x x x -+++= 因为x 1，x 2∈（0， 2 π），x 1≠x 2， 所以2sin （x 1＋x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1－x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）＜1＋cos （x 1＋x 2）， 由此得tan x 1＋tan x 2＞ ) cos(1)sin(22121x x x x +++， 所以 2 1（tan x 1＋tan x 2）＞tan 22 1x x + 即 2 1［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （ 2 2 1x x +）. 36.解（1）x 必须满足sin x -cos x >0，利用单位圆中的三角函数线及5224 4 k x k π πππ+<<+ ，k ∈Z ∴ 函数定义域为) 4 5k 2,4 k 2(π+ ππ+ π，k ∈Z ∵ sin cos )4 x x x π-=-∴当x ∈ 5(2,2)4 4 k k π πππ+ + 时，0sin()14 x π <- ≤∴ 0sin cos x x <- 1 2 1log 2 y - ≥∴ 函数值 域为[+∞ - ,2 1） （3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴()f x 不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sin x +cos x 的符号 37.解：∵f (x )=12 1log cos( )3 4 x π + 令4 3 1π + = x t ,∴y=t cos log 2 1,t 是x 的增函数,又∵0< 2 1<1, ∴当y=t cos log 2 1为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+ 2 π (k ∈Z),∴2k π≤ 4 31π + x <2k π+2 π (k ∈Z) ,6k π-4 3π≤x<6k π+ 4 3π (k ∈Z),∴f (x )=)4 3 1cos( log 2 1π + x 的单调递减区间是 [6k π-4 3π,6k π+ 4 3π) (k ∈Z) 38.解： （1）T=π （2）增区间[k π-12 π，k π+ 12 5π]，减区间[k π+ ]12 11k ,125π+ ππ （3）对称中心（6 2 k π+π，0），对称轴π + π= 12 52k x ，k ∈Z 39.解：原方程变形为：2cos 2 x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2 x - sin x + a = 0,∴ 8 17)4 1(sin 22sin sin 22 2 - + =-+=x x x a ,∵- 1≤sin x ≤1 ,∴8 174 1sin m in - =- =a x 时，当； 11sin m ax ==a x 时，当, ∴a 的取值范围是[1,817- ] 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝31 ，则sin β 的值是( )． A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ，4π∪??? ??4π5 ，π B ．?? ? ??π ，4π C ．?? ? ??4π5 ，4π D ．??? ??π ，4π∪??? ? ?23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ??? ? ? 3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ?? ? ??6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ??? ? ? 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??? ???3π4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin α＝ 552，2 π ≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ?? ? ??α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ??? ? ? 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ??? ? ? 6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－2 1 |sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题： 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 【典型例题】： 1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又1cos sin 22=+a a ， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=???????==x x x x 2、求) 330cos()150sin()690tan() 480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值。 解：原式) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o ο οοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3、若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求x x cos sin 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=- 得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=???????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =10 3 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-， 所以2 2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-， 三角函数高考试题精选 一.选择题（共１８小题） 1.(２0１7?山东)函数y＝ｓin2ｘ+cos2x的最小正周期为( ) A． B.?C．πD.２π 2．(201７?天津）设函数f(x）＝２sｉn(ωx+φ），x∈R,其中ω＞0，|φ|＜π．若ｆ(）=2,f(）=0，且f（x)的最小正周期大于２π,则（) Ａ．ω=，φ=Ｂ.ω=，φ=﹣ C．ω＝，φ=﹣Ｄ．ω=,φ= 3．（2０１７?新课标Ⅱ）函数f（x)=ｓin（２x+）的最小正周期为(）A.4πＢ.2π?C.π?D． 4．（2017?新课标Ⅲ)设函数f(x)=cos(x+），则下列结论错误的是（）A．ｆ（x）的一个周期为﹣２π B．y=f(x）的图象关于直线x=对称 C．ｆ(x+π)的一个零点为x= Ｄ．f（ｘ)在(，π）单调递减 ５.（2017?新课标Ⅰ)已知曲线C ：y=cosx,Ｃ2：y＝sin(2ｘ＋），则下面结论 １ 正确的是（) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 Ｂ.把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平１ 移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 Ｄ．把Ｃ1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线C2 6．(20１7?新课标Ⅲ)函数f（x)=siｎ(x+)＋ｃｏs(x﹣)的最大值为（）A．?B.１?C.Ｄ. 7.(2016?上海)设a∈Ｒ，b∈[0，２π），若对任意实数x都有sin(3x﹣)=ｓin(ax+b),则满足条件的有序实数对（a,b)的对数为( ） A．１ B.2 C．3?D.4 8.（2０16?新课标Ⅲ)若tａnα=,则cos2α+２sin2α＝（） A.? B.C．1 D． 9.(2016?新课标Ⅲ)若tanθ=﹣,则coｓ2θ=（) A.﹣Ｂ.﹣Ｃ.D． 10.（20１６?浙江)设函数f（x）＝sｉn2x＋bsinx+c,则f（ｘ）的最小正周期() A．与b有关,且与c有关Ｂ.与b有关，但与c无关 C.与ｂ无关,且与ｃ无关? D.与ｂ无关，但与c有关 １１．（2016?新课标Ⅱ)若将函数y=2ｓiｎ2ｘ的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象的对称轴为（） A．ｘ=﹣(k∈Z)?B.x=+（k∈Z)?C.x=﹣(ｋ∈Ｚ）Ｄ．x=+（k∈Ｚ） １2.(2０16?新课标Ⅰ）已知函数f(x）＝sin（ωｘ+φ)(ω＞0，｜φ|≤)，x=﹣ 为f(x）的零点，ｘ=为y=f(x)图象的对称轴，且ｆ(x)在(,)上单调，则ω的最大值为( ) Ａ.11 B．9 C．7 D．５ 13．(２01６?四川)为了得到函数ｙ=ｓin(2ｘ﹣)的图象,只需把函数y＝sin2x 的图象上所有的点(） A.向左平行移动个单位长度?Ｂ．向右平行移动个单位长度 任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6 π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是（ ） A 3 B －３ C ±3 D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是 ，则△ABC 是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则 是（ ） A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10．已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） 锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 高中数学基础知识典型例题4——三角函数 数学基础知识与典型例题 第四章三角函数 三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表 角的概念1.①与α（0°≤α<360°）终边相 同的角的集合 （角α与角β的终边重 合）:{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ; ②终边在x轴上的角的集 合:{}Z k k∈ ? =, 180 | β β; ③终边在y轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β; ④终边在坐标轴上的角的集 合：{}Z k k∈ ? =, 90 | β β. 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2π180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数， 例1.已知2弧度的圆心 角所对的弦长为2,那么 这个圆心角所对的弧长 为( ) ()2 A ()sin2 B 2 () sin1 C ()2sin1 D 例 2. 已知α为第三象 限角,则 2 α 所在的象限 是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 负角的弧度数为负数，零角的 弧度数为零,熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下，扇形弧长公式 1 2 r α =，扇形面积公 式2 11 || 22 S R Rα ==，其中α为弧所对圆心角的弧 度数。 三 角 函 数 的 定 义 1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角 形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边 上任取一点(,) P x y（与原点不重合），记 22 || r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由 角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 kπ αα ±→或 90 2 k αα ±→ 之间函数值关系() k Z ∈，其规律是“奇变偶不变， 符号看象限”；如sin(270) α -=cosα - ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商 数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 例 3.已知角α的终边经 过P(4,-3),求 2sinα+cosα的值. 例 4.若α是第三象限 角,且cos cos 22 θθ =-, 则 2 θ 是( ) ()A第一象限角 ()B第二象限角 () C第三象限角 () D第四象限角 例5. 若cos0, θ>sin20, θ< 且 初三三角函数试题精选 一．选择题（共10小题） 1．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B．C．D． 2．（2016?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（） A．B．C．D． 3．（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（） A．B．C．D． 4．（2016?西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始 沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2 D．3cm2 5．（2016?绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（） A．B．C．D． 6．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（） A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 7．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 8．（2016?苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（） A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 EF FK -＝26（分米）， ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 63 -（2）＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且 MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD； （3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17 5 S1时，求cos∠ABC的 值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 （1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA； 学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结 阶段 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课 课前 检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一：函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。 分析：要求1 sin 2+ = y的定义域，只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合，即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Z k∈即可。 解：由题意知需0 1 sin 2≥ + x，也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此 可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y2 sin 2 3- =（2）2 sin 2 cos2- + =x y x 分析：利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。 解：（1） 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y （2） ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 三角函数题解 1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π个单位，再沿y 轴向 下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C.（y +1）sin x +2y +1=0 D.－(y +1)sin x +2y +1=0 2.（2002春北京、，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－ 2 π，2k π＋ 2 π］（k ∈Z ） B.［2k π＋ 2 π ，2k π＋ 23π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 5.（2002全国文5，理4）在（0，2π），使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.（ 4π ， 2 π ）∪（π， 45π） B.（ 4 π，π） C.（ 4π ， 4 5π ） D.（ 4 π，π）∪（ 45π，2 3π） 6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ） A.（0，1）∪（2，3） B.（1， 2 π ）∪（ 2 π，3） 图4—1 高中数学三角函数练习题及答案解析（附答 案） 一、选择题 1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3 【解析】观察题图可知0到3为一个周期， 则从2 013到2 014对应着1到2到3. 【答案】 B 2．－330是() A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A 3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是() A．45－4360 B．－45－4360 C．－45－5360 D．315－5360 【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D. 【答案】 D 4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角B．第二象限的角 C．第三象限的角D．第四象限的角 【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ， －k360＋180180－－k360＋270，kZ， 180－是第三象限的角． 【答案】 C 5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为() A．＝＋90 B．＝90 C．＝＋90－k360 D．＝90＋k360 【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D 二、填空题 6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同， ＝k360＋60，kZ. 【答案】k360＋60，kZ 7．是第三象限角，则2是第________象限角． 【解析】∵k360＋180k360＋270，kZ k180＋90k180＋135，kZ 当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】 三角函数的诱导公式 【知识点1诱导公式】 【知识点2诱导公式的记忆】 诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a , cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a, cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z 诱导公式四: cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^?-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z 诱导公式六: Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿 记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数 时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号. 【考点1利用诱导公式求值】 【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完 成求值. 【例1】(2018秋?道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值. T 、 COS (Λ^ + α)sin(^? - a) (I )------------------------------------- ； tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a) sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召—— cos^ a - sm^ a + tan(;T - a) 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要 求式子的值. 【答案】解：?.?角α终边上有一点P(l,l), .x = l , y = l , r =|OP I= √7, Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X ([) cos(∕r + α)sin(%-α) 、 -、，兀 、 tan(^? + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π ([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r - a) cos 2a - sin 2a 一 tan a 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思 想，属于基础题. 【变式1-1】 (2019春?龙潭区校级月考)己知tan(^+ ?) = -!,求下列各式的值: -COSa ?smα ton a + cos 2(x 解三角形3 一、选择题 1．在ABC ?中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ?的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．318 2．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 3．在ABC ?中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ） A ． 30或 60 B ． 45或 60 C ． 60或 120 D ． 30或 150 4．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80=A D ．14=a ，16=b ， 45=A 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322 =-+x x 的根，则第三边长是（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 二、填空题 1．在ABC ?中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于_________________． 2．在ABC ?中，5=a ， 105=B ， 15=C ，则此三角形的最大边的长为____________． 3．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________。 4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。 6．若A 、B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<） 7．若在△ABC 中，∠A=,3,1,600==ABC S b 则C B A c b a sin sin sin ++++=_______。 1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π????<< ??? 个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6π B ．3 π C ．12π D ．23π 2．已知函数()sin 23f x x π? ?=+ ??? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π个长度单位 3 ．若11sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13 或-1 4．2014cos()3π的值为（ ） A ．12 B C ．12- D ． 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6．若sin a = -45，a 是第三象限的角，则sin()4 a π+=（ ） （A ） -10 （B ）10 （C ） -10 （D ）10 7．若552)4sin(2cos -=+π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．34- B ．4 3- C ．43 D ．34 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2(π -上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A ．向右平移 4 π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4 π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2 π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2 π个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()2g π等三角函数练习题及答案
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