参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究
参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究
复旦实验中学 袁青
2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便．
考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题）
如图，已知双曲线1C ：2
212
x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、
2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．
（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使
用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程
（不要求验证）；
（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证
明原点不是“12C C -型点”；
（3）求证：圆2212
x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C
的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：
x =
(y k x =
，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =??=+?有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点．
考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）．
显然直线0x =与1C 无公共点．
如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212
y kx x y =???-=??得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点．
因此，原点不是“12C C -型点”．
（3）记圆O ：2212
x y +=
，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+． 若1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >．
因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212
y kx b x y =+???-=??有实数解，得()222124220k x kbx b ----=． 因为1k >，所以2120k -≠，因此()()()()2
22224412228120kb k b b k ?=----=+-≥，即2221b k ≥-． 因为圆O 的圆心()0,0到直线l
的距离d =222121b d k =<+，从而2221212k b k +>>-，得21k <，与1k >矛盾． 因此，圆2212
x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 解法分析：第（2）、（3）两题由于在研究直线与曲线发生的相交的情况，所以主要切入点为函数与方程的思想，将交点个数问题转化为了方程解的个数问题．即使（3）中的直线是不确定的，也从其一般形态y kx b =+入手，使问题得以顺利解决．但（3）中1k >的得出过程并不是每一位同学都能如此严谨地进行表述的．
解法另探：可以从参数方程角度将（2）解决，利用齐次化方法对（3）求解．
（2）假设原点可以为“12C C -型点”，通过反证法可以得到并不可能．
设直线的参数方程cos sin x t y t θθ
=??=?，则代入1y x =+可得11sin cos 1t t θθ=+，代入2
212x y -=可得222222cos 2sin 2t t θθ-=． 所以，()1sin cos 1t θθ-=，()2222cos 2sin 2t θθ-= 由此可知sin cos 0θθ->且22cos 2sin θθ>
所以sin cos θθθ>>，则sin 0θ<，并不可能发生，假设不成立．
所以得证原点并不是“12C C -型点”．
另外，由于y kx =与1y x =+相交时有sin cos θθ>，则可同样得证sin 1cos k θθ=
>． （3）记圆O ：2212
x y +=，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+．由（1）可知Q 不是()0,0，则0b ≠
∵直线过圆内一点
∴d=<，则22
21
b k
<+①
∵
2
2
1
1
2
y kx
b
x
y
-
?
=
??
?
?-=
??
∴
2
2
2
2
x y kx
y
b
-
??
-= ?
??
，即()()
22222
22420
b y kxy k b x
+-+-=
∴()()
2
222
22420
y y
b k k b
x x
??
+-+-=
?
??
∴()()
22222242
16422216880
k b k b k b b b
?=-+-=-++≥，则22
21
k b
≤+②
∴由①②可知21
b<且21
k<
∴假设y kx b
=+与1
y x
=+交于第一象限点（注：不可能交于()
0,1，与1
b≠矛盾）
∴1
y kx
y x
b
-
-==，则()1y
b b k
x
-=-
∴1
1
y b k
x b
-
=>
-
∵1
b<
∴1
b k b
-<-
∴1
k>显然与21
k<矛盾
∴假设不成立
因此，圆22
1
2
x y
+=内的点都不是“
12
C C
-型点”．
以上三种方法其实在适当的背景下都可使用，灵活运用可为解题带来极大的方便．如下几例：例1、已知椭圆
22
1
2416
x y
+=，直线l：1
128
x y
+=．点P是l上一点，
射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足
2
OQ OP OR
=
g．当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说
明轨迹是什么曲线．
解法一：联立直线与曲线方程解法
设OP：y kx
=
∴
1
128
y kx
x y
=
?
?
?
+=
??
，则
24
32
x
k
=
+
，由此可知
2
2424
,
3223
k
P
k k
??
?
++
??
∴22
1
2416
y kx
x y
=
?
?
?
+=
?
?
，则R
?
±
?
∴()(
)
22
22
R R P Q
OR x k x
=+=
g g
∴
2
4824
32
32Q
x
k
k
=
+
+
∴()223232Q Q Q k x k y kx ?+=?+??=?则2226432xy x x y x +=+，则222346x y x y +=+ ∴2224360x x y y -+-=，除()0,0外．
∵OP 斜率不存在时，()0,8P 、()0,4R ∴284OQ =g ，则()0,2Q
∴轨迹方程为2224360x x y y -+-=
解法二：参数方程
设()11cos ,sin P t t θθ、()cos ,sin Q t t θθ、()22cos ,sin R t t θθ ∴2
12t t t =g 则221t t t =g ∴111128cos sin 112
8x y t t θθ?+=????+=??，则1242cos 3sin t θθ=+ 22
22222212416cos sin 124
16x y t t θθ?+=????+=??，则2222162416cos 24sin t θθ=+g ∴2222416242cos 3sin 16cos 24sin t t θθθθ
=++g g g ∴22222cos 3sin 2cos 3sin t t t t θθθθ+=+
∴轨迹方程为2224360x x y y -+-=
解法三：利用齐次化方法的思想（可设OP ：y kx =，也可不设）
由于OQ uuu r 、OP uu u r 、OR uu u r 同向，设(),Q x y ，(),R x y λλ，则()22,P x y λλ（0λ>）
2222
2212416112
8x y x y λλλλ?+=????+=??，则222416128x y x y +=+，记为点Q 的轨迹方程 利用齐次化方法对“解法二”进行改良： ∵22221122cos sin cos sin 11282416
t t t t θθθθ+==+且221t t t =g ∴221111cos sin cos sin 11282416
t t tt tt θθθθ+==+ ∴22cos sin cos sin 11282416
t t θθθθ+==+ ∴2222cos sin cos sin 11282416
t t t t θθθθ+==+
∴22
1282416
x y x y +=+
例2、若抛物线21y ax =-（0a ≠）上总存在关于直线0x y +=的对称的两点，试确定a 的取值范围． 解法一：参数方程解法
设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上关于直线0x y +=对称的两点，()00,M x y 是中点
设直线AB 的参数方程为00cos 4sin 4
x x t y y t ππ?=+????=+??，t R ∈ ∴222000cos 2cos sin 10444a t ax t ax y πππ????+-+--= ? ????
? ∵120t t += ∴012x a
=，则0012y x a =-=- ∴2011122a a a a >?????->-? ????g 或2011122a a a
a
a > 解法二：参数方程解法
∵120t t ()200110ax y a --< ∴34a > 例3、设P 为椭圆2236x y +=在第一象限内部分上一点，已知60xOP ∠=o ，过点P 的两条弦PA 、PB 的倾斜角互补．求证：直线AB 的斜率k 为定值． 解法一：联立方程 取OP ：y = 则(P 设PA ：(1y k x -=，则PB ：(1y k x -=-． ∴()22136y kx x y ?=+??+=??则( )( )()222321160k x k x +++-= ∴1P A A x x x +=+=，则?A x =，?A y = ∴同理求出B x 、B y 的值，则AB k =（代入运算即可） 解法二：齐次化方程解法 将坐标原点移到(P ，则椭圆方程()(223'1'6x y ++=，即()()223''6''''0x y x ax by ++++=g 整理：()) 2''126630''y y b a x x ??+++++= ??? ∵PA 、PB 斜率为1k 、2k 就是方程的两个根 ∴ 1260b k k ++==则AB a k b =-= 由此可见，其实几种解法在某些背景下都可使用，相互参照还能对现有思路进行更妙的改良．2013年的考题告诉我们在解析几何问题中需要认识到其几何本质，如果单纯地认为解析几何就是联立方程，那很多问题不但会做得很复杂，有时还会无从下手，甚至误入歧途．在此背景下，借助于对图像的理解，参数方程与齐次化方法不失为解决某些问题的好方法，遇到思维卡顿时，不妨一试． 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0） 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解. （x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ） 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（） A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a 得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0 ∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ） 二、利用判别式构造不等式 参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究 复旦实验中学 袁青 2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便． 考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题） 如图，已知双曲线1C ：2 212 x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、 2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”． （1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使 用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 （不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证 明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：圆2212 x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C 的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式： x = (y k x = ，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =??=+?有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点． 考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）． 显然直线0x =与1C 无公共点． 如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212 y kx x y =???-=??得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点． 因此，原点不是“12C C -型点”． 解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知∵OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题. 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： α tan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12 x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0 x ，常设其方程为 x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点 00(,) x y ，常设其方程为 00 ()y k x x y =-+或 x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其 上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 =||||2||||||2 12 212221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c - 解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=??=? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 220001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?=-+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 0022 21 21 x y x y ?+=??+=??， 两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122 2 02y y k k x x -?==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-, 与椭圆方程联立消去y 整理可得() 22223424361080k x k x k +-+-=, 则22121222 2436108 ,3434k k x x x x k k -+== ++, 所以122 1834k y y k -+= +, 则AB 中点为222129,3434k k k k ?? - ?++?? . 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ?? +=-- ?++??, 令0y =,则2 2334k x k =+,即22 3,034k N k ?? ?+?? , 所以2222 39(1) 33434k k NF k k +=-=++. () 22 36134k AB k += =+,所以14 NF AB =. F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+ 上的动点，若PA PF =常数，则此椭圆的离心率是 解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)① 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。 例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆 圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？ 高中数学解析几何中求参数取值范围的方法 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B 满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a 得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵y02≥0 而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B ) 解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围 常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆 方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 tan=2S ∵12 2 1 tan4 又∵0 4 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ||a|,则a的取值范围是 ( ) A a0 B a2 C 02 D 0 p 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ||a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| a 得y02+( y024 -a)2a2 即y02(y02+16-8a) 0 解析几何中参数范围问题的求解策略 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1、椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点 P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ， 双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心 率e 的取值范围。 背景之二：曲线自身的范围 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a b y a x (122 22=+>b >0) 中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途 径之一。 例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。 例4、设椭圆 11 22 =++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。 (1)求实数m 的取值范围； (2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若 32| |2-=PF QF ， 求直线PF 2的方程。 背景之三：二次方程有解的条件 直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。 例5、给定双曲线x ２ －2 2 y = 1，过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲 线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 例6、已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2 2=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。 (1)求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。 背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围； 例7、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1, 0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M (m , 0)到直线AP 的距离为1。 (1)若直线AP 的斜率为k ，且]3,3 3 [||∈k ，求实数m 的取值范围； (2)当12+= m 时，APQ ?的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。 (no.1)2013年高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的9种方法 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(12 2 2 2 为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 = | |||2||||||212 2 12221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c - 参数思想及参数方法在解析几何中的应用 一、知识概要 1．一般曲线的参数方程? ??==)() (t g y t f x （t 为参数）x ，y 分别是参数t 的函数。 2．直线的参数方程 设直线l 过定点P 0（x 0，y 0），α为其倾斜角，P （x 、y ）是l 上任一点，P 0P ＝t （有向线段P 0的数量）， 则直线l 的参数方程是? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x ，当P 点在P 0的上方（右方）时t>0；当P 在P 0的下方（左方）时 t<0。 如果把直线l 看成以P 0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t 是点P 的坐标。设P 1，P 2是直线l 上的两个点，分别对应t 1，t 2（即P 0P ＝t 1，P 0P ＝t 2），则线段P 1P 2的中点对应t 中＝2 2 1t t +；线段P 1P 2的长度为|P 1P 2|＝|t 1－t 2|。 3．圆的参数方程 圆：(x －x 0)2 ＋(y －y 0)2 ＝r 2 的参数方程为：???+=+=α α sin cos 00r y y r x x （α为参数，表θC 的动半径的旋转角） 4．椭圆的参数方程 椭圆：b 2(x －x 0)2＋a 2(y －y 0)2＝a 2b 2 的参数方程为：? ??+=+=θθsin cos 00b y y a x x （θ为参数，表动点P （x ，y ） 的离心角） 5．双曲线的参数方程 双曲线:b 2(x －x 0)2－a 2(y －y 0)2＝a 2b 2 的参数方程为：???+=+=θ θtan sec 00b y y a x x （θ为参数，表双曲线上动点P （x ，y ）的离心角） 6．抛物线的参数方程 抛物线:(y －y 0)2 ＝2p(x －x 0)的参数方程为：?? ???+=+=pt y y pt x x 2202 0（t 为参数，表动点P （x ，y ）与顶点连 线斜率的倒数） 二、典型例题 （一）轨迹问题 例1 （全国高中联赛） 若动点P （x ，y ）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点 θ（－2xy ，y 2－x 2 ）的运动方程是 A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动 B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动 C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动 解：将P （x ，y ）表示成???==t y t x ωωsin cos （ω>0，t 为参数）又令θ的坐标为（u ，v ），则u ＝－2xy 解析几何中如何计算参数取值范围近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多 个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去 表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解 决变量取值范围常见的策略和方法. 例1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0) 求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆 方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2?x2+x1y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22) 令y=0得x0=x1+x22?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点 ∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a ∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a 例2如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若122,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S 的范围解题. 解:依题意有 ∴tanθ=2S ∵122∴1tanθ4 又∵0≤θ≤π ∴π4p 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足 |PQ|≥|a|,则a的取值范围是() Aa0Ba≤2C0≤a≤2D0p 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解. 解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a 得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0 解析几何综合题解题方法总结 富源县第一中学 解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关. 一、判别式 案例1 已知双曲线12 2:2 2=-x y C ，直线l 过点() 0,2A ，斜率为k ，当10< 简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为： 21 222 2=+-+-k k x kx ()10< 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2 122 12)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //A B 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C B y Ax :l ,0C B y Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C B y A x :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C B y Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2 122 ))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ2121或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 1121t a n k k k k +-=α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2 , 0(π∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
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