三阶三点特征值问题正解的存在性
第３３卷第１期２０１９年１月
兰州文理学院学报(自然科学版)
J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y o
fA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３３N o ．１
J a n ．２０１９
收稿日期:２０１８Ｇ０６Ｇ１０作者简介:寇磊(１９９１Ｇ),男,甘肃古浪人,助教,硕士,研究方向:常微分方程与动力系统．E Ｇm a i l :１２７５９３９４３３＠q q
．c o m．
一一文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０１９)０１Ｇ００１９Ｇ０３
三阶三点特征值问题正解的存在性
寇一磊,达佳丽
(西北师范大学知行学院数学系,甘肃兰州７３００７０
)摘要:基于探究三阶三点边值问题
u
(t )＋λq (t )f (
t ,u )＝０,０＜t ＜１,u (０)＝α?u (０),u (１)＝βu (η)
,?u (１)＝０{
的格林函数的一种新的上界估计,获得边值问题正解的存在性结果．关键词:正解;格林函数;三点边值问题中图分类号:O １７５．１一一一文献标志码:A
0一引言
２０１３年,F E N G X i n g Ｇf a n g 在文献[
１]中研究了以下三点边值问题
u
(t )＋λq (t )f (
t ,u )＝０,０＜t ＜１,一(１)u (０)＝α?u (０),u (１)＝βu (η)
,?u (１)＝０(２){
正解的存在性,其中:０＜η＜１,α,β＞０,λ是参数,q ?(０,１)?[０,￥),f ?[０,１]?[０,￥)?[０,￥)是连续的,且q (t )在t ＝０,１处奇异．
在文献[１]中,作者得到了关于边值问题(１),(２)格林函数的一些性质．然后,用这些性质和拉伸与压缩不动点定理,获得边值问题(１),(２)至少存在一个正解的充分条件．
三阶常微分方程边值问题在过去几年里得到许多关注,因为这些问题在实际应用中也比较重要．例如边界层理论在流体力学中的应用,并且用
到许多方法如上下解法[２Ｇ５],打靶法[６
],单调迭代法[７]
,这些方法都已被研究具有变分边界条件的
三阶微分方程解的存在性,包括两点边值问
题[２Ｇ５],三点边值问题[８Ｇ１０]和周期问题[７
]等等．
已有研究成果应用广泛,但在寻求边值问题
解的存在性问题上复杂度各异,有进一步探究的必要．本文基于三阶三点边值问题
u
(t )＋λq (t )f (
t ,u )＝０,０＜t ＜１,u (０)＝α?u (０),u (１)＝βu (η)
,?u (１)＝０{
探究了其格林公式;然后获得了边值问题解的一种新的上界估计,最后得到该边值问题正解的存
在性,并进行了证明．
1一预备知识
根据文献[１],基于边值问题(１),(２
)的格林函数为
G (t ,s )＝
１２(
１－s )t ２
,一一一０?t ?s ?１,(－t ２
＋２t －s )s ,０?s ?t ?１
,{
(３)且
G (１,s )＝
１２(
１－s ),一０?t ?s ?１,(１－s )s ,０?s ?t ?１．{
(４
)引理１[１
]一G (t ,s )有如下性质:
(a )G (t ,s )是连续函数,t ,s ?[０,１];(b )G (t ,s )?０,t ,s ?[０,１];(c )m a x t ?[０,１
]G (t ,s )＝G (１,s ),s ?[０,１];(d )t ２
G (t ,s )?G (t ,s )?G (
１,s ),t ,s ?[０,１]．引理２[１]
一令h ?C [０,１],则u (t )
是边值问题
u
(t )＝－h (
t ),一一０＜t ＜１,u (０)＝α?u (０),u (１)＝βu (η)
,?u (１)＝０{
的一个正解当且仅当
u (t )＝?
１
０
G (
t ,s )h (s )d s ．令
b (t )?＝m
a x１,t (２(１－t )＋α
t )α
{}
．