【高考数学热点问题】第7炼 分段函数的性质与应用
第7炼 分段函数的性质与应用
分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看” 一、基础知识：
1、分段函数的定义域与值域——各段的并集
2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题
（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否
则是断开的。例如：()221,34,3x x f x x x -≤?=?->?
，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那
么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如 ()2
21,3
1,3
x x f x x x -≤?=?->?中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,1
13,1
x x f x x x -+≥?=?
-+
5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
二、典型例题
例1：已知函数2211
()1
x x f x x ax x ?+
思路：从里向外一层层求值，()0
0212f =+= ()()()0242f
f f a ∴==+
所以4242a a a +=?= 答案：2a =
例2：设函数()()cos ,0
11,0x x f x f x x π>?=?+-≤?
，则
103f ??
- ???
的值为_________ 思路：由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠
()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。由此可得：
107412123433333f f f f f ??????????
-=--=--=--=- ? ? ? ? ???????????，而 221cos 332f π??
==- ???
10932f
??
∴-=- ?
??
答案：9
2
-
小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：()()0,11x f x f x <=+-可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1+直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。
例3：函数()34,22,21
x x f x x x -≤??
=?>?
-?，则不等式()1f x ≥的解集是( )
A. ()5,1,3
??-∞+∞????
U B. []5,1,33??-∞????
U
C. 51,3??????
D. 5,33??????
思路：首先要把()1f x ≥转变为具体的不等式，由于()f x 是分段函数，所以要对x 的范
围分类讨论以代入不同的解析式：当2x ≤时，()1341f x x ≥?-≥，可解得：1x ≤-或53x ≥
。所以1x ≤-或523x ≤≤；当2x >时，()211211
f x x x ≥?≥?≥--解得3x ≤，所以23x <≤，综上所述：[]5,1,33x ??∈-∞????
U
答案：B
例4：已知函数10
()1
0x x f x x x -+
-≥?，则不等式()1(1)1x x f x +++≤的解集是________ 思路：要想解不等式，首先要把()1f x +转变为具体的表达式，观察已知分段函数，
10
()1
0x x f x x x -+
-≥?，x 占据()f 整个括号的位置，说明对于函数()f x 而言，括号里
的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0时，代入下段解析式。故要对1x +的符号进行分类讨论。（1）当101x x +
111x x x x x -+≤?-
（2）当101x x +≥?≥-时，()111f x x x +=+-=，不等式变为：
()
21121011x x x x x x ++≤?+-≤?--≤-+
1,1x ?∴∈--+?
答案：1,1x ?∈--?
例5：已知函数()2
123,0
21,0
x x x x f x x +?-++≤?=?+>??，则不等式()()283f x f x x +<+的解集为
___________
思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及
28,3x x x ++的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混
在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析()f x 的图像性质，发现()f x 的两段解析式均可作图，所以考虑作出()f x 的图像，从而发现()f x 是增函数，
从而无论2
8,3x x x ++在哪个范围，()()
22
8383f x f x x x x x +<+?+<+，从而解
得：4x <-或2x > 答案：()(),42,-∞-+∞U
小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。
例6：已知函数()2
22,0
2,0
x x x f x x x x ?+≥?=?-
A ．[)1,0-
B ．[]0,1
C ．[]1,1-
D ．[]2,2- 思路：本题可以对a 进行分类讨论，以将()()()21f a f a f -+≤变成具体不等式求解，但也可从,a a -的特点出发，考虑判断()f x 的奇偶性，通过作图可发现()f x 为偶函数，所以()()f a f a -=，所解不等式变为()()1f a f ≤，再由图像可得只需1a ≤，即
11a -≤≤
答案：C 小炼有话说：
（1）本题判断函数()f x 的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中
,a a -的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示
（2）由于()f x 两段图像均易作出，所以在判断()f x 奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到()(),f x f x - ，只是在代入过程中要注意,x x -的范围：设
()0,x ∈+∞，则(),0x -∈-∞，()()()()2
222,22f x x x f x x x x x ∴=+-=--?-=+，
所以()()f x f x =-，即()f x 为偶函数
例7：已知函数2
2
()12,()2f x x g x x x =-=-，若(),()()
()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥?=?
，则()F x 的
值域是_______________
解析：()F x 是一个分段函数，其分段标准以()(),f x g x 的大小为界，所以第一步先确定
好x 的取值，解不等式：()()22122f x g x x x x ≥?-≥-，解得：1
13
x -
≤≤，故()2
212,13112,13x x x F x x x or x ?--≤≤??=?
?-<->??
，分别求出每段最值，再取并集即可 答案：7,9
??-∞ ??
?
例8：已知函数(2)1(1)
()log (1)a
a x x f x x x --≤?=?>?，若()f x 在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的
取值范围是_________
思路：若()f x 在(),-∞+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式
也应当是单调递增的，由此可得：20
1a a ->??>?
，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种
取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有()()12f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入1x =，有左段≤右端，即
21log 103a a a --≤=?≤
综上所述可得：(]2,3a ∈ 答案：(]2,3
例9：已知()[)[]
2 1.1,01,0,1x x f x x x +∈-??=?+∈??，则下列选项错误的是（ ）
A. ①是()1f x -的图像
B. ②是()f x -的图像
C. ③是()f
x 的图像 D. ④是()f x 的图像
思路：考虑先作出()f x 的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A. ()1f x -为()f x 向右平移一个单位，①正确；B. ()f x -为()f x 关于y 轴对称的图像，②正确；C. ()f
x 为()f x 正半轴图像不变，负半轴作与()f x 正
半轴关于y 轴对称的图像，③正确；D. ()f x 的图像为
()f x 在x 轴上方的图像不变，下方图像沿x 轴对称翻折。而()f x 图像均在x 轴上方，所
以()f x 应与()f x 图像相同。④错误 答案：D
例10：函数()31,1
2sin ,12
x x f x x x π
?+>?
=?≤?? ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 B. 函数()f x 的最小正周期为4 C. 函数()f x 是奇函数 D. 函数()f x 无最小值
思路：可观察到()f x 的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC 选项错误，D 选项()f x 存在最小值()12f -=-，所以D 错误，A 选项是正确的 答案：A
小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为()f x 本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。
（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中1x =-就属于2sin 2
y x π
=部分，所以才存在最小值。
三、近年模拟题题目精选
1、已知函数()()
??
???<+≥-+=,1,1lg ,
1,32x x x x
a
x x f 若()()31-=f f ，则=a ______ 2、已知???≤<-≤=)
0(,sin 2),
0(,)(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则=0x __________.
3、（2016，湖州中学期中）函数???>≤+=,
0,,0,4)(2
x x x x x f ,若]1)([)]([+>a f f a f f ，则实
数a 的取值范围为（ ）
A ．]0,1(-
B ．]0,1[-
C ．]4,5(--
D ．]4,5[--
4、已知()221
,01,0x x x
f x x x
-+?>??=??-的解集为______________
5、（2015，北京）设函数()(
)()2,1
42,1x
a x f x x a x a x ?-
①若1a =，则()f x 的最小值为________
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________
6、（2015，福建）若函数()()6,2
0,13log ,2a
x x f x a a x x -+≤?=>≠?+>?的值域是[)4,+∞，则实
数a 的取值范围是___________
7、（2015，新课标II ）设函数()()21
1log 2,1
2,1
x x x f x x -+-
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8、（2015，山东）设函数()31,12,1
x x x f x x -
2f a f f a =的a 的取值范围
是（ ） A.
2,13??
????
B. []0,1
C. 2,3??+∞????
D. [)1,+∞ 9、已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（ ）
A. []2,2-
B. ????
C. ?-?
D. 2,?-?
10、已知函数()()32134,,a x a x t
f x x x x t
-+-≤??=?->??，无论t 为何值，函数()f x 在R 上总是不
单调，则a 的取值范围是____________
11、已知(
)1
10
x f x x <≤=-≤
()()0f m f n +>成立的,m n 还应满足的条件为（ ）
A. m n >
B. m n <
C. 0m n +>
D. 0m n +<
习题答案： 1、答案：3
解析：()()2
3lg 311f ??-=-+=??
，所以()11313f a a =+-=?=
2、答案：03
x π
=
或023
x π=
解析：若()(]00,f x π∈，则()()003
2sin 3sin 2
f x f x -=?=-，无解；若()00f x ≤，
则()()2
003f
x f x =?=002sin 30x x x ππ
?-=??=?
<≤??或023x π= 3、答案：C 解析：
当()()0,10f a f a ≤+≤，即5a ≤-时；[()](4)8,[()1]9f f a f a a f f a a =+=++=+，故[()][()1]f f a f f a <+，故]1)([)]([+>a f f a f f 不成立；当()()0,14f a f a ≤+≤，即54a -<≤-时；2
[()](4)8,[()1](5)(5)f f a f a a f f a f a a =+=++=+=+，又
28(5)a a +>+在(5,4]--上显然成立即故[()][()1]f f a f f a >+，故选C ．
4、答案：()()()0,11,+,1∞-∞-U U 解析：0x >时，()22
2
21121010x x x x x
-+>-?-+>?->，可得()()0,11,+x ∈∞U ，当0x <时，
1
111x x x
>-?<-?<-，综上可得：()()()0,11,+,1x ∈∞-∞-U U 5、答案：① 1- ② 1
12
a ≤<或2a ≥
解析：① 1a =时，()()()21,1
412,1
x x f x x x x ?-
x ≥时，()2
2
341284112f x x x x ?
?=-+=--≥- ??
?，综上所述可得：()min 1f x =-
② 当1x <时，()f x 为单调增函数，且()(),2f x a a ∈--，当1x ≥时，解析式
()()()42f x x a x a =--可能的零点为,2x a x a ==，因为()f x 恰有2个零点，所以1x ≥的区域中至少有一个零点。当211
11
2a a a ≥??≤
一个零点，符合题意。当1a ≥时，()f x 在1x ≥已有两个零点，所以在1x <不能有零点，故202a a -≤?≥，综上所述：1
12
a ≤<或2a ≥ 6、答案：(]1,2
解析：从常系数函数入手，2x ≤时，可得：()[)4,f x ∈+∞，所以当2x >时，()f x 的值域应为[)4,+∞的子集，从而可知1a >，所以()()3log 2,a f x ∈++∞，则
3log 22a a +≥?≤，所以(]1,2a ∈
7、答案：C
解析：由分段函数可得：()221log 43f -=+=，因为22log 122log 31=+≥，所以
()22log 121log 62log 12226f -===，则()()22log 129f f -+=
8、答案：C
解析：可将()f a 视为一个整体：()t f a =，则有()2t
f t =，根据分段函数特点可推断出
1t ≥，即()1f a ≥，所以有121a
a ≥??≥?或1311
a a
3a ≥ 9、答案：C
解析：()2cos ,sin cos sin cos sin cos 2sin ,sin cos x x x f x x x x x x x x >?=+--=?
≤?
，由三角函数性质可得：
()52cos ,2,24432sin ,2,244x x k k f x x x k k ππππππππ???
∈++ ?????
=???
?∈-++ ?????
，即可求得值域为?-?
10、答案：12
a ≤
解析：由()3
f x x x =-得()'
231f
x x =-，()'
0f x >
解得,33x ???∈-∞-+∞ ?????
U ，
所以()f x 在,,33???-∞-
+∞ ?????单调递增，在33??
- ???
单调递减。对于()2134y a x a =-+-可知为单调函数或水平线。当y 单调递增时，无论a 为何值，只要
将t 取到足够小，总能使()f x 为增函数。当y 单调递减或是为水平线时，可知()f x 恒不单调。所以12102
a a -≤?≤ 11、答案：D
解析：观察可得题目条件,m n 具备轮换对称的特点，所以可以给,m n 定序，不妨设m n >，又由0mn <可知,m n 异号，从而0m n >>，所以：
()()220011f m f n m n +>?->?>?->-
22m n m n ?
[高考数学]高考数学函数典型例题
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
函数应用题-(2009-2018)高考数学分类汇编含解析
【命题规律】 1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式 2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围. 【真题展示】 1【2009江苏，19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为 m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为 n n a +.如果一个人对两种交易(卖 出或买进)的满意度分别为 1h 和2h .现假设甲生产A 、B 两种产品的 单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为 A m 元和 B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为 h 乙(1)求h 甲和h 乙 关于 A m 、 B m 的表达式；当 35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35 A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时， 甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当 选取 A m 、 B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析； (2) 20,12B A m m == 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5 (3) 不能
故当1120 B m =即20,12B A m m ==时， （3）由（2）知：0h 由05 h h ≥=甲得： 12552A B A B m m m m ++?≤，
所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 2【2015江苏高考，17】（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边 界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ， ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值； （2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.
高考数学 考点04 分段函数试题解读与变式
考点4 分段函数以及应用 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: （1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. （3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 （4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止. （5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当 x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数. （6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. （7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决. （8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止. （9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值. （10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可. （11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集. （12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围. 2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.
(word完整版)高中数学函数图象高考题.doc
B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2
O x
A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D
高考数学复习点拨 巧解函数模型应用题
去伪存真 巧解函数模型应用题 新课标加大了对应用问题的考查，而函数的应用问题也是训练同学们建立模型的好素材，因此也成为了高考命题的热点，本文通过比较建立不同的数学模型，来探讨如何建立效果最好的函数模型。 例：某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双， 1.3万双，1.37万双。由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量。 分析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型。 解：由题意知：可以得到四个点()()()()1,1,2,1.2,3,1.3,4,1.37A B C D 。 解法一：用一次函数模拟 设模拟函数为y ax b =+，以,B C 两点的坐标代入函数式，有2 1.23 1.3 a b a b +=??+=? 解得 0.11a b =??=? ，所以得0.11y x =+。 评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不可能的。 解法二：用二次函数模拟 设2 y ax bx c =++，将,,A B C 三点的坐标代入，有 1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=??++=??++=? 解得0.05,0.35,0.7,a b c =-??=??=? 所以2 0.050.350.7y x x =-++。 评价：有此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双。而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴方程是 3.5x =），这显然不符合实际情况。 解法三：用幂函数模拟 设y b =，将,A B 两点的坐标代入，有1 1.2 a b b +=??+=解得0.48,0.52.a b =??=? 所以0.52y =。 评价：以3,4x x ==代入，分别得到 1.35, 1.48y y ==，与实际产量差距较大。这是因为
高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
指数函数对数函数应用题
与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.
三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
历年高考数学真题精选08 分段函数
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题八 分段函数（学生版） 一．选择题（共19小题） 1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,() ()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围 是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 5．（2006?山东）设12 3 2,2 ()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，) +∞ B ．，)+∞ C ．(1，2)?)+∞ D ．(1,2) 6．（2005?山东）函数21sin(),10 (),0x x x f x e x π-?-<<=?? 若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
正弦函数的图像和性质(一)
正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法
观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）
高考数学函数专题
专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。
高考数学-应用题专题
1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 高中数学-分段函数及题型 【经典例题赏析】 例1．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x < ≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 例2．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图 象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿 y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线 （如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 答案A. 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 例3．判断函数2 2(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于 任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 例4．判断函数3 2 (0) ()(0)x x x f x x x ?+≥?=?- 正余弦函数的图像与性质 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班； x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 = 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．高中数学-分段函数及题型
正余弦函数的图像与性质
正弦函数的图像和性质(一)
高中数学函数知识点总结
高三数学三角函数经典练习题及答案精析