1.1.3 瞬时变化率导数瞬时速度与瞬时加速度学案(二)
一、学习目标
(1)理解瞬时速度与瞬时加速度的定义,掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义;理解△x无限趋近于0的含义;
(2)运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.
二、学习重点、难点
重点:瞬时速度和瞬时加速的定义
难点:求瞬时速度和瞬时加速的的方法.
三、学习过程
【复习回顾】
1. 曲线上一点处的切线斜率:设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y)
k=
及邻近的一点Q(x +?x, f(x+ ?x)),过P、Q两点作割线,,则割线PQ的斜率为
PQ
. 当?x→0时,动点Q将沿曲线趋向于定点P,从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率,当△x→0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,即K为.在△x→0时的极限值.
练习:曲线的方程为y=x2+1,求曲线在点P(1,2)处的切线方程.
【问题情境1】
平均速度:物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度?
【问题情境2】
跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++,那么我们就会计算任意一段的平均速度v ,通过平均速度v 来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?
我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况.
问题:1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗? 关于这些数据,下面的判断对吗?
2.当t ?趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是t 从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.
3. 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度; 4. 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度;
5. -13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1s m /. 分析:
【构建数学】
瞬时速度和瞬时加速度
(1)平均速度: 物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. (2) 位移的平均变化率:
(3)瞬时速度:当t ?无限趋近于0时, 限趋近于一个常数,这个常数称为0t t =时的瞬时速度.“逼近”思想和以直代曲思想;
如何得到求瞬时速度的步骤?
a 、先求时间改变量t ?和位置改变量
b 、再求平均速度
c 、后求瞬时速度:当t ?无限趋近于0,t s
??无限趋近于常数v 为瞬时速度.
(4)速度的平均变化率:
(5)瞬时加速度:当t ?无限趋近于0 时, 无限趋近于一个常数,这个常数称为0t t =时的瞬时加速度
注:瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率,感受速度的平均变化率与加速度的关系,以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系.
三、例题分析
例1:物体作自由落体运动,运动方程为:
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s 2.求:
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度;(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度;(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.
2
21
gt s =
例2 设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设()t s 时的速度为
2
()3v t t =+,求0()
t t s =时轿车的加速度.
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时原油的温度)(C
为157)(2
+-=x x x f )80(≤≤x .计算第2 h 和第6 h 时,原油的瞬时变化率,并说明意义.
四、课堂练习
1.质点沿x 轴运动,设距离为()x m ,时间为()t s 时,2
105x t =+,则当
00t t t t
≤≤+?时,质点的平均速度为 ;当0
t t =时,质点的瞬时速度
为 ;当
00t t t t
≤≤+?时,质点的平均加速度为 ;当
t t =时,质点的瞬时加速度为 .
2.一质点的运动方程为2
10s t =+(位移单位:m ,时间单位:s ),试求该质点在3t s =的瞬时速度.
3.自由落体运动的位移()s m 与时间()t s 的关系为212s gt =
(g 为常数).
(1)求
0()
t t s =时的瞬时速度;
(2)分别求1,2,3t s =时的瞬时速度.
五、课堂小结
本节课主要学习了物体运动的瞬时速度与瞬时加速度的定义,掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.充分理解由平均速度的“逼近”转化成瞬时速度与瞬时加速度的过程,培养学生解决实际问题的能力,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.充分感受到学习数学的乐趣,体会到数学的研究方法和内在美.
六、课后作业
1.已知物体做自由落体运动的方程为2
1(),2
s s t gt ==
若t 无限趋近于0时,(1)(1)
s t s t
+?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( )
A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的速度
B .9.8/m s 是在1~(1+t )s 这段时间内的速度
C .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的速度
D .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度.
2.如果质点M 按规律2
3S t =+运动,则在一小段时间中相应的平均速度等于( ) A .4 B .4.1 C .0.41 D .3
3.如果某物体的运动方程是2
2(1)s t =-,则在 1.2t =秒时的瞬时速度是( ) A .4 B .4- C .4.8 D .0.8
4.设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米,并且3
2
423s t t t =+-,则物体在运动开始的速度为( )
A .3/m s
B .-3/m s
C .0/m s
D .2/m s
5.任一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是2
3t t s -=,则物体的初速度是( )
A. 0
B.3
C.-2
D.t 23-
6.枪弹在枪筒中可以看成是匀加速运动,如果它的加速度是5
2
5.010/m s ?.枪弹从枪筒弹出的时间为3
1.610s -?,求枪弹弹出枪口时的瞬时速度.(位移公式是2
12
s at =,其中a 是加速度,t 是时间)
7.设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米,并且3242
-+=t t s ,试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度.
8、一块岩石在月球表面上以
24m
s 的速度垂直上抛,()t s 时达到的高度为
2240.8h t t =-(单位:m ).
(1)求岩石在()t s 时的速度、加速度; (2)多少时间后岩石达到最高点.
9.一作直线运动的物体其位移s 与时间t 的关系是2
3s t t =-. (1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2秒时的瞬时速度; (3)求t=0到t=2时的平均速度.