福建省最新2021届高三数学10月月考试题
福建省罗源第一中学2021届高三数学10月月考试题
一、单选题（每小题5分） 1．复数
1
1i i
-+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. -1
B. 1
C. i -
D. i
2．αβ≠是cos cos αβ≠的( )条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2
，则θ等于（ ）
A ．－π6
B ．－π3 C.π6 D.π3
4．函数1ln sin 1x
y x x
+=?-的图象大致为（ ）
5．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝?
????a x
，x ≥1
ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(1，2]
6．已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6
，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．若函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为????
??－12，1，则ω的最小值为( ) A.23 B ．34 C.43 D ．3
2 8．在ABC ?中，已知点P 在线段BC 上，点Q 是AC 的中点，
AQ
y AB x AP +=，0,0>>y x ，则
y
x 11+的最小值为（ ）
A ．2
3
B ．4 C.
22
3
+ D. 223+ 二、多选题（每小题5分，部分选对得3分）
9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
10．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若11
22
AM AB AC =
+，则点M 是边BC 的中点 B ．2AM AB AC =-若，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC 的重心
D ．若AM x AB y AC =+，且1
2x y +=，则MBC △的面积是的ABC 面积的12
11．要得到函数x y cos =的图像，只需将函数)3
2sin(π
+=x y 的图像上所有的点（ ）
A ．先向右平移
6π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2
1
（纵坐标不变） B ．先向左平移个
12
π
单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
6
π
个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的
21（纵坐标不变），再向右平移3
π
个单位长度 12．设函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： A ．f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B ．f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点
C ．f (x )在? ????0，π10上单调递增
D ．ω的取值范围是????
??125，2910
其中所有正确结论是( ) 三、填空题（每小题5分）
13．若
,x y满足约束条件
26
2
x y
x y
x y
-≥
?
?
+≤
?
?+≥
?，则3
x y
+的最小值为_________．
14．已知平面向量a，b满足a＝(1，3)，|b|＝3，a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
15．已知函数f(x)＝
??
?
??e－x，x≤0
－x2－2x＋1，x>0
，若f(a－1)≥f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是_____
16．在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则2
BC
PB
PC+
?
的最小值是______.
四、解答题（第17题10分，第18——22题每题12分）
17．化简下列各式并求值：
（1）
1
3
31
2
(lg50lg5)8
2log9log4
-?
+；
（2）已知tan2
x=，求
2cos cos()
2
3
sin
2
x x
x
π
π
π
??
++-
?
??
??
+
?
??
的值.
18．已知函数()Asin()(0,0,||)
2
f x x A
π
ω?ω?
=+>><的部分图象如图所示.
（1）求A，ω和?的值；
（2）求函数()
y f x
=在[]
1,2上的单调递减区间；
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a
cos C sin B
＝
b
sin B
＋
c
cos C
.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
20．如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝
62
. (1)求B ；
(2)求△ABC 的面积．
21．已知二次函数2()2f x x x =+. （1）求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数()()ln(1)g x f x a x =++的单调性。
22．已知向量()
2sin ,3cos a x x =，向量()cos ,2cos b x x =，函数()3f x a b =?-. （1）求函数()f x 在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值以及取得最值时x 的值； （2）求证：存在大于3π
的正实数0x ，使得不等式()23ln f x x
>在区间()
0,x e 有解.（其中e 为自然对数的底数）
1、B
2、B
3、D
4、A
5、D.
6、B. 7．A. 8、C 9、AC 10．ACD 11、BC 12．ACD 13．2- 14．23
15．[－2，1] . 16
、17、【详解】
(1)
1
3
312
(lg50lg5)8(lg10)2
12log 9log 442
-??==+-.
(2)∵
2cos cos()
2sin cos 22tan 13cos sin 2x x x x x x x πππ??
++- ?--??==+-??
+ ???
， 又tan 2x =，∴原式2215=?+=. 18．【详解】
（1）由题可得1A =，412()233T =-=，则2T
π
ωπ=
=，
当56x =时，()f x 取得最大值，则52()62
k k Z π
π?π+=+∈，
所以2()3k k Z π
?π=-+∈，
又因为||2
?π<，故3π
?=-；
（2）由（1）可知()sin()3
f x x π
π=-，
令
322232
k x k π
π
π
πππ+-
+，k Z ∈， 则511
2266
k x
k ++，k Z ∈， 故()f x 的单调递减区间为5[26k +，11
2]()6
k k Z +∈，
则()f x 在[1，2]上的单调递减区间为[1，11
]6
；
19．解：(1)利用正弦定理，得sin A cos C sin B ＝cos C ＋sin C cos C ，即sin （B ＋C ）
sin B
＝cos C ＋sin C ，
则sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin B sin C ，又sin C ≠0， 所以tan B ＝1，又0＜B ＜π，∴B ＝π
4.
(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝2
4ac ，
所以当ac 最大时，S 最大．
由已知及余弦定理，得2＝a 2＋c 2－2ac cos π4
＝a 2＋c 2
－2ac ≥2ac －2ac ，
所以ac ≤22－2＝2＋2，当且仅当a ＝c 时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为2
4×(2＋2)
＝
2＋1
2
. 20．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴a 2
＋(c －a )·c ＝b 2
，即a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，
∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝1
2
，0
(2)连接EC (图略)，D 是AC 的中点，又DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝DE sin A ＝6
2sin A ，∠A ＝∠ECD ，∠
BEC ＝2∠A ，在△BCE 中，
EC
sin B
＝
BC
sin∠BEC ，即62sin A ·sin B ＝2sin 2A ，即化简整理得：cos A ＝2
2
，