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全国卷高考全真模拟试题含答案

全国卷高考全真模拟试题

本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分，考试时间 120 分钟，满分 150

分．

第Ⅰ卷

一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的 )

1．已知全集 U ＝ R ，集合 A ＝ { x | x <2} ，B ＝ { x |lg( x － 1)>0} ，则 A ∩(? B ) ＝ (

)

A ． { x |1< x <2}

B ． { x |1 ≤ x <2}

C ． { x | x <2}

D ． { x | x ≤1}

答案 C

解析

B ＝ { x | x >2} ，∴ ?U B ＝ { x | x ≤2} ，∴ A ∩(?U B ) ＝ { x | x <2} ，故选 C.

2．定义运算

a b

z 1＋ i

z 在复平

c ＝ a

d － bc ，则符合条件

＝ 0 的复数 z 的共轭复数

－ i

面内对应的点在 (

)

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

答案

－ i

1 i 1 i

解析由题意得， 2z i －[ － i(1 ＋i)] ＝ 0，则 z ＝

＝－ 2－ 2，∴ z ＝－ 2＋ 2，

其在复平面内对应的点在第二象限，故选 B.

3．下列说法中，不正确的是 ( )

A ．已知，， ∈R ，命题：“若

，则 < ”为真命题

a b

am bm

a b

B ．命题：“ ? x 0∈ R ， x 0－ x 0>0”的否定是：“ ? x ∈R ，x － x ≤0”

C ．命题“ p 或 ”为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题

D ．“ x >3”是“ x >2”的充分不必要条件

答案 C

解析

本题考查命题真假的判断．

命题“ p 或 q ”为真命题，则命题 p 和命题 q 中至少有

一个为真命题， C 错误，故选 C.

4．函数＝ (

－ )2 | x| 的图象大致是 ()

y x x

答案B

解析易判断函数为奇函数，由

y ＝ 0 得

＝±1 或

＝0. 且当 0<<1 时，<0；当

>1 时，

x y

y>0，故选B.

24ππ

5． sin2 α＝25， 0<α< 2，则2cos4－α的值为 () 11 A．－5 B. 5

77 C．－5 D. 5

答案D

解析 2 cos π

－α ＝2

＝ sin α＋ cos α，又∵ (sin α＋42 cos α＋2 sin α

49π7

cos α )＝ 1＋ 2sin α cos α＝ 1＋ sin2α ＝25，0<α <2，∴ sin α＋cosα＝5，故选 D.

6.执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为 ()

A. B.

164

2111

C. 16

D. 8

答案D

1解析依题意，当输入t 的值是5时，执行题中的程序框图，s＝1，k＝2<5，s＝1＋2，

1 1 1 11

k＝3<5， s＝1＋2－22， k＝4<5，s＝1＋2－22＋23， k＝5≥5，此时结束循环，输出的s＝1＋1 1 1 11

2－22＋23＝8，选D.

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

A． 2π －3B． 2π －3

5π

D． 2π － 2

答案A

解析本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为 2

的圆柱体挖去一个底面边长为2的正方形，高为 1 的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2122

23 π31 －33(2)31＝2π －3，故选 A.

ππ

8．将函数f ( x) ＝ sin(2 x＋φ ) | φ |< 2的图象向右平移12个单位后的图象关于y 轴对

称，则函数 f ( x)在0，π

上的最小值为 () 2

A． 0B．－ 1 13 C．－2D．－2答案D

解析 f ( x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移π个单位后得到 g( x)＝sin 2 x－π

＋φ ＝

1212π

sin2x－6＋φ的图象，又g( x)的图象关于y 轴对称，

∴g(0)＝sin－6＋φ＝±1，

ππ

∴－6＋φ＝2＋ kπ( k∈Z)，

∴ φ ＝

2π

＋ k π ( k ∈ Z) ，又 | φ |< π ，

3 2 ∴ φ ＝－ π ，∴ f

π π ，

( x ) ＝ sin 2x －

，又 x ∈ 0，

3 3 2

2π

∴ 2x － 3 ∈ － 3 ， 3 ，∴ f ( x ) min ＝－ 2 .

x ＋ y ≤ 2，

9．设不等式组

x － y ≥－ 2 ，所表示的区域为

M ，函数 y ＝ 1－ x 2的图象与 x 轴

y ≥0

所围成的区域为

，向内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为 (

)

N M

π 4

C. 8

D. 16

答案

解析本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系内画出题中的

不等式组表示的平面区域为以

( 2，0)，( － 2，0) ，(0 ，

2) 为顶点的三角形区域，函数 y

2π 31

＝

1－ x 的图象与 x 轴围成的区域如图中的阴影部分所示，

则所求概率为 1

＝ 4 ，

故选 B.

→ →

10．如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 P 是△ CDE 内 ( 包括边界 ) 的一个动点，设 AP ＝ λAF

→

＋ μAB ( λ ， μ ∈R) ，则 λ ＋ μ 的取值范围是 (

)

A. 2，4 B ． [3,4]

3 5

2， 2

D. 4，2

答案 B

解析

本题考查平面向量的运算、

线性规划的应用．以 A 为原点，分别以 AB ，AE 所在的

直线为 x ，y 轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为

1，则 A (0,0) ，B (1,0) ，C 3

， 3 ，

2 2

1 3

→ → 1 3 →

D (1 ，

3) ，E (0， 3) ，F －2， 2

，设点 P ( x ， y ) ，则 AP ＝ ( x ， y ) ，AF ＝－2， 2 ， AB ＝

2 3

(1,0)

→→→

x ＝－ 2λ ＋ μ ，

λ ＝ 3 y ，

则 λ ＋

，则由 AP ＝ λ AF ＋ μAB 得 3

解得

y ＝

y ，

μ ＝＋

μ ＝＋ 3 ，又因为点

P 在△ 内，所以当点 P 与点 D 重合时， λ ＋μ 取得最大值 1＋ 3

x y

CDE

3＝ 4，当点 P 在线段 CE 上时， λ ＋ μ 取得最小值 3，所以 λ ＋ μ 的取值范围为 [3,4] ，

故选 B.

y 2 x 2

11．在平面直角坐标系

xOy 中，点 P 为椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的下顶点， M ， N 在椭

圆上，若四边形

OPMN 为平行四边形， α 为直线 ON 的倾斜角， α

∈ π ， π

，则椭圆 C 的离

心率的取值范围为 (

)

A. 0，

B. 0，

3 2

C. 6 3

D. 6 2 2

3 ， 2 3 ， 3

答案 A

解析因为

在

y 轴上，在平行四边形

中，

∥ ，因此，

的横坐标相等，纵

OPMN

MN OP

M N

坐标互为相反数，即

M ， N 关于 x 轴对称， |

MN | ＝ | OP | ＝ a ，可设 M ( x ，－ y 0) ，N ( x ， y 0) ．由

k ON

＝

得 y 0＝a

. 把点

N 的坐标代入椭圆方程得

| x | ＝ 3 ，点

. 因为 α 是直线

2 b ， 2

的倾斜角，因此 tan α ＝a

3 b ＝ a

. 又 α ∈ π ，π ，因此

< a ≤1，

2 2 3b 6 4 3

3 3b

3 b

1 b 2

b 2

3 ≤ a <1， 3≤a 2<1， e ＝

1－ a ∈ 0， 3 ，选 A.

12．定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 的导函数为 f ′(x ) ，若对任意的实数

x ，都有 2f ( x ) ＋

xf ′(x )<2 恒成立，则使 x 2f ( x ) － f (1)< x 2－ 1 成立的实数 x 的取值范围为 (

)

A ． { x | x ≠± 1}

B ． ( －∞，－ 1) ∪ (1 ，＋∞)

C ． ( － 1,1)

D ． ( － 1,0) ∪ (0,1)

答案

B 解析

令 g ( x ) ＝ x 2f ( x ) － x 2，则 g ′(x ) ＝ 2xf ( x ) ＋ x 2f ′(x ) － 2x ＝ x [2 f ( x ) ＋xf ′(x ) －

2] ，当x>0 时，g′(x)<0 ，g( x) 单调递减．又 f ( x)是偶函数，则 g(－x)＝ x2f( －x) －x2＝x2f (x)

－x 2＝ (

) ，即(

) 是偶函数．不等式2(

) －(1)<

2－ 1 可变形为

2(x) －x2< (1) －1，

g g x f f x f f

即 g( x)< g(1)，g(|x|)< g(1)，| x|>1，解得 x<－1或 x>1，选项B正确．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分 )

13．某单位有员工90 人，其中女员工有36 人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为 15 的样本，则男员工应选取的人数是________．

答案9

解析男员工应抽取的人数为90－ 36

315＝ 9.

14．已知三棱锥－的顶点、、、

C 在球的球面上，△是边长为 3的等边

P ABC P A B O ABC

三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为 ________．答案3＋ 22

解析依题意，边长是3的等边△ABC的外接圆半径r＝

22sin60°＝ 1，∵球O的表面

积为 36π＝4πR2，∴球O的半径R＝ 3，∴球心O到平面ABC的距离d

＝R2－ r 2＝22，∴

球面上的点

P 到平面距离的最大值为＋＝3＋2 2.

ABC R d

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a， b， c，如果△ ABC的面积等

于8，a

4a＋＋c

＝ 5， tan B＝－3，那么sin A＋sin B＋sin C＝ ________.

答案565 4

解析△ ABC中，∵tan B＝－3，∴sin B＝5，cos B＝－5，又 S＝2ac sin B＝2c＝8，∴

443△ ABC1

65，∴sin a＋ b＋c b565

c＝4，∴ b＝ a ＋ c－ 2ac cos B＝＋ sin＋sin＝sin＝ 4 .

A B C B

16．过直线l：x＋y＝2 上任意一点P向圆C：x2＋y2＝ 1 作两条切线，切点分别为A，B，线段 AB的中点为 Q，则点 Q到直线 l 的距离的取值范围为________．

答案

， 2 2

解析依题意，设点(0, 2－0)，则直线

AB的方程为0 ＋(2－x0)y＝ 1( 注：由圆x2＋

P x x x x

22F， G，则直线 FG的方程是 x x＋ y y y ＝ r 外一点 E( x ，y )向该圆引两条切线，切点分别为

0000

＝ r 2

Q( x，) ，直线OP的方程是 (2 －x0) x－x0y＝ 0，其中点Q是直线AB与OP的交点，因此点

y)的坐标是方程组x0x x0y＝1，

的解．

x－ x y＝0

x＝

，

0x0y＝ 1，x＋ x

x x

00由x x－ x y＝0得2－x

2－ x

即点 Q

0 2

，

，点 Q 到直线 l

的距离 d ＝

x 0

＋x 0

＋ x 0

－ 2

x 0

＋ x 0

＝ x 0－ 2x 0＋ 2 .

注意到 0< 2

＝

≤1，－ 2< 2 1

－2≤－ 1,1 ≤ 2

－ 2

＋

－

＋ 0＋

x 0－

x 1

0－

2x 2

x 0－ 2x 0＋

－ 2

－ 2x

<2，所以

< 2，即点

≤ x

＋ 2

到直线

l 的距离的取值范围是

，

三、解答题 ( 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

)

17． ( 本小题满分 12 分 ) 已知等比数列 { a } 的前 n 项和 S 满足：

＝ 39，且 22是3 1 与

a 3 的等差中项．

(1) 求数列 { a n } 的通项 a n ；

(2) 若数列 { a n } 为递增数列， b n ＝

， n ＝

＋ 2

＋, ＋n ，问是否存在正整

log

a 2log

n ＋ 2

3 n

n 的最小值；若不存在，请说明理由．

数 n 使得 T >2成立？若存在，求出

解 (1) 设数列 { a n } 的公比为 q .

由 S 3＝ 39 得 a 1(1 ＋ q ＋ q 2) ＝ 39. ① 因为 2a 2 是 3a 1 与 a 3 的等差中项，则

3a 1＋ a 3＝ 4a 2.

即 q 2－ 4q ＋3＝ 0，解得 q ＝ 1 或 q ＝ 3.

代入①式得：当

＝1 时， 1＝ 13， {

a n }

的通项公式为

a n

＝ 13；

当 q ＝ 3 时， a 1＝ 3， { a n } 的通项公式为 a n ＝333 n － 1

＝3n .

(2)

n n

＝

n 1

n ＋ 2

＝

1 因为数列 { a }

为递增数列，所以 a

＝ 3

， b

log 3 2log

n n ＋ 2

＝

1 1

－＋ 2 .

n n

1 1 1 1 1

1－

－

＋,

T ＝ 2

3 ＋

2 4 ＋

3 5

＋

n － 1－ n ＋ 1 ＋ n －

n ＋ 2

＝

1＋

2－

n ＋ 1－

n ＋ 2

1＋ 17

由 T n >2得 n －n － 4>0，即 n >

又 n ∈ N ，所以存在最小正整数 n ＝ 3，使得 T n >2成

立．

18． ( 本小题满分 12 分 )2016 年 1 月 19 日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期

成绩 ( 满分 100 分 ) 的茎叶图如下：

(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；

(2) 若成绩不低于60 分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取 1 人，该同学及格的概率为P1，从“对此事关注者”中随机抽取 1 人，该同学及格的概率为P2，求 P2－ P1的值；

(3)若成绩不低于 80 分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变

量．①补充下面的 232 列联表；

政治成政治成

合计

绩优秀绩不优秀

对此事关注

者( 单位：人 )

对此事不关注

者( 单位：人 )

合计

②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？

参考数据：

P( K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

参考公式：2n ad－ bc 2

，其中＝＋＋＋.

K＝n

a＋ b c＋ d a＋ c b＋ d a b c d 解(1) “对此事不关注者”的 20 名同学，成绩从低到高依次为：

42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94，

64＋ 66

中位数为＝ 65，

平均数为

42＋ 46＋ 50＋ 52＋ 53＋ 56＋ 61＋ 61＋ 63＋ 64＋ 66＋ 66＋ 72＋ 72＋ 76＋ 82＋ 82＋ 86＋ 90＋ 94

＝ 66.7.

(2) 由条件可得P1＝20－ 6＝7

，P2＝30－ 5＝5，

2010306

所以 P2－ P1＝5

－7 ＝ 2 . 61015

(3) ①补充的 232列联表如下：

政治成政治成

合计

绩优秀绩不优秀

对此事关注

121830者( 单位：人 )

对此事不关注

51520者( 单位：人 )

合计173350

②由 232 列联表可得

K2＝502225≈1.203<2.706 ，

＝

30320317333187

所以，没有 90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．

19． ( 本小题满分 12分 ) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面 AA1B1B⊥平面 ABC， D 是 AC 的中点．

(1)求证： B1C∥平面 A1 BD；

(2)若∠ A1AB＝∠ ACB＝60°， AB＝ BB1， AC＝2， BC＝1，求三棱锥 A1－ ABD的

体积．解解法一： (1) 证明：连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，

∵ D是 AC的中点，

∴ DO为△ ACB1的中位

线，∴ OD∥ B1C.

又OD?平面 A1BD， B1C?平面

A1BD，∴ B1C∥平面 A1BD.

(2)∵ AC＝2， BC＝1，∠ ACB＝60°，

222

∴ AB＝ AC＋ BC－2AC2 BC2cos∠ACB＝3，

∴ AB＝3，且△ABC为直角三角形．

取 AB的中点 M，连接 A1M，

∵AB＝ BB1＝AA1，∠ A1AB＝60°，

∴△ ABA1为等边三角形，

∴A1M⊥ AB，且 A1M＝2.

又∵平面 AA1B1B⊥平面 ABC，平面 AA1B1B∩平面 ABC＝AB，A1M?平面 AA1B1B，

∴A1M⊥平面 ABC.

1 3

∵ S△ABD＝2S△ABC＝4，

∴V 三棱锥 A1－ ABD＝3S△ABD2 A1M＝8.

解法二： (1) 证明：取A1C1的中点 D1，连接 B1D1，CD1， DD1，1

∵A1D1＝2A1C1，

CD＝2AC， A1C1綊 AC，

∴A1D1綊 CD，

∴四边形A1DCD1为平行四边形，

∴CD1∥ A1D.

又A1D?平面 A1BD， CD1?平面

A1BD，∴ CD1∥平面 A1BD.

∵BB1綊 AA1綊 DD1，

∴四边形D1DBB1为平行四边形，

∴B1D1∥ BD.

又 BD ? 平面 A 1BD ， B 1D 1?平面

A 1BD ， ∴

B 1D 1∥平面 A 1BD .

又 CD 1∩ B 1D 1＝ D 1，

∴平面 B 1CD 1∥平面 A 1BD .

又 B 1C ? 平面 B 1CD 1，∴ B 1C ∥平面 A 1BD .

(2) ∵ AC ＝ 2， BC ＝ 1，∠ ACB ＝60°，

BC 2cos ∠ ACB ＝ 3，

∴ AB ＝ AC ＋ BC － 2AC 2 ∴ AB ＝ 3.

∴ AC ＝ AB ＋ BC ，∴ BC ⊥ AB .

又∵平面 AA 1B 1B ⊥平面 ABC ，平面 AA 1B 1B ∩平面 ABC ＝AB ，

∴ BC ⊥平面 AA 1B 1B .

∵∠ A 1AB ＝60°， AB ＝ BB 1＝ AA 1，

∴ AA 1＝ 3，

3 3

∴ S △ A 1AB ＝2AB 2 AA 12sin ∠ A 1AB ＝ 4 . ∵ D 是 AC 的中点，

∴ V 三棱锥 A 1－ ABD ＝V 三棱锥 D － A 1AB ＝ 2V 三棱锥 C － A 1AB

1 1

S △ A 1AB 2

＝ 3

3BC ＝ .

x 2 y 2

20．( 本小题满分 12 分) 已知椭圆 C ：a 2 ＋ b 2 ＝ 1( a >b >0) 的离心率为 2 ，过点 M (1,0) 的直

线

l 交椭圆 C 于，两点， | | ＝ λ | | ，且当直线 l 垂直于 x 轴时， | |＝ 2.

A B

MA MB

(1) 求椭圆 C 的方程；

，求弦长 | AB | 的取值范围． (2) 若 λ ∈ 2， 2 解

(1) 由已知 e ＝ 2

，得 c ＝ 2 ，

x 轴时， | AB | ＝ 2

又当直线垂直于

，所以椭圆过点

1， 2 ，

代入椭圆方程得 a 2＋ 2b 2＝ 1，

∵ a 2＝ b 2＋ c 2，联立方程可得 a 2＝ 2， b 2＝ 1，

∴椭圆 C 的方程为

＋ y ＝ 1.

(2) 当过点 M 的直线斜率为 0 时，点 A ，B 分别为椭圆长轴的端点， λ ＝ | MA | 2＋ 1

| MA | 2－1

＝3－2

1 ＝＝3＋

2 2>2 或 λ＝

＝

2< ，不符合题意．

| MB | 2－ 1 | MB |

2＋1

∴直线的斜率不能为

设直线方程为 x ＝ my ＋ 1， A ( x 1， y 1) ， B ( x 2，y 2) ，

将直线方程代入椭圆方程得：

( 2＋ 2)

y 2

＋ 2 － 1＝ 0，由根与系数的关系可得，

①

y ＋ y ＝－ m ＋ 2，

y 1y 2＝－ 2

， ②

m ＋ 2

将①式平方除以②式可得：

y 1 y 2

，

＋

＋2＝－ 2

y 2 y 1

m ＋ 2

由已知 | MA |＝ λ | MB |可知， y

＝－ λ ，

y 2

∴－ λ －＋ 2＝－ 2＋ 2，

λ m

又知 λ ∈ 2， 2 ，∴－ λ －λ ＋ 2∈ － 2， 0 ，

0，

7 .

∴－ 2≤－ m ＋ 2≤0，解得 m ∈

2 2

m ＋ 1 2

| AB | ＝(1 ＋m )| y 1－ y 2| ＝ (1 ＋ m )[( y 1＋ y 2) － 4y 1 y 2] ＝ 8 2＋ 2 ＝ 8

1－ 2＋2

，

∵ 2∈ 0，2

，∴

∈ 7，1，

m ＋ 2

∴| AB | ∈

2 2， 8

21． ( 本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋x － 1， a ∈R. (1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 0，求 a 的值； (2) 证明： e x ＋ (ln

x － 1)sin x >0.

解

(1) f ( x ) ＝ ln x ＋ x － 1 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ，

a x － a

且 f ′(x ) ＝ x － x 2＝ x 2 .

若 a ≤0，则 f ′(x )>0 ，于是 f ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增，

故 f ( x ) 无最小值，不符合题意．

若 a >0，则当 0a 时， f ′(x )>0.

故 f ( x ) 在 (0 ， a ) 上单调递减，在 ( a ，＋∞ ) 上单调递

增．于是当 x ＝a 时， f ( x ) 取得最小值 ln a . 由已知得 ln a ＝ 0，解得 a ＝1. 综上， a ＝ 1.

(2) 证明：①下面先证当

x ∈(0 ， π ) 时， e x ＋ (ln x － 1)sin x >0.

e x

因为 x ∈ (0 ， π ) ，所以只要证 sin x >1－ ln x .

x ，由 (1) 可知 x ≥1－ ln

e x 1 x

于是只要证 sin x >x ，即只要证 x e － sin x >0.

－ sin x ，则

－ cos x .

令 h ( x ) ＝ x e h ′(x ) ＝ ( x ＋ 1)e 当 012e 0－ 1＝0，

所以 h ( x ) 在 (0 ， π ) 上单调递增．

所以当 0< <π 时， (

h (0) ＝ 0，即 x e x － sin

x >0.

x h x

故当 x ∈ (0 ， π ) 时，不等式 e x ＋ (ln x －1)sin x >0 成立．

②当 x ∈ [ π ，＋∞ ) 时，由 (1) 1

x ，

知 x ≥1－ ln 于是有 x ≥1－ ln 1 x ≥1＋ ln x .

x ，即

x 1＋ln x

所以 e ≥e

，即 e ≥e x ，

又因为 e x ≥e(1 ＋ ln x ) ，所以 e x ≥e(1 ＋ ln x ) ，

＋ (ln x － 1)sin x ≥e(ln x ＋ 1) ＋(ln x － 1)sin x 所以 e ＝ (e ＋ sin x )ln x ＋ (e － sin x )>0.

综上，不等式 e x ＋ (ln x － 1)sin x >0 成立．

请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22． ( 本小题满分 10 分 ) 选修 4－ 4：坐标系与参数方程

xOy 中，直线 l 的参数方程为

x ＝ 3－ 2

t ，

在平面直角坐标系

( t 为参数 ) ．在以

y ＝ 5＋

原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆

C 的方程为 ρ ＝ 2 5sin θ.

(1) 写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；

(2) 若点 P 坐标为 (3 ， 5) ，圆 C 与直线 l 交于 A 、 B 两点，求 | PA | ＋ | PB | 的值．

解

(1) 由

x ＝3－ 2 t ，

得直线 l 的普通方程为

x ＋ y － 3－ 5＝ 0.

y ＝ 5＋ 2 t

又由 ρ ＝ 2 5sin θ 得圆 C 的直角坐标方程为

x 2

＋

y 2

－ 2 5 ＝0，

即 x 2

＋ ( y － 5) 2＝ 5.

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得

3－ 2 t

＋

＝ 5，即 t －3 2t ＋4＝ 0.

由于

＝ (3 2) 2 －434＝ 2>0，故可设 t 1、 t 2 是上述方程的两实数根，

所以 t 1＋ t 2＝ 3 2， t 12 t 2＝ 4.

又直线 l 过点 P (3,

5) ， A 、 B 两点对应的参数分别为 t 1、t 2，

所以 | PA | ＋| PB | ＝ | t 1| ＋ | t 2| ＝ t 1＋ t 2＝ 3 2. 23． ( 本小题满分 10 分 ) 选修 4－ 5：不等式选讲设函数 f ( x ) ＝ | x － 1| ＋ | x －a |( a ∈ R) ． (1) 当 a ＝ 4 时，求不等式 f ( x ) ≥5的解集． (2) 若 f ( x ) ≥4对 a ∈ R 恒成立，求实数 a 的取值范围．

解

(1) 当 a ＝ 4 时， | x － 1| ＋ | x － a | ≥5等价于

x <1，

1≤ x ≤4， x >4，

－ 2x ＋5≥5 或

或

3≥5

2x －5≥5，

解得 x ≤0或 x ≥5.

所以不等式 f ( x ) ≥5的解集为 { x | x ≤0或 x ≥5} ．

(2) 因为 f ( x ) ＝ | x －1| ＋ | x －a | ≥|( x － 1) － ( x － a )| ＝ | a － 1| ，所以 f ( x ) min ＝ | a － 1|.

要使 f ( x ) ≥4对 a ∈R 恒成立，则 | a －1| ≥4即可，所以 a ≤－ 3 或 a ≥5，

即实数 a 的取值范围是 { a | a ≤－ 3 或 a ≥5} ．