2020-2021学年吉林省长春市九台区八年级上学期期末数学试卷

2020-2021学年吉林省长春市九台区八年级上学期期末数学

试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各数中，属于无理数的是（）

D．√7

A．－1 B．3．1415 C．1

2

2．若一个有理数的平方根与立方根是相等的，则这个有理数一定是（）

A．0 B．1 C．0或1 D．0和±1

3．下列命题中，逆命题是真命题的是（）

A．直角三角形的两锐角互余

B．对顶角相等

C．若两直线垂直，则两直线有交点

D．若x=1，则x2=1

4．已知等腰三角形中有一个角等于40?，则这个等腰三角形的顶角的度数为

A．40?B．100?C．40?或70?D．40?或100?5．图中的尺规作图是作（）

A．线段的垂直平分线B．一条线段等于已知线段

C．一个角等于已知角D．角的平分线

6．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（）

A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm

7．如图是某手机店今年1﹣5月份音乐手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相

邻两个月音乐手机销售额变化最大的是

A．1月至2月B．2月至3月C．3月至4月D．4月至5月8．若b为常数，要使16x2+bx+1成为完全平方式，那么b的值是（）

A．4 B．8 C．±4 D．±8

9．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的ABC是（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对

10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）

A．48 B．60 C．76 D．80

11．如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．26 C．47 D．94

二、填空题

12．计算：a2?5a=．

13．因式分解：x2y－4y= ．

14．如图将4个长、宽分别均为a、b的长方形，摆成了一个大的正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是．

15．将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于点E，则△EBD的形状是．

16．某校对1200名学生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一个小组的频率为0.25，则该组的人数是________.

17．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于．

18．如图，将一根长为20cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为 cm ．

19．如图，OC 平分∠AOB ，点P 是OC 上一点，PM ⊥OB 于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，若PM=5，则PN 的最小值为 ．

三、解答题

20．计算：√9+√?83+4×√1

4

21．化简：（x －2）（x+3）－（2x 3－12x ）÷2x．

22．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连接AD ．DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 是垂足．图中共有多少对全等三角形？请直接用“≌”符号把它们分别表示出来．（不要求证明）

23．先化简，再求值：（a －1）2－a （a+1），其中16

a ． 24．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB 分别交BC 、AB 于点D 、E ，且CD=DE ，求∠B 的度数．

25．如图所示，在ABC ?中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，且3,AE ABD =?的周长为13，求ABC ?的周长．

26．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判定△ABC 的形状． 27．某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图．

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图和扇形统计图；

（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？

（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？

（无原图）

28．图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm ），其中矩形ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF 为矩形绸缎旗面．

（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm ）；

（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h ．

29．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF ．

（1）求证：AD 平分∠BAC ．

（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．

30．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，BC=10cm，点D在线段AC上，且CD=2cm，动点P从BA的延长线上距A点10cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动了t秒．

（1）求AD的长．

（2）直接写出用含有t的代数式表示PE= ．

（3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．因此可判断√7是无理数．

故选D

考点：无理数

2．A

【详解】

解：根据平方根的意义：一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，任意有理数都有立方根，因此符合条件的只有0．

故选A

【点睛】

本题考查平方根与立方根．

3．A

【解析】

试题分析：先写出逆命题，再分别分析各题设是否能推出结论，即可得出逆命题是假命题的选项．

A．直角三角形两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B．对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题；

C．若两直线垂直，则两直线有交点的逆命题是若两直线有交点，则这两直线垂直，是假命题；

D．若x=1，则x2=1的逆命题是若x2=1，则x=1，是假命题．

故选A．

考点：真假命题

4．D

【分析】

由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解即可求得答案．

【详解】

∵等腰三角形中有一个角等于40°，

∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；

②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°-40°×2=100°．

∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．

故选：D．

【点睛】

考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．

5．A

【分析】

根据图象以及做线段垂直平分线的作法，即可得出答案．

【详解】

根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线，

故选A．

6．C

【详解】

根据折叠可得：AD=BD，

∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，

∴AD+DC=17﹣5=12（cm）.

∵AD=BD，

∴BD+CD=12cm.

故选C.

7．C

【分析】

根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的音乐手机销售额的变化值，比较即可得解：【详解】

解：1月至2月，30﹣23=7万元，

2月至3月，30﹣25=5万元，

3月至4月，25﹣15=10万元，

4月至5月，19﹣14=5万元，

所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是3月至4月．

故选C ．

8．D

【解析】

16x 2+bx+1=（4x ）2+bx+1，

∴bx=±2×4x×1，

解得b=±

8． 故选D ．

9．A

【分析】

根据勾股定理求得△ABC 各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．

【详解】

∵正方形小方格边长为1

∴2222313AC =+=，2226452AB =+=，2228165BC =+=，

∵在△ABC 中AB 2+AC 2=52+13=65，BC 2=65

∴AB 2+AC 2=BC 2

∴网格中的△ABC 是直角三角形．

故选A ．

【点睛】

解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．

10．C ．

【解析】

试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

∴在Rt △ABE 中，AB 2=AE 2+BE 2=100，

∴S 阴影部分=S 正方形ABCD －S △ABE ，

=AB 2－12

×AE×BE

=100－1

2

×6×8

=76．

故选C．

考点：１．勾股定理；２．正方形的性质．

11．C

【解析】

解：如图

根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即故选C．

12．5a3．

【解析】

试题解析：原式=5a3．

考点：单项式乘单项式．

13．y（x－2）（x+2）．

【解析】

试题解析：x2y－4y=y（x2－4）=y（x－2）（x+2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

14．（a+b）2－（a－b）2=4ab．

【解析】

试题分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积．即（a+b）2-（a-b）2=4ab，即4ab=（a+b）2-（a-b）2．

故选C．

考点：完全平方式的推导

15．等腰三角形．

【解析】

试题分析：根据折叠的性质可知∠DBC=∠DBE，然后根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，因此可得∠DBE=∠EDB，根据等角对等边可证得△DBE为等腰三角形．

考点：等腰三角形的判定

16．300．

【解析】

试题解析：该组的人数是：1200×0．25=300（人）．

考点：频数与频率．

17．60°．

【解析】

试题解析：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，∴OA=OB，

∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，

∴OA=AC，

∴OA=OB=OC=AC，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=60°．

考点：等边三角形的判定与性质．

18．7．

【分析】

当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．

【详解】

设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，

根据勾股定理，得：c2=a2+b2，

解得：c=13，

则筷子露在外面最短为20-13=7cm，

故答案为：7

考点：勾股定理

19．5．

【解析】

试题分析：根据垂线段最短可得PN ⊥OA 时，PN 最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN=5．

考点：1．垂线段，2．角平分线的性质

20．7

【解析】

试题分析：根据平方根的性质和立方根的性质可解答：先化简二次根式，再合并即可． 试题解析：√9?√?83+4√14

=3+2+2

=7

考点：1．二次根式，2．立方根

21．x ．

【解析】

试题分析：根据多项式乘以多项式的法则去括号，再按多项式除以单项式的法则去第二个括号，再合并同类项即可．

试题解析：原式=x 2+3x －2x －6－x 2+6

=x ．

考点：整式的混合运算．

22．△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF ．

【解析】

试题分析：先确定每对三角形，再根据全等三角形的判定方法来进行验证我们的假设是否正确．

试题解析：共有3对．△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF ．

证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，

∴BD=DC ．

∵AD=AD ，

∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．

同理可证其它两对三角形全等．

考点：全等三角形的判定．

23．12

． 【解析】 试题分析：将（a －1）2展开进行化简，再将16a =

代入上式，即可求解． 试题解析：（a －1）2－a （a+1），

=a 2－2a+1－a 2－a ，

=－3a+1， 当16a =时，原式=1316-?+=12

． 考点：整式的混合运算—化简求值．

24．∠B=30°．

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线性质得出AE=BE ，推出∠A=∠ABE ，根据角平分线性质得出∠ABE=∠CBE ，推出∠A=∠ABE=∠CBE ，得出3∠CBE=90°，求出即可．

试题解析：∵DE 是AB 的垂直平分线，

∴AE=BE ，

∴∠A=∠ABE ，

∵DE=CE ，∠C=90°，DE ⊥AB ，

∴∠ABE=∠CBE ，

∴∠A=∠ABE=∠CBE ，

∵∠C=90°，

∴3∠CBE=90°，

∴∠CBE=30°，

即∠A=30°．

考点：1．线段垂直平分线，2．角平分线的性质

25．19

【解析】

【分析】

根据DE 是AC 的垂直平分线，可得AD=DC, 26AC AE ==;然后再列出△ABC 的周长，运

用等量代换即可完成解答.

【详解】

解：DE 垂直平分AC ，

AD DC ∴=，26AC AE ==，

ABD ?的周长为13，

即13AB AD BD ++=，

13AB DC BD ∴++=，

13619AB DC BD AC ∴+++=+=，

即ABC ?的周长为19.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

26．等腰直角三角形

【分析】

首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC 的形状．

【详解】

解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，

∴a 4－b 4－a 2c 2+b 2c 2=0，

∴（a 4－b 4）－（a 2c 2－b 2c 2）=0，

∴（a 2+b 2）（a 2－b 2）－c 2（a 2－b 2）=0，

∴（a 2+b 2－c 2）（a 2－b 2）=0

得：a 2+b 2=c 2或a=b ，或者a 2+b 2=c 2且a=b ，

即△ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

考点：勾股定理的逆定理．

27．（1）（2）该

学校学生最喜欢借阅漫画类图书．（3）漫画类240（本），科普类：210（本），文学类：60（本），其它类：90（本）．

【解析】

解：（1）如图所示

一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图

（2）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书．

（3）漫画类：600×40%=240（本），科普类：600×35%=210（本），

文学类：600×10%=60（本），其它类：600×15%=90（本）．

28．（1）3cm；（2）70cm．

【分析】

（1）要求最大直径，根据题意知它的最大周长是5×2=10，再根据圆周长公式进行计算；（2）分析可知需要计算彩旗的对角线的长．

【详解】

解：（1）根据题意，旗裤的周长为5×2=10，

设旗杆的直径为d，

∴πd≤10，

∴d≤10

π

≈3.18，

∴旗杆的最大直径3cm；

（2）彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，

，

∴h=220-150=70cm．

29．（1）详见解析；（2）AB +AC ＝2AE ，理由详见解析.

【分析】

（1）根据相“HL ”定理得出△BDE ≌△CDF ，故可得出DE ＝DF ，所以AD 平分∠BAC ； （2）由（1）中△BDE ≌△CDE 可知BE ＝CF ，AD 平分∠BAC ，故可得出△AED ≌△AFD ，所以AE ＝AF ，故AB +AC ＝AE ﹣BE +AF +CF ＝AE +AE ＝2AE ．

【详解】

证明：（1）∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，

∴∠E ＝∠DFC ＝90°，

∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形，

∵在Rt △BDE 与Rt △CDF 中,

,,

BD CD BE CF =??=? ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，

∴DE ＝DF ，

∴AD 平分∠BAC ；

（2）AB +AC ＝2AE ．

理由：∵BE ＝CF ，AD 平分∠BAC ，

∴∠EAD ＝∠CAD ，

∵∠E ＝∠AFD ＝90°，

∴∠ADE ＝∠ADF ，

在△AED 与△AFD 中，

,,

,EAD CAD AD AD ADE ADF ∠=∠??=??∠=∠?

∴△AED ≌△AFD ，

∴AE ＝AF ，

∴AB +AC ＝AE ﹣BE +AF +CF ＝AE +AE ＝2AE ．

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．

30．（1）6cm；（2）2t；（3）1或4秒．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理求得AC的长，然后再由AD=AC-CD可求解；（2））直接用速度乘以时间即可；

（3）分两种情况讨论，求出时间t即可．

试题解析：（1）6cm；

（2）2t；

（3）存在；当△ABC≌△ADP时AP=AC=8cm

∴PE="10-8=2" cm

∴t=1

当△ABC≌△APD时AP="AB=6" cm

∴PE="10-6=4" cm

∴t=4．

考点：1．勾股定理，2．三角形全等的性质