北师大版数学八年级上册知识点总结

八年级上册知识点总结

第一章 勾股定理

1、勾股定理 直角三角形两直角边

a ，

b 的平方和等于斜边

c 的平方，即a 2 +b 2=c 2

2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，a 2 +b 2=c 2那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足

a 2

+b 2

=c

2

的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（8，15，17），（7，24，25）

第二章 实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

整数（包括正整数，0，负整数） 有理数

实数 分数（包括正分数和负分数） 正无理数

无理数 无限不循环小数 负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”，归纳起来有三类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）化简后含有π的数，如

3

π

+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；注意：分数是有理数，

3

2

不是分数。 二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a +b =0，a =—b ，反之亦成立。

2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a |≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a |=a ，则a ≥0；若|a |=-a ，则a ≤0。

3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab =1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。算数平方根等于本身的数有0和1

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。平方根等于本身的数有0和1. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 注意a 的双重非负性：a ≥０，a ≥0 3、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a ，性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，若a －b ≥0 则a ≥b ，若a －b ≦0 则a ≦b （3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，a ÷b ≥1 则a ≥b a ÷b ≤1 则a ≤b （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则|a |≥|b | 则a ≤b

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，。a 2 ≥b 2则a ≤b

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“

”；被开方数a 必须是非负数。

2、运算结果若含有“a ”形式，必须是最简二次根式。

满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 3、性质：

（1）)0()(2

≥=a a a （2）?

??<-≥==)0()

0(2

a a a a a a

（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab )0,0(≥≥=?b a ab b a

（4）

)0,0(>≥=b a b

a

b a )0,0(>≥=

b a b

a

b

a （5）3333)(a a ==a 4、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 （2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

第三章 位置的确定

一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、 平面直角坐标系内点的坐标特征:

若P 的坐标为(a ,b )，则P 到x 轴距离为_______，到y 轴距离为_______． (1)

点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征：

○

1在x 轴上的点______坐标为0; ○2 在y 轴上的点______坐标为0; (3)P (a ,b )关于x 轴、y 轴、原点的对称点坐标特征 ○

1 点P (a ,b )关于x 轴对称点P 1

_____________ ； ○

2点 P (a ,b )关于y 轴对称点P 2

_____________ ； ○

3点P (a ,b )关于原点对称点P 3

_____________ 。 5.平行于x 轴的直线上的点______坐标相同；平行于y 轴的直线上的点_______坐标相同． 6.探索图形变换与坐标变化规律

(1)若两个图形关于x 轴对称．则对应各点横坐标_________，纵坐标互为___________． (2)若两个图形关于y 轴对称，则对应各点纵坐标_________，横坐标互为___________．

第四章 一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法：列表法，图像法，关系式法 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成y =kx +b （k ，b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时（即y =kx ）（k 为常数，k 不等于0），称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线。

一次

函数

k ，b

符号

0k >

0k < 0b > 0b < 0b = 0b > 0b <

0b = 图象

O

x y

y

x O

O

x y

y

x O

O

x y

y

x

O

性质

y 随x 的增大而增大

y 随x 的增大而减小

4、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

（1）一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图像是经过点（0，b ），（k

b

-

，0）的直线；正比例函数y =kx

的图像是经过原点（0，0）的直线。

（2）两条直线当k 相同时，两直线平行，当b 相同时，两直线交于y 轴同一点（0，b ）。 5、一次函数的性质

一般地，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）有下列性质： （1）当k >0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k <0时，y 随x 的增大而减小

6、求正比例函数和一次函数解析式：解这类问题的一般方法是待定系数法.：设，代，求，写。

7、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx +b =0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，?即kx +b =0就与一元一次方程完全相同．

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx +b =0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．

从图象上看，这相当于已知直线y =kx +b 确定它与x 轴交点的横坐标值．

第五章 二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法，注意，解方程组要检验。 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：

直线y =kx +b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx - y +b =0的解

当函数图象有交点时，交点坐标就是相应的二元一次方程组的解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

第八章 数据的代表

1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数

2、 平均数

（1）平均数：一般地，对于n 个数,,,,21n x x x 我们把 (x 1＋x 2......+x n ) /n 叫做这n 个数据的平均数.记为x 。

（2）加权平均数：若在一组数字中，出现次，出现次，…，出现次，那么

叫做、、…、的加权平均数。。其中，、、…、分别是、、…、它们的权.

3、众数:一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

4、中位数:一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）

5、.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

6、方差：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是2

221)()(x x x x --，，…，，， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用

])()()[(1

222212x x x x x x n

S n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

7、平均数、方差的三个运算性质

如果一组数据x 1，x 2，x 3，……，x n 的平均数是x ，方差是s 2。 那么数据x 1+b ，x 2+b ，x 3+b ，……，x n +b 的平均数是x +b ，方差是s 2。 数据ax 1，ax 2，ax 3，……，ax n 的平均数是a x ，方差是a 2s 2。

数据ax 1+b ，ax 2+b ，ax 3+b ，……，ax n +b 的平均数是a x +b ，方差是a 2s 2。