2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(文)试题

2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（文）试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

一、单选题

1．已知集合M 满足{}1,2M ? {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．若43z i =+，则z z

=（ ） A ．1

B ．1-

C ．4355i +

D ．4355i - 3．已知向量()1,sin ,sin ,12a b αα??==

???，若a b ，则锐角α为（ ） A ．30 B ．60? C ．45? D ．75?

4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A ．45

B ．35

C ．25

D ．15 5．设0.512a ??= ???

，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A ．b a c << B ．a b c << C ．a b c >> D ．a c b <<

6．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，

小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）

A ．小钱

B ．小李

C ．小孙

D ．小赵

7．已知函数f （x ）满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），且f （x +2）＝f （x ），当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （52-

）＝（ ） A ．12- B ．14- C ．14 D ．12

8．已知平面α，直线m ，n 满足m ?a ，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）

A ．充要条件

B ．既不充分也不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．充分不必要条件 9．曲线2ln y x x =-

在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35

10．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线于A ，B 两

点（异于坐标原点O ）AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）

A ．(2,0)

B ．(4,0)

C ．(6,0)

D ．(8,0)

11．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若()()124f x f x =-，且12x x -的最小值为π2

，则()f x -（ ）． A ．在π0,6

??????上是增函数 B ．在π0,6??????上是减函数 C ．在ππ,312??-???

?上是增函数 D ．在ππ,312??-????上是减函数 12．已知1F ，2F 分别是双曲线2

22-1(0)y x b b

=>的左、右焦点，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A ．()1

2， B ．)∞

C ．(()1

2+?∞， D ．()2+∞，

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

13．设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y xy +≤??+≥-??≤?

则32z x y =-最小值为________.

14．已知某民营车企1月份生产了A ，B ，C 三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，150.现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B 型号的新能源汽车被抽取的概率为_______.

15．在ABC ?中，内角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?的面积为

，12,cos 4

b c A -==-，则a 的值为___________． 16．

我国古代数学名著《九章算术?商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：

①四个侧面都是直角三角形；

②最长的侧棱长为

③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；

④外接球的表面积为24π．

其中正确的描述为____．

三、解答题

17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}

n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．

18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．

（1）证明：//PB 平面AEC ;

（2）设1AP =，AD =

，三棱锥P ABD -的体积 4

V =，求A 到平面PBC 的距离．

19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图.

（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；

（2）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；

（3）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率.

20．如图，已知圆22

:(1)4E x y +-=经过椭圆22

22:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点12,F F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线交椭圆C 于,M N 两点，当AMN ?的面积取取最大值时，求直线l 的方程.

21．设0a >，函数()2

22ln f x x ax a x =--． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值．

22．

在直角坐标系xOy 中，圆221:(4C x y +=，曲线2C 的参数方程为

22cos (2sin x y θθθ

=+??=?为参数），并以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出1C 的极坐标方程，并将2C 化为普通方程；

（2）若直线3C 的极坐标方程为2(),3R C πθρ=

∈与3C 相交于,A B 两点，求1ABC ?的

面积（1C 为圆1C 的圆心）.

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

利用列举法，求得集合M 的所有可能，由此确定正确选项.

【详解】

由于集合M 满足{}1,2M ? {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为

{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.

2．D

【解析】

【分析】

【详解】

由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555

z i i z -==-. 本题选择D 选项.

3．C

【解析】 ∵()1,sin ,sin ,12a b αα??== ???

，b ∥a ， ∴21sin 2

α=， 又α为锐角，

∴sin ,452

αα=

=?．选C ． 4．C

选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为1

4C 种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.

考点：古典概型

名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些. 5．A

【解析】

【分析】

利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.

【详解】 解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，1

10.32>> 所以0.50.50.5110.32??> ???>，即0.50.5110.32??>> ???

因为0.30.3log 0.2log 0.31>=

所以b a c <<

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.

6．A

【解析】

由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；

如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A . 7．A

【解析】

根据周期性和奇偶性，即可求解.

【详解】

由f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 得51111()()()22222252

f f f -=-=-=-?

?=-. 故选:A

【点睛】

本题考查函数的性质应用，属于基础题.

8．D

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立， //m α，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面.

即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件，

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键． 9．D

【解析】

【分析】

根据已知条件，求出切线斜率tan 3α=，再根据同角三角函数的基本关系可求出sin α，cos α，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果.

【详解】 根据已知条件，212()f x x x '

=+，因为曲线2ln y x x

=-在1x =处的切线的倾斜角为α，所以tan (1)123f α'==+=，02πα<<.因为22sin cos 1a α+=，sin tan 3cos ααα==，则解得sin

α=cos α=，故3cos(2)sin 22sin cos 25παααα+=-=-=-.

故本题正确答案为D.

【点睛】

本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.

10．B

【解析】

【分析】 由题意可得2b a

=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标.

【详解】

2222

2

22215c a b b e a a a +===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：

22

322n m mn n pm ?=??=??=??

，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B .

【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．D

【解析】

【分析】

化简得到()()2sin 23x g x f x π??-+

??-=?=，分别计算π0,6x ??∈????和ππ,312x ??-????

∈时的单调性得到答案.

【详解】 (

)[]sin 2sin 2,23x x f x x πωωω??==-∈- ??

?，

()()124f x f x =-，且12x x -的最小值为π2，故22,22T ππωω==?∴= ()()2sin 22sin 233x x x g x f ππ????--=-+ ? ????

==?- 当π0,6x ?

?∈????时，22,333x πππ??+∈????

，函数有增有减，故AB 错误； 当ππ,312x ??-????

∈时，2,332x πππ??+∈-????，函数单调递减，故D 正确，C 错误； 故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 12．D

【解析】

【分析】

根据题意求出点P 的坐标，再根据120

PF PF ?>即可容易求得. 【详解】

由题可知，渐近线方程为y bx =±，

故可得直线1PF 方程为()y b x c =+，

联立y bx =-，

即可求得点P 坐标为,22c bc ??- ??

?， 又因为点P 在以线段12F F 为直径的圆外，

故可得120PF PF ?>， 则3,,02

222c bc bc c ????--?-> ? ?????， 则222

344

b c c >，解得23b >，

则离心率2e =>.

故选：D .

【点睛】

本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题；本题的难点在于点P 坐标的求解，以及点在圆外的转化.

13．5-

【解析】

【分析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】

作出可行域，如图四边形OABC 内部（含边界），作直线:320l x y -=，向上平移直线l ，32z x y =-减小， l 过点(1,1)B -时，32z x y =-取得最小值5-．

故答案为：5-．

【点睛】

本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域

14．130

【解析】

【分析】

根据分层抽样的概率，即可容易求得.

【详解】

由题可知，B 型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等， 则其概率16112021015030

P =

=++. 故答案为：130. 【点睛】

本题考查分层抽样的概率计算，属基础题.

15．8

【解析】

试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.

考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．

【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.

16．①②④

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，P A⊥底面ABCD，P A＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，

底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，

则四个侧面是直角三角形，故①正确；

最长棱为PC ，长度为，故②正确；

由已知可得，，，

把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为

12，其表面积为=24π，故④正确．

∴其中正确的命题是①②④．

故答案为①②④．

【点睛】

本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题． 17．（Ⅰ） 12

n n a += （Ⅱ）见解析，234

n n + 【解析】

【分析】

（1）利用2342248a a a q a q +=+=及28a =求得q ，从而得到通项公式． （2）利用定义证明{}n b 等差数列，并利用公式求和．

【详解】

（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >．

由2348,48a a a =+=得28848q q +=，解得2q

．

故21822n n n a -+=?= ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1441log log 2

2n n n n b a ++===． 故112n n b b --=，所以{}n b 是首项为1，公差为12

的等差数列， 所以()21131224

n n n n n S n -+=?+?=． 【点睛】

一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明1n n a a d --=；（2）证明：112n n n a a a -+=+.

18．（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 【解析】

【分析】

【详解】 试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）

以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离

试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ．

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．

又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB

又EO 平面AEC ，PB 平面AEC

所以PB ∥平面AEC ．

（2）166

V PA AB AD AB =??= 由，可得

. 作交于．

由题设易知，所以

故

， 又31313PA AB AH PB ?==所以到平面的距离为

法2：等体积法

166

V PA AB AD AB =??= 由，可得.

由题设易知

,得BC 假设到平面的距离为d ，

又因为PB=

所以

又因为(或)，

，

所以

考点：线面平行的判定及点到面的距离

19．（1）甲的成绩比较稳定，理由见解析（2）

12（3）列举见解析；概率为15

【解析】

【分析】

（1）求得甲乙两位同学成绩的平均成绩和方差，据此判断；

（2）根据茎叶图中的数据，即可容易求得；

（3）根据题意，列举即可；再根据古典概型的概率计算公式即可容易求得.

【详解】

（1）派甲参加比较合适，理由如下： 1(702804902988

x =?+?+?++甲842153)85++++++=， 1(701804903538

x =?+?+?++乙525)85+++=， ()()()22221[7885798581858

S =-+-+-甲()()()222828584858885+-+-+- ()()22

93859585]35.5+-+-=，

()()()22221[7585808580858S =-+-+-乙()()()222838585859085+-+-+- ()()22

92859585]41+-+-=， 故x x =甲乙，22S S <甲乙， 则甲的成绩比较稳定，派甲比较适合.

（2）从茎叶图可知，成绩高于84分的数据有4个， 故所求概率4182

P ==； 3（）

从不小于80分的成绩中抽取2个成绩， 所有结果为()8182

，，()8184，，()8188，，()8193，，()8195，，()8284，，()8288，， ()8293，

，()8295，，()8488，，()8493，，()8495，，()8893，，()8895，，()9395，， 共15个，其中，满足2个成绩均大于85分的有()8893，

，()8895，，()9395，共3个， 故所求的概率是

31155

=. 【点睛】

本题考查由茎叶图计算平均数和方差，以及利用列举法求古典概型的概率计算，属综合综合基础题.

20．(1)22196x y +=;(2) 33

y x =±. 【解析】

试题分析：（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c ，再由条件得1F A 为圆E 的直径，且14AF =，根据勾股定理求出22AF =，根据椭圆的定义和222a b c =+依次求出a,b 的值，代入椭圆方程即可；

（2）由（1）求出A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA 的斜率，设直线l 的方程和,M N 的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去y ，利用韦达定理和弦长公式求出MN ，由点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，代入三角形的面积公式求出AMN S ?，化简后求最值即可.

试题解析：(1)∵1F ，E ，A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，且14AF =，

∴212AF F F ⊥.由()22014x +-=，得x =c =222211216124AF AF F F =-=-=， ∴22AF =， ∴1226a AF AF =+=，3a =.

∵222a b c =+，∴2

6b =，∴椭圆C 的方程为22

196x y +=. (2)由（1）知，点A 的坐标

为

()

3,2，∴直线OA 的斜率为

2

3

3

，故设直线l的方程为

23

y x m

=+，将l方程代入

22

1

96

x y

+=消去y得：22

6433180

x mx m

++-=，设()

11

,,

M x y()

22

,,

N x y∴

12

2

3

3

x x m

+=-，2

12

1

3

2

x x m

=-，22

48724320

m m

?=-+>，∴

3232

m

-<<，又：

21

MN x

=-=，∵点A到直线l的距离d=，∴

1

2

AMN

S MN d

?

=?=

==

142

≤=，

当且仅当

2

28

9

14

2

9

m=-=

??

?-

?

??

，即3

m=±时等号成立，此时直线l的方程为

3

3

y x

=±.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．（1）()

f x的单调减区间是

?

??

，单调增区间是

?

+∞??

??

；（2）

1

2

.

【解析】

【分析】

（1）将1

a=代入()

f x中可得()222ln

f x x x x

=--（0

x>）,令()0

f x

'=,解得

x=,进而求得单调区间；

（2）令()0f x '=,解得10x =<（舍）,20x =>,可得函数()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增,则()()2min f x f x =,由于函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点,则()20f x =,整理即为2212ln 0x x --=,设()2ln 1g x x x =+-,可得()2ln 1g x x x =+-在()0,∞+是单调递增的,则()10g =,进而求得a

【详解】

（1）函数()2

22ln f x x ax a x =--, 当1a =时,()2

22ln f x x x x =--（0x >）, ∴()2222222x x f x x x x

--'=--=, 令()0f x '=,即210x x --=,

解得12x +=或12

x -=（舍）,

∴x ?∈ ??时,()0f x '<；x ?∈????

时,()0f x '>,

∴()f x 的单调减区间是? ??,单调增区间是?+∞????

（2）()2

22ln f x x ax a x =--, 则()2222222a x ax a f x x a x x

--'=--=, 令()0f x '=,得20x ax a --=,

∵0a >,

∴240a a ?=+>,

∴方程的解为102a x -=<（舍）,202

a x +=>；

∴函数()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增， ∴()()2min f x f x =,

若函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点,

则()20f x =,

而2x 满足222x ax a =+,

∴()()222222222ln 122ln 0f x ax a ax a x a x x x =+--=+--=, 即2212ln 0x x --=,

设()2ln 1g x x x =+-,

∵()2ln 1g x x x =+-在()0,∞+是单调递增的,

∴()g x 至多只有一个零点,

而()10g =,

∴用21x =代入222x ax a =+,

得10a a --=, 解得12

a = 【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题

22．（1）1C : 2cos 10ρθ-=,2C :22(2)4x y -+= ;（2）32

; 【解析】

【分析】

【详解】

（1）1C 的极坐标方程为：2cos 10ρθ-=, 2C 化为普通方程为:()2224x y -+= .

（2）直线3C 的普通方程为y =，显然曲线2C 与3C 相交于原点，不妨设,A O 重合