泛函分析习题解答
第七章 习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令
}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U
问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义
证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
证明 （1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 2
1
),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞
=1
。
证明 令n n n o n n
B x d Bo o .2,1},1
),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使
n x x d 1),(10<。设,0),(1
10>-=x x d n
δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集
显然B o n n ??∞=1
。若n n o x ∞
=?∈1
则对每一个n ，有B x n ∈使n
x x d 1
),(1<
，因此
)(∞?→??→?n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞
=1
。
4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离。
证明 （1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在
[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。
证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈，即
)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑
——>0 )(∞?→?n 因此对每个r ，)()(1)
()(max 2
1
)
()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b t a r r -+-≤≤∞
=∑
——>0 )(∞?→?n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0 )(∞?→?
n ，即)()
(t f r n 在 [a ，b] 上一致收敛于)()(t f r 。
反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使
2211ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n - 00
,2,1,0,2r r r Λ=<ε，取N=max{ N N N K 1}，当n>N 时，)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑
即),(n f f d ——>0 )(∞?→?
n 。 6. 设],[b a B ?，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。
证明 记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞
>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E
为闭集
充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f B
t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则
若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集
必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若
0t t n >-)(∞?→?n ，必有B t ∈0。
倘若B t ___
0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此A t f o ∈)(由于A 是开集，必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈。定义，n=1，2。。。。。则)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n
因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对 任意B t ∈，有a t f n <)(矛盾 因此必有B t ∈0。
7. 设E 及F 是度量空间中的两个集，如果o F E d >),(，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
证明 设o F E d >=δ),(。令 }2
),(|{},2),(|{δ
δ====F x d x G E x d x o
则,,G F O E ??且Φ≠?G O ，事实上，若Φ≠?G O ，则有Φ
≠?∈G O z ，所以存在E 中
的点x 使2),(δ〈z
x d ，F 中点y 使2
),(δ
〈z y d ，于是δ〈),(),(),(z y d z x d y x d +≤，此与≥),(y x d ），（F E d δ=矛盾。
8. 设 B[a ，b]表示[a ，b]上实有界函数全体，对B[a ，b]中任意两元素f ，g ∈ B[a ，b]，规定距离为|)()(|sup ),(t g t f g f d b
t a -=≤≤。证明B[a ，b]不是可分空间。
证明 对任意∈0t [a ，b]，定义{
)},[,2),[,1)(00b t t t a t t f o t ∈∈= 则)(0t f t ∈B[a ，b]，且若21t t ≠，1),(21=t t f f d 。 倘若B[a ，b]是不可分的，则有可数稠
密子集
{}
n g n ∞
=1，对任意∈0t [a ，b]，)21,(0t f U 必有某n g ，即2
1
),(0 1 ,(2t f U ，于 是12 1 21),(),(),(2121=+<+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]不是可分 空间。 9. 设X 是可分距离空间，?为X 的一个开覆盖，即?是一族开集，使得对每个X x ∈，有 ?中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从?中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。 证明 若X x ∈，必有?∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O n x U ?)1 ,(。 设 {} n x n ∞ =1是X 的可数稠密子集，于是在)21, (n x U 中必有某)21,(n x U k ，且x k O n x U ?)21,(。。事实上，若)21,(n x U y k ∈，则n n n x x d x y d x y d k k 1 2121),(),(),(=+<+≤所以 )21 ,(n x U y k ∈x O ?。 这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使)21,(n x U x k ∈且存在O n x U k ?)21 ,( 任取覆盖)21 , (n x U k 的O ，记为n k O ,是X 的可数覆盖。 10. X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A y ∈=∈证明)(x f 是X 上连续函数。 证明 若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使2 00)(2 ),(inf ),(εε +=+ <∈x f y x d y x d A y o 。取02>=εδ。则当δ<),(0x x d 时， ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o 因此ε<-)()(0x f x f 。由于x 与0x 对称性，还可得ε<-)()(0x f x f 。于是ε<-|)()(|0x f x f 。这就证明了)(x f 是X 上连续函数。 11. 设 X 为距离空间，21,F F 是X 中不相交的闭集，证明存在开集21,G G 使得 221121,,F G F G G G ??Θ=?。 证明 若1F x ∈，则由于2F x ?，2F 为闭集，必有0>x ε，使Θ=?2),(F x U x ε，令 )2 , (1 1x F x x U G ε∈=Y ，类似)2 , (2 2y F x y U G ε∈=Y ，其中Θ=?1),(F y U y ε，显然21,G G 是开集，且 2211,F G F G ??。 倘若,21Θ≠?G G ，则必有,1F x ∈2F y ∈，使Θ≠)2 , ()2 , (x y x U y U εεI 。 设)2 , ()2 , (x y x U y U z εεI ∈。不妨设y x εε≥，则x y x y x y z d z x d x y d εεεεε≤+ < +≤≥2 2 ),(),(),(因 此),(x x U y ε∈，此与Θ=2),(F x U x I ε矛盾。这就证明 了Θ=?21G G 。 12 . 设 X ，Y ，Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z 中的连续映射，证明复合映射))((())(.(x f g x f g =是X 到Z 中的连续映射。 证明 设 G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 中的连续映射，所以)(1G g -是Y 中开集。又f 是X 到Y 中的连续映射，故))((11G g f --是X 中 的开集。这样))(()().(111G g f G f g ---=是X 中 的开集，这就证明了g 。f 是X 到Z 的连续映射。 13. X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合 })(,|{c x F X x x ≤∈和集合})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集。 证明 设 f 是X 上连续的实函数，又对每一实数c ，G=（c ，∞）是开集，于是 })(,|{)(1 c x F X x x G f >∈=- 是开集。这样})(,|{c x f X x x ≤∈= })(,|{c x f X x x C >∈是闭 集。同理})(,|{c x f X x x ≥∈是闭集。 反之，若对每个实数c ，})(,|{c x f X x x ≥∈和 })(,|{c x f X x x ≤∈都是闭集，则})(,|{c x f X x x <∈和})(,|{c x f X x x >∈都是开集。设G 是直线上的开集，则Y ∞==1 ),(i i i b a G 或Y n i i i b a G 1 ),(==，其中),(i i b a 是G 的构成区间。不妨设 Y ∞ ==1 ),(i i i b a G 于是 }))(,|({}))(,|({})(,|{)(1 1 1 i i i i i i b x f X x x a x f X x x b x f a X x x G f <∈>∈=<<∈=∞ =∞=-I Y Y 是开集。 因此f 是连续的实函数。 14. 证明柯西点列是有界点列。 证明 设{ n x }是X 中的柯西点列。对1>0，存在N ，使当n ，m N ≥时，.1),( .1}),({max 1+<=≤≤N i N i x x d M 则对任意n x 有M x x d N n ≤),(。因此{ n x }是有界点列。 15. 证明第一节中空间S ，B （A ），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。 证明 （1）S 是完备的度量空间 设{ n x }是S 中的柯西点列，),,(.)() (2) (1K Λn i n n n x ξξξ=对每一个固定的i ，由于 )0(0212>->--t t t i i ，因此对任意,0>ε存在0>δ，当δ≤≤t 0时ε<-t t i i 212，对此0>δ，存在n ，m N ≥时，δξξξξ<-+-=∑∞ =1)()()()(||1||21),(i m i n i m i n i i m n x x d ，因此δξξξξ<-+-∑∞ =1) ()()()(||1| |21i m i n i m i n i i ，从而||)()(m i n i ξξ-〈εδ δ <-i i 212。这样对固定的i ，∞=1)(}{n n i ξ是柯西点列。设)()(∞>->-n i n i ξξ。令),,(21K Λi x ξξξ=，故有S x ∈，且对任意给定o >ε，存在0i ，使 ∑∞ +=<1022 1i i i ε 。存在),1(,0i i N i ≤≤使i N n >时，0 )(2||i i n i ε ξξ< -。于是当},max {01i N N N n Λ=>时， ∑∞=-+-<1)() (||1||2 1 i n i i n i i i ξξξξ≤ ∑=-+-0 1)()()(||1||21i i m i n i m i i i ξξξξ+∑∞ +=10 21 i i i 〈εεε=+2.200i i 所以{n x }按S 的距离收敛于x （2）B （A ）是完备的度量空间 设∞=1}{n n x 是B （A ）中的柯西点列，任意0>ε，存在N ，使当n ，m N ≥时ε<),(m n x x d 。这样对任意A t ∈，ε<-≤-∈|)()(|sup |)()(|t x t x t x t x m n A t m n 。因此对固定的t ，{ )(t x n }是柯西点 列。设))(()(∞>->-n t x t x n ，由于n ，m N ≥时ε<-|)()(|t x t x m n ，令∞>-m ，得 ε≤-|)()(|t x t x n ，这样ε+≤|)(||)(|t x t x n ，于是+∞<+≤ε|)(|sup |)(|sup t x t x n 故x ∈（A ）， 且n 〉N 时，ε≤-∈|)()(|sup t x t x m n A t 。这就证明了按B （A ）中距离收敛于x 。 （3）离散的度量空间（X ，d ）是完备的度量空间 设∞=1}{n n x 是X 中柯西点列， 则对21>0,存在N ，当n ，m N ≥是2 1 ),( 1 ),(< N n x x d ,于是n>N 是N n x x =。因此)(∞>->-n x x N n ，即（X ，d ）是完备的度量空间。 16. 证明 ∞l 与C （0，1]的一个子空间等距同构。 证明 若 ),,(21K Λi x ξξξ=∞∈l ，定义]1,0(],1,0(),(∈∈t C t x T ， 若),,(21K Λi x ξξξ=∞∈l ，),,(21K Λi y ηηη=∞∈l ，则 ),(|),(),(|sup ||sup ),(] 1,0(Ty Tx d t y T t x T y x d t i i =-=-=∈ηξ因此T 到∞l 到（0，1]的子空间的一个 同构映射，即∞l 到（0，1]的一个子空间等距同构。 17. 设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何F y x ∈,)(y x ≠，有),(),(y x d Ay Ax d <。 证明映射A 在F 中存在唯一的不动点。 证明 定义F 上的函数f （x ）=d （Ax ，x ）。由于 ),(2),(),(|),(),(||)()(|y x d y x d Ay Ax d y Ay d x Ax d y f x f <+≤-=-因此f 是F 上的连续映射， 因F 是有界闭集，必有F x ∈0，使)(min )(00x f x Ff x F x ∈=∈。 我们先证明0)(0=x f ，若0)(0≠x f ，则00x Ax ≠。记01Ax x =，则021x A Ax =，于是 )(),(),(),()(000002111x f x Ax d Ax x A d x Ax d x f =<== 此与)(0x f 是f 的最小值矛盾。故0),(00=x Ax d 即0Ax =0x 若1x 是A 的另一个不动点，则),(),(),(101010x x d Ax Ax d x x d <=，矛盾。 18. 设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映射，记),(),(sup 11x x d x A x A d a n n z x n ≠= 若∞<∑∞ =n n a 1 ，则映射A 有唯一不动点。 证明 因∞<∑∞ =n n a 1 ，则必有N ，使1 这样由压缩映射原理N A 有不动点*x ，即*x =N A *x 。由于N A *x =A N A *x =A *x , A *x 也是N A 的不动点。N A 的不动点是唯一的，因此*x = A *x ，即*x 是A 的不动点。 若x ’是A 的任意一个不动点，即A x ’= x ’。于是N A x ’=1-n A x ’=…= A x’= x’。这样x’也是N A 的不动点，由于N A 的不动点是唯一的，因此*x = x’。即A 的不动点也是 唯一的。 19. 设A 为从完备度量空间X 到X 中映射，若在开球),(0r x U )0(>r 内适合 又A 在闭球}),(|{),(00r x x d x r x S ≤=上连续，并且.)1(),(00r Ax x d θθ-≤ 证明：A 在),(0r x S 中有不动点。 证明 设n x =n A 0x ，2,1=n …。则 r x Ax d x A x A d x A x A d x x d n n n n n n n n )1(),(),(),(),(00102010101θθθθ-≤<<=----- 任给ε>0，存在N ，使N θr ε < ，这样若,n m >且N m n >,，有.)1()1()1(),(),(),(),(1211211εθθθθθθθθ<<<-++-+-≤+++≤+++-+++r r r r r x x d x x d x x d x x d N n m n n m m n n n n m n ΛΛ 因 此}{1 n x n ∞ =是柯西列。设n x →*x )(∞→n ，因 r r r r r x x d x x d x x d x x d n i i n n n n n n n <-=-++-+-≤+++<∑=----)1()1()1()1(),(),(),(),(1 1012110θθθθθθθθΛΛ 因 此),(),(00r x S r x U x n ?∈。这样),(lim 0*r x S x x n ∈=∞ >-。因为A 在),(0r x S 上连续。 *1*lim lim x x Ax Ax n n n n ===+∞ >-∞ >-，即*x 是A 在),(0r x S 中的不动点。 A 的不动点不一定是唯一的。例如X 是离散的度量空间。A 是X 中的恒等映射。在开球)1,(0x U 内只有0x 一点，自然满足条件.10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d 。而0),(00=Ax x d ，也满足 .)1(),(00r Ax x d θθ-≤。但X 中每一点皆为A 的不动点。 20. 设 n k j a jk ,2,1,,Λ=为一组实数，适合条件1)(2 1 ,<-∑=n j i ij ij a δ，其中jk δ当j=k 时为1 ， 否则为0。证明：代数方程组 对任意一组固定的1b ，,2b ，n b Λ，必有唯一的解1x ，2x ，n x Λ。 证明 记定义n R 到n R 内的映射T ：TX= --AX+X+b 。设X ∈'X n R 则 由于2 1 1 ,2))(∑=-n j i ij ij a δ<1,于是T 有唯一不动点*X ，即****X b X AX TX =++-=，因此 b AX =*有唯一解* X 。 21. 设],[b a V 表示[b a ,]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在],[b a V 中定义范数x =)()(x V a x b a +,证明],[ b a V 是Banach 空间。 证明 ],[b a V 显然是线性空间。下证],[b a V 是赋范线性空间。 1． 若∈x ],[b a V ，显然x ≥0。 若x =0，则)()(x V a x b a +=0，即)(a x =0，且)(x V b a =0。由)(x V b a =0可知x 在],[b a 上为常值函数， 于是0)()(=≡a x t x 2． 若∈x ],[b a V ，),,(+∞-∞∈λ 3． 若],[,b a V y x ∈， 其中)(y x V b a +)()(y V x V b a b a +≤的理由如下：对任意分划,:10b t t t a T n =<<<=Λ ,)()()()())(())((1 11 11 1 ∑∑∑=-=-=--+-≤+-+n i i i n i i i n i i i t y t y t x t x t y x t y x 因此 )()(})()({sup })()({sup }))(())(({sup )(1 11 11 1y V x V t y t y t x t x t y x t y x y x V b a b a n i i i T n i i i T n i i i T b a +=-+-≤+-+=+∑∑∑=-=-=-再证 ],[b a V 是完备的。 设}{n x 为],[b a V 中柯西列，对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时， ε<-+-=-)()()(m n b a m n m n x x V b x a x x x 。于是，ε<-)()(b x a x m n 。而对任意],(b a t ∈， ε<-≤---)())()(())()((m n b a m n m n x x V a x a x t x t x 从而εε2)()()()((<+-≤-a x a x t x t x m n m n 这就证明了{)(t x n }是],[b a 上一致收敛的函数列。设}{n x 一致收敛于x 。 由于n x 是],[b a 上右连续的函数，于是对任意),[0b a t ∈，.2,1),()(lim 00 Λ==→n t x t x n n t x 因为} {n x 在],[b a 上一致收敛于x 。因此)()(lim )(lim lim )(lim lim )(lim 000 00 t x t x t x t x t x n n n t t n n n t x t x ====∞ →→∞→∞ →→→+ ++即x 亦在],[b a 上右连续。 对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时，m n x x -=ε<-+-)()()(m n b a m n x x V a x a x 对],[b a 上的任一分划b t t t a T l =<<<=Λ10:，有 ε<-=-≤---∑=--)()()())()(())()((1 11m n b a m n l i i m i n i m i n x x V a x a x t x t x t x t x 令 ∞→m ， ε≤---∑=--l i i i n i i n t x t x t x t x 1 11 ))()(())()(( （*） 因此，从而].,[)(b a V x x x x n n ∈--=由（*）式及分点的任意性知，.)(ε≤-x x V n b a 从而 .2)()()(ε≤-+-=-x x V a x a x x x n b a n n 即}{n x 按],[b a V 中范数收敛于x 。这样我们就证明了],[b a V 是完备的赋范线性空间，即 Banach 空间。 22．设Λ,,21X X 是一列Banach 空间，},,{21ΛΛn x x x x = 是一列元素，其中n n X x ∈，,,2,1Λ=n 并且,1 ∞<∑∞ =p n n x 这种元素列的全体记成X ，类似 通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算。若令,)(11 p p n n x x ∑∞ == 证明：当1≥p 时， X 是Banach 空间。 证明 X 显然是线性空间。 先证X 是赋范线性空间。 1． 若,),,(21X x x x ∈=Λ显然0≥x 。 若0=x ，则,0)(11 =∑∞ =p p n n x 即对任意n ，0=n x 。于是0=n x ，从而0=x 。 2． 若X x x x ∈=),,(21Λ，),,(+∞-∞∈λ x x x x p p p n n p n n λλλλ===∑∑∞ =∞ =11)()(1 1 3． 若,),,(21X x x x ∈=ΛX y y y ∈=),,(21Λ，则 n n p n n p n n p n n n p n n n y x y x y x y x y x p p p p +=+≤+≤+=+∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =1111))(())(())(()(1 1 1 1 再证X 是完备的。设}{~ i x 是X 中柯西列，其中 .,2,1),,,() (2)(1~ ΛΛ==i x x x i i i 对任意,0>ε存在0i ，使当0i j >时，,~ ~ε<-j i x x 即ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1))((1 )() ( 于是对每一个固定的}{,)(i n x n 是n X 中的柯西列。设.)()(∞→→i n i n x x 令),,(21Λx x x =，由于ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1))((1 )() (，因此对任意K ，ε<-∑=p p K n j n i n x x 1))((1 )()(，令 ∞→j 得 .1,1 )()(≥≤-∑=p x x p p K n j n i n ε 再令∞→K 得 .1,1 )(≥∞<≤-∑∞ =p x x p p n n i n ε 因此,~X x x i ∈-从而X x x x x i i ∈--=)(~ ~，且由ε≤-∑∞ =p p n n i n x x 1)(1 )( 知~ i x 按X 的范数收敛于x 。由以上证明可知X 是Banach 空间。证毕。 23．设X 是赋范线性空间，X*X 为两个X 的笛卡儿乘积空间，对每个,*),(X X y x ∈定义 ,),(2 2 y x y x += 则X*X 成为赋范线性空间。证明X*X 到X 的映射y x y x +→),(是连续映射。 证明 设),)(,(),(00∞→→n y x y x n n 则),(02 2 ∞→→-+-n y y x x n n 于是).(0,000∞→→-→-n y y x x n n 所以，.0)()(0000→-+-≤--+y y x x y x y x n n n n 这就证明了y x y x +→),(是连续映射。 24． 设A 是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个X X x *),(∈α， 定义,,2 2x x +=αα 证明：x x αα→),(为X X *到X 中的连续映射。 证明 设),,(),(00x x n n αα→同第23题一样可证 ),(,00∞→→→n x x n n αα 由于}{n α收敛，必有0>M ，使.M n ≤α则 ).(0000000000∞→→-+-≤-+-≤-n x x x M x x x x x x n n n n n n n n αααααααα因此映射 x x αα→),(是连续的。 25. C 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在C 中令 ,}{,sup C x x x x n i i ∈==证明：C 是可分的Banach 空间。 证明 由第七章§4例1知是Banach 空间。由定义易知C 是∞l 中的线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证C 是Banach 空间，由§4定理1，只要证C 是∞l 中的闭子空间即可。 设,}{C x n ?).(0);,,(,);,,(21)(2)(1∞→→-=∈=∞n x x x l x x n n n n ΛΛξξξξ 对于任意,0>ε存在,N 使N n ≥时，有3 ε <-x x n 。特别地,3 ε < -x x N 即,3sup )(ε ξξ< -i N i i 由于,C x N ∈因此存在,K 对任意,,K j i >.3 )()(ε ξξ<-N j N i 于是 .3 3 3 )()()()(εε ε ε ξξξξξξξξ=+ + < -+-+-≤-j N j N j N i N i i j i 于是}{i ξ是柯西列，即.),,(21C x ∈=Λξξ 下面证明C 是可分的。 设.,2,1},,),,,,,,(|{1ΛΛΛ=∈∈==n Q r Q r r r r r x x A i n n 则,C A n ∈C A n n ?∞=Y 1 且Y ∞ =1 n n A 是可数 的。若对任意,),,,(1C x x x n ∈=ΛΛ设.lim a x n n =∞ →对于任给的,0>ε存在,N 使当N n >时，必 有2ε < -a x n 。取有理数,r 使.2 ε <-r a 取有理数,,,,21N r r r Λ使.,,2,1,N i r x i i Λ=<-ε 令),,,,,,(1ΛΛr r r r y N =则,1 Y ∞ =∈n n A y 且.},,,,,sup{12211ε<----=-+ΛΛr x r x r x r x y x N N N 故Y ∞ =1 n n A 是C 的可数稠密子集。这就证明了C 是可分的Banach 空间。证毕。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B .1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（）. A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l 的共轭空间是（）。 4、设X 按内积空间 当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（）。 三、判断题（每个3分，共15分） 1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间，T 是T 有逆算子。() 四、计算题（10分） 叙述1l 空间的定义，并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、| 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =? (iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞ 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z) ' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!-- 主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题 1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。 （√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ） 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 -、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明 l + d(3) 也是X上的距离。 1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间) 2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为 p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是￡空间，如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。 八、（15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴+ 7V, （2） fit （】）任取f€E;及则 （T: + T t） V（r）r s）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++ (,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤ 泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)． 第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=泛函分析试卷
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