2010年考研数学一真题与答案
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2010年考研数学一真题
一、选择题(1?8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
⑴极限皿—［金而］_
(A) l (B)e (C)e a ~b
(D)e b ~a
【考点】Co 【解析】 【方法一】 这是一个“I 00”型极限
Um [—— l x
(x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】 原式="Hl 評”(x-a )("b)
XT 8
rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l +
xt8 (x-a)(x+&) xt8
(x-a)(x+&)
【方法三】
对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m
(a-b)x^ab (―a)(+)
lim x ?
*T8
(a-b)x+ab (x-a)(x+b)
(等价无穷小代换)
x 2
DM)
a(x) 0(x) = A
]x
由于"mis Q (x)0(x) = Um
曽；驚；；)? x XT8 (x-a)(x+fc)
■ ? (a -b)x 2^abx
f
=恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀
【方法四】
综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限
(A)x (C)-x
【答案】Bo 【解析】 空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫 缺 F ； 磅 叫 9
dz °y
综上所述，本题正确答案是(B)。
所以唏+y 辭警現F , yfi -珈
X 2
(x-a)(x+b).
：(x-a)(x+b)]
-X
X 2
=塑a 一 沪?慟(i+「宀
ea 'b
(2)设函数z = z(x,y)由方程 F (gm =
0确定，其中F 为可微函数，且
f”2工°，则燈+琲=
(D)-z
因为
【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微
(3)设m,ri 为正整数，则反常积分的收敛性
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x t 0+
在反常积分中，被积函数只在"0+时无界。 由于勺囂-小n °,
且反常积分A 备收敛，所以A “w 必收敛
2 2
综上所述，无论取任何正整数，反常积分匸%常F 必收敛。
(A)仅与m 的取值有关 (B) 仅与n 的取值有关 (C) 与m 川的取值都冇关
【答案】Do
(D) 与的取值都无关
nt
lim XT0
在反常积分￡少2(一)
2
9加2(1_尤)、八 ~乐~_u
m
Jln 1 2(l-x)
dx 中.被积函数只在尢t 1-时无界，由于
------ -- —=
Vi-x
2_
伽迦羊=0 XT1 (1-护
(洛必达法则)
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分
（4）/un n ->oo XJLi Z;=i （n+i ）（以+/2）
【答案】Do 【解析】 因为
"mH Y n =i _^_ = "叫 T8 器 1 5：7=1 n(1+i )n "(1+(z )2)
综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概 念、性质、计算和应用
⑸设力为mxn 矩阵，B 为nxm 矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若
AB = E,则
(A)秩 r(4) = m,秩 r(B) = m (B)秩 r(4) = m,秩 r(B) = n (C)秩 r(/l) = M ,秩 r(B) = m
(D)秩 rQ4) = n,秩 r(B) = n
【答案】Ao 【解析】
(A)
/o dx
fo (+)：2)dy
(C
)J ；dxj ；(+)；+y)dy
(i+x )(i+y)
dy
(D"(>Q (+)爲/y
因为AB = E%m阶单位矩阵，知r(AB) = m
又因r(4￡?) < min (厂(A),厂(B)),故
m < r(A),m < r(B)
另一方面，A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，又有
r(i4) < m, r(B) < m
可得秩r(4) = m,秩r(B) = m
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数一矩阵一矩阵的秩
(6)设4为4阶实对称矩阵，且护+力=o,若川的秩为3,则力相似于
1 1
(A ) 1
1
(B)
1
-1
0. 0.
■ ■1 ■ ■-1
(C ) -1
-1
(D)
-1
-1
0. 0
【答案】Do
【解析】
由4a = Aa, a丰0知4"^ = 2n a,那么对于4? + 4 = 0推出来
(A2 + A)a = 0=>A2 + A = 0
所以4的特征值只能是0、-1
再由力是实对称矩阵必有A?A,而A是4的特征值，那么由“力)=3,