课后习题
1.证明方程632x x -=在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1）.
2. 已知关于x 的方程02=++c bx ax ，其中0632=++c b a ．
⑴ 当a=0时，求方程的根；
⑵ 当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间．
3. 已知3()24f x x x =--+，求证此函数()f x 有且仅有一个零点，并求此零点的近似值（精确到0.1）
4. 某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能
使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.
5. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
6. 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p 万元和q 万元，它们与投入的
资金x 万元的关系有经验公式：p =110x ，q 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？
7. 某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x 元，请将获得总利润y 元表示为x 的函数，并确定合理售价，求出最大利润.
8. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血
液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗
疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？
9. 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池
又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为（024t ≤≤）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?
10. 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有动点P ，从B 点开 始，沿折线BCDA 向A 点运动，设点P 移动的路程为x,
ABP 面积为S 、
（1）求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域；
（2）求f[f(3)]的值。
1.证明：设函数()236x f x x =+-. ()()110,240f f =-<=> ， 又()f x 是增函数，所以函数()236x f x x =+-在区间[1,2]有唯一的零点，则方程632x x -=在区间[1,2]有唯一一个实数解.
设该解为00,[1,2]x x ∈则，取1 1.5,(1.5)0.330,(1)(1.5)0x f f f ==>< ，∴ 0(1,1.5)x ∈. 取2 1.25,(1.15)0.1280,(1)(1.25)0x f f f ==>< ，∴ 0(1,1.25)x ∈.
取3 1.125,(1.125)0.440,(1.125)(1.25)0x f f f ==-<< ，∴ 0(1.125,1.25)x ∈. 取4 1.1875,(1.1875)0.160,(1.1875)(1.25)0x f f f ==-<< ，∴ 0(1.1875,1.25)x ∈. ∵ 1.25 1.18750.06250.1-=<，∴ 可取0 1.2x =，则方程的实数解为0 1.2x =. 2. 【解法】⑴ 0=a 时，063=+c b ，∴ c b 2-=，
方程为 0=+c bx ∴ b c x -= 从而可得 2
1=x ． ⑵ 0>a 时，
03)2
3(94434944)232(4222222>+-=+-=-+=-=?c c a c ac a ac c a ac b 方程02=++c bx ax 有两个根．
① 0 c a b 232--=，∴ 03 1232)1(>-=+--=c a c c a a f . ∴ 0)1()0( ② 0>c 时，c b a f ++=2141)21( ，∵ c a b 23 2--=， ∴ c a c c a a f --=+--=12 523241)21(， ∵ 0>a ，0>c ∴ 0)2 1( 1）内． 由 ①，② 可知 02=++c bx ax 有一根在（0，1）内． 3. 解：易知函数3()24f x x x =--+在定义域R 上是减函数. 3(1)121410f =--?+=>，3(2)222480f =--?+=-<，即(1)(2)0f f < ， 说明函数()f x 在区间(1,2)内有零点，且仅有一个. 设零点为00,(1,2)x x ∈则，取1 1.5,(1.5) 2.2750,(1.5)(2)0x f f f ==>< ，∴ 0(1.5,2)x ∈. 取2 1.75,(1.75) 4.8590,(1.5)(1.75)0x f f f ==->< ，∴ 0(1.5,1.75)x ∈. 取3 1.625,(1.625) 3.5410,(1.5)(1.625)0x f f f ==-<< ，∴ 0(1.5,1.625)x ∈. 取4 1.5625,(1.5625) 2.9400,(1.5)(1.5625)0x f f f ==-<< ，∴ 0(1.5,1.5625)x ∈. 4解：设经过x 年后能使现有资金翻一番，则2000(18)4000x ?+%=，即1.082x =. 两边取对数，有lg 2lg 2lg 20.30109.015.4lg1.08lg5.4(1lg 2)0.732410.3010 lg 5 x ====≈---+. 所以，经过10年后才能使现有资金翻一番. 5. 解：（1）∵ 00Q >，0400t -<，1e >， ∴ 4000t Q Q e -=为减函数. ∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. （2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则4000012x Q e Q -=，即40012x e -=， 两边去自然对数，1ln 4002 x -=，解得400ln 2278x =≈. ∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. 6. 解：设对乙商品投入x 万元，则对甲商品投入9－x 万元. 设利润为y 万元，[]0,9x ∈. ∴y = 1(9)10x - 1(9)10x -+ =21(2)13)10 -+， ∴ 即x =4时，y max =1.3. 所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元. 7. 解：设比100元的售价高x 元，总利润为y 元；则 22(100)(10005)8010005500200005(50)32500y x x x x x =+--?=-++=--+. 显然，当50x =即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元. 8. 解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；当t ≥1时，1()2 t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2t y -=. 所以34(01)1()()(1)2 t t t y f x t -≤≤??==?≥??. （2）∵ 340.251()0.25,()0.252t t f t -≥??≥?≥??即， 解得1165t t ??≥?≤?? ，∴ 1516t ≤≤. ∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115541616 -=个小时. 9. 解：设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则40060y t =+- 令x ，则26x t =，即240010120y x x =+-210(6)40,[0,12]x x =-+∈. ∴ 当6x =，即6t =时，min 40y =， 所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨. 10.如图所示， S ?ABP 1= 2 1×4×x=2x,0 8≤; S ?ABP 32 1×4×(12-x)=24-2x,8 ???-x x 22482 1288440<<≤<≤ 定义域为（0，12）；值域为（0，8）{8}（0，8）=（0，8）；f[f(3)]=f(6)=8。