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华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

第 11 章（之1）（总第59次）

教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：

**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-2

1连续区域是．

答：x y 2

1+>

**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?

?22

2222000

，则（）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续

**2. 画出下列二元函数的定义域：（1）=

u y x -；

解：定义域为：{

}

x y y x ≤)

,(，见图示阴影部分：

（2）)1ln(),(xy y x f +=；

解：{}

1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．

（3）y

x y

x z +-=

．解：

()()?

?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．

***3. 求出满足2

y x x y y x f -=??

? ??+的函数()y x f ,. 解：令??

??=+=x y

t y x s ， ∴??

???+=+=t st y t s x 11

∴()()

()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22

222，即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：

()()

0,0,11lim

x xy y x +-+→．

解：()(

)(

)

(

)(

)

222

112111110y

x xy y x y

x xy xy

x xy ++++≤

+++=

+-+≤

()

122

2→+++=

xy y x （()()0,0,→y x ） ∴

()()

011lim

0,0,=+-+→y

x xy y x ．

**5. 说明极限()()2

20,0, lim y x y x y x +-→不存在．

解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．

首先，0=x 时，极限为()()1lim 22

22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，

其次，0=y 时，极限为()()1lim 22

22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，

故极限()()2

20,0,y y lim +-→x x y x 不存在．

**6. 设1

12sin ),(-+=

xy x y y x f ，试问极限

),(lim )

0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？

解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数

12sin ),(-+=

xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

***7. 试讨论函数z x y

=+-arctan

1的连续性．解：由于arctan x y

+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．

**8. 试求函数f x y xy

x y

(,)sin sin =

+22ππ的间断点．

解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续．又f x y xy

x y

(,)sin sin =

+22

ππ是初等函数．所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．

第 11 章（之2）（总第60次）

教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]

**1.解下列各题：（1）函数3

2),(y x y x f +=

在)0,0(点处（）

（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在；（B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在；（C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在；（D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在．答：（D ）．

（2）设z x y x

=+-()arcsin

2，那么

??z y (!,)

2= （）

(A) 0 ； (B) 1； (C) π2； (D) π4

．答：(D)．

（3）设()xy y x f =

,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．

解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴

x f ，同理 0)0,0('=y f ．

**2. 设z x y x y e xy =-+++2322ln ，求 z z x y ,．解：z x x y

ye x xy

=+++1322

， z y x y xe y xy =-+++2322．

**3. 求函数x

z arctan =对各自变量的偏导数. 解：2

222,y x x

z y x y z y

x +=+-=．

**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()

=++≠+=??

?222222

，求f f x y (,),(,)0000．

解：f x x x x x (,)lim

ln 000022==→， f y

y y (,)lim 0000

00=-=→．

***5. 求曲线?

??=+-=12

2x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．

解：由于曲线在平面1=x 内，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，

得切线与y 轴的夹角为 4

1arctan π

．[也可求出切向量为{}1,1,0]

∴夹角={}{}4

22arccos

110,1,01,1,0arccos 22π

==+．

***6. 设函数?(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-?在点)0,0(偏导数

)0,0(x f '存在，

（1）证明?(,)000=；（2）证明)0,0(y f '也一定存在．

解：（1）lim

(,)(,)

lim (,)???????x x f x f x x x x

→→-=0

00000?，因为)0,0(x f '存在，所以 lim

(,)lim (,)

????????x x x x x x x x

→+→-?=-?0000??

即 ??(,)(,)0000=-，故 ?(,)000=．

（2）由于?(,)x y 在点)0,0(连续，且?(,)000=，所以0→?y 时，),0(y ??是无穷小量，

而y

y ??是有界量，所以0),0(lim )

0,0(),0(lim

=???=?-?→?→?y

y y y f y f x y ?，即0)0,0(='y f ．

第 11 章（之3）（总第61次）

教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]

**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．

解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=

()zdz

x xdy dx x y z xdx y xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=

∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=

， ()()?

?????=?0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xy

x z -+=1arctan

的全微分：解：xy

x d dz -+=1arctan

)arctan (arctan y x d +=

211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d ++

**3. 设z xy xy =-sec ()ln()

21，求d z ．

解：2

22)]1[ln()]1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z

)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]

1[ln(122

y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )

1(ln )(cos )1()

d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=

xy xy xy y x x y xy xy xy ．

**4. 利用df f ≈?，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+，并利用上式计算

()()2203.498.2+的近似值．

解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+，设()22,y x y x f +=

，03.0,02.0,4,3=?-=?==y x y x ，

于是 ()2

x y y x x y

x ydy xdx y x df +?+?=

++=

，

()()2

,,y

x y y x x y x f y y x x f +?+?+

≈?+?+，

∴

()()()()

012.54

303.0402.034303.498.22

222

2=++-+

+≈+．

***5．已知圆扇形的中心角为

60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了

1，r 减少了1cm ，

试用全微分计算面积改变量的近似值．解：180

212πα

S =

， ))(2(360

2ααπ

d r dr dS +=

，

∴ )(4533.17)360

)20(360)1(60202(

22cm dS S -=?+-???=≈?π．

***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向 k j i l

-+=2 的方向导数P

??．

解：z

y x f z

y x f z y x 323

322

321

++=

，

??????-=61,6

,62l e ，

∴ 65161,6

,6253,52,51=??

????-???????=??=??l P

e f l

．

***7. 函数z x

=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值．解：

??z x

x y y

(,)

002

0011111112

+++?? ??

， ??z y

x y x y (,)

(,)

()0022001

111111

+++?? ??

??-++?????

?=-， {}{}??αααα?z l =+-=-?=1212121122cos ()sin ,cos ,sin cos ，其中?为{} l =cos ,sin αα与 g =-????

1212,的夹角，

所以?=0时，即

l 与

g 同向时，方向导数取最大值??z l =22

．

**8. 对函数 xyz

e z y x

f =),,( 求出 ),,(z y x f ? 以及 )3,2,1(f ?.

解： {

}

xyz xyz xyz

xye xze yze f ,,=?，{}2,3,6)3,2,1(6e f =?．

**9. 求函数z y x z y x f 1)(),,(+=在点)2

1,21,21(

-+=e e P 处的梯度．解：??

???????++-++=?--)ln()(,)(1,)(12

1111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}

24,2,2)2

1,21,21(

e e e e e

f -=-+?．

***10. 讨论函数?????=+≠+++=0

00,1sin ),(22222

2y x y x y

x y x y x f 在点（0，0）处的连

续性，可导性和可微性．

解：因为 lim (,)lim sin

(,)x y x y f x y x y x y

f →→→→=++==0

000，所以f x y (,)在点（0，0）连续．

因为 lim

(,)(,)lim sin ()???????x x f x f x x x x →→+-=0

00001，极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．

第 11 章（之4）（总第62次）

教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法

**1.解下列各题：

（1）若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3

422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则

),(2 x x f v '= ( )

(A) 1222

++x x

(B) x

x x 21322

+ (C) 1222

+-x x (D) 1322

++x x

答：(A)

（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2

=++所确定，则

??z

=_________．答： 21

xyz xy

-- ．

（3）方程

x z ??=??3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______.

答：0=??u

．

**2. 设u x y z x r y r z r =++===222

,cos sin ,sin sin ,cos θ?θ??求

????θ???

u r u u ,,．解：

()??θ?θ??u

x y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，

0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=?θθ??θ

?r y r x u

，

0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=??θ?θ??

?r z r y r x u

．

**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率．解：h r V 2

1π=

， s cm h r dt

dt dh

r dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /112525

15313232πππ===+=???+???=

*4. 设,3y e z x -=而4

,sin t y t x ==，求

．解：3

2334cos y t t e dt

dy z dt dx z dt dz x

y x -=+=．

**5. 若)

2y x f xy z -=

，证明：z y z x y z y x x z xy 2

222+=??+??．解：2

2222,2f

f xy xf z f f y x yf z y x '

+='-=，则 z y z x f

y x xy yz x z xy y x 22222

)

(+=+=

+． **6. 设 )cos ,,(2

x xy ye xe f u x y =，求

du y

x u ,,????．

解：

3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e x

x y -++=?? ， 3221cos xf x f e f xe y

x y ++=??， [][]

dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．

**7. 求由方程

y z z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数y

z x z ????,．解：z

x z

yz y z

x z

Fz Fx z x +=-

--=-=21

，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211

．

**8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求

dz y

x z ,,????．解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ，解得 3

1xF F zF yF z x ++-

=，

两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ．解得3221xF F F xF z y ++-

= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 3

13231

++-++-=．

***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求

??z x 和??z y

．解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，

d ()d ()d z F F yF x F xF y

F F =-

+++++1232323

，

??z x F F yF F F =-+++12323， ??z y F xF F F =-++2323

． ***10. 求由方程z xyz a a 3

30-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向

量

兰州大学高等数学课程作业题及答案

兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)

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(D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0

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高等数学基础第一次作业点评1 第1章函数第2章极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。第九章、第十章典型习题一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式中正确的是（）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

高等数学课后习题答案第六章

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§微分方程基本概念 *1．微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下）习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

高等数学第六版课后全部答案

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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n

华东理工大学高等数学答案第11章

第 11 章（之1）（总第59次）教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ??????? ．答：x y 221+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ，则（） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域：（1）= u y x -；解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分：（2）)1ln( ),(xy y x f +=；解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线 1 -=xy 用虚线表示）．（3）y x y x z +-= ．解：．

***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222，即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→．解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

华理高数全部复习资料之数列与无穷级数

第8章数列与无穷级数（一）数列 1．数列极限的定义若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限，或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2．数列极限的运算法则若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3．数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5．数列极限与函数极限的联系

对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ，且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系（1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。（2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。（二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列。若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质（１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。（2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。（3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

吉林大学作业及答案-高数A1作业答案

高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月

第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ；（B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0；（C ）x arctan 是无界函数；（D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )．（A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )．（A ）π；（B ）π3 2 ；（C ）π2；（D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ）（A ）0；（B ）1；（C ）0. 5；（D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞ →c a n n ；（C ）n n a ∞ →lim 不存在；（D ）0lim =∞ →n n a ．二、填空题

1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ．三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ．解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →，解：(1)当1||>x 时由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时

兰大网络教育高等数学课程作业及答案

高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分收起解析

答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C

5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)

知识点：多元函数微分收起解析答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分收起解析答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)

知识点：无穷级数收起解析答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用

答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程

高等数学下册复习题及答案

一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本大题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界，求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。

利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)

2017兰大网络教育高等数学2课程作业及答案

高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1. (4分)图2 ? A. A ? B. B ? C. C ? D. D 知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案D 2. (4分)图19-13 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C)

? D. (D) 知识点：多元函数微分收起解析答案B 3. (4分)图14-27 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C 4. (4分)图14-24 ? A. (A)

? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C 5. (4分)图20-43 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案D

6. (4分)图19-15 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D)知识点：多元函数微分收起解析答案A 7. (4分)图23-18

? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：重积分收起解析答案D 8. (4分)图17-104 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：无穷级数收起解析答案B

9. (4分)图20-83 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案A 10. (4分)图14-26 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析

高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

华丽高数上作业答案

第12次作业教学内容：§3.1微分 **1. ．求，设　dy x x x x y x ),4 0(2tan )(cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-=　. **2. 设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则　令　dx e e x x 4212--+-=　. **3. 设　且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ??0 解: )() (ln x x u ??= 记，则du u x x d )()()(ln ????'=??????dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ??????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2??????　. **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由 033 3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴.

**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由　得　dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin(). **6. .26 3 的近似值用微分方法计算解:127)()()()(0003 -=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令　 959.2271 3263 =- ≈. **7. .151cos ,0 的值计算用微分代替增量解: f x x x x ()cos === ==．，000150561180ππ ?, 8747.036023180 )150(sin 150cos )151(000-≈-- =? -≈π π f . **8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀外半径为在一个内半径为量。个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7, 解: ，．．，86.72.0534 1113==?==ρπr r r V )(6.4932086.7486.712 11g r r m ≈?=???≈ππ，，，，9.18005.02.5222==?=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π. **9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l T π

高数下册第十一章第七次作业答案

第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为。解填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。解填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=??

2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（）。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。解填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（）。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。解填（B ）