集合基础知识和单元测试卷(含答案)
集合单元测试卷
重点：集合的概念及其表示法；理解集合间的包含与相等的含义；交集与并集，全集与补集的理解。
难点：选择恰当的方法表示简单的集合；理解空集的含义；理解交集与并集的概念及其区别联系。
基础知识：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：_________，__________，__________.
集合元素的互异性：如:下列经典例题中 例2
（2）常用数集的符号表示：自然数集_______ ；正整数集______、______；整数集_____；
有理数集_______ ；实数集_________。
（3）集合的表示法：_________，__________，__________，_________ 。 注意：区分集合中元素的形式及意义：如：
}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B }12|),{(2
++==x x y y x C ；
}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
（4）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 二、集合间的关系及其运算
（1）元素与集合之间关系用符号“___________”来表示。
集合与集合之间关系用符号“___________”来表示。
（2）交集}{________________
B A =?；并集}{________________B A =?； 补集_}__________{_________=A
C U （3）对于任意集合B A ,，则：
①A B ____ B A ??；A B ____ B A ??；B A ____ B A ??
②U A C A ?＝ ，U A C A ?＝ ，()U C C A = ． ③()()________________B C A C U U =?；()()______
__________B C A C U U =?
④________________B A ?=?A ；________________B A ?=?A 三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集
的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
（2）B A ?中元素的个数的计算公式为()______________________B A Card =?
： （3）韦恩图的运用
经典例题：
例1. 已知集合8|
6A x N N x ?
?
=∈∈??-??
，试求集合A 的所有子集. 解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为
2,4,5，即{}2,4,5A =.
∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.
例2. 设集合2
{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.
解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。
当2a =时，{2,3}A =符合题意。
当4a =-时，{9,3}A =不符合题意，舍去。 故2a =。
例3. 已知集合A={x|03x 2-mx 2
=+， m ∈R}. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.
解： 集合A 是方程03x 2-mx 2
=+在实数范围内的解集.
（1）∵A 是空集，∴方程03x 2-mx 2
=+无解.∴Δ=4-12m<0,即m>13
.
（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一个解. 若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=32
;
若m ≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=13
.∴m=0或m=13
.
（3）A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m ≥13
.
例4. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，
{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ?.
解：当0m =时，1x =-，即0M ∈； 当0m ≠时，140,m ?=+≥即14m ≥-
，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ?
?=<-???
?
而对于N ，140,n ?=-≥即14n ≤
，∴1|4N n n ?
?
=≤???
?
.∴1()|4U C M N x x ?
?=<-??
?
?变式训练.已知集合A=6|
1,R ,1x x x ?
?
≥∈??+??
B={}
2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ?； （2）若A B ?{}|14x x =-<<，求实数m 的值. 解： 由61,1
x ≥+得50.1
x x -≤+∴-1＜x ≤5,∴A={}|15x x -<≤.
（1）当m=3时，B={}|13x x -<<，则R C B ={}|13x x x ≤-≥或， ∴()R A C B ?={}|35x x ≤
≤.
(2)∵}
{
15A x x =-<<，A B ?{}|14x x =-<<∴2
4240m -?-=,解得m=8. 此时B={}|24x x -<<,符合题意，故实数m 的值为8. 例5. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >. (1)若φ=?B A ，求a 的取值范围; (2) 若A
B B =,求a 的取值范围.
解:(1) φ=?B A , ∴1
35
a a ≥-??
+≤?，解之得12a -≤≤.
则若φ=?B A ,a 的取值范围是[1,2]-； (2) A
B B =, ∴A B ?. ∴31a +<-或5a >，4a <-或5a >
则若A B B ?=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-?+∞.
测试练习：
一、选择题
1．若集合M ＝{a ，b ，c }中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 2．设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2
+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ）
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3，2}
D ．{－2，3} 3．设2
{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q=?（ ） A.{|12}x x -<<
B.{|31}x x -<<-
C.{|14}x x <<-
D.{|21}x x -<<
4．已知全集U ＝Z ，A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x|x 2
＝x}，则A∩?U B 为 ( )
A.{－1,2}
B.{－1,0}
C.{0,1} D ．{1,2} 5. 集合{|1}P x y x ==
+，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是（ ）
A. P ＝ Q
B. P
Q C. P ≠?Q D. P ∩Q ＝
6．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为 M-P={x|x ∈M 且x ?p}, 则M-（M-P ）=（ ）
A. P
B. M ?P
C. M ?P
D. M
7．已知{
}
{}
2
230,A x x x B x x a =--<=<, 若A /B , 则实数a 的取值范围是( ) A. (1,)-+∞ B. [3,)+∞ C. (3,)+∞ D. (,3]-∞ 8．已知集合M ＝{x ｜Z k k x ∈+=
,4
12}，N ＝{x │Z k k x ∈+=,21
4}，则
（ ）
A ．M ＝N
B ．M N
C ．M N
D ．M ?N ＝φ
9．设全集∪＝{x ｜1≤x <9，x ∈N}，则满足{}{}1,3,5,7,81,3,5,7U C B ?=的所有集合B
的个数有 （ ）
A ．1个
B ．4个
C ．5个
D ．8个
10．定义集合运算：A⊙B＝{z ︳z ＝xy(x ＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A⊙B 的所有元素之和为( )
A ．0
B ．6
C ．12
D ．18 11．已知集合M ＝{(x ，y )︱y ＝
2
9x -}，N ＝{(x ，y )︱y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝?，则实数b
应满足的条件是（ ） A ．︱b ︱≥2
3
B ．0＜b ＜
2
C ．－3≤b ≤2
3 D ．b ＞2
3
或b ＜－3
二、填空题
12．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?，则实数k 的取值范
围是 .
13．已知集合A={}4,3,2,1，那么A 的真子集的个数是 .
14．已知=U R ，集合23|
02x M x x -?
?
=>??+??
，则R C M = . 15．设集合A ＝{1,2，a }，B ＝{1，a 2
－a }，若A ?B ，则实数a 的值为________． 16．满足{}0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ?的集合A 的个数是_______个.
三、解答题
17．设U R =，集合{}
2|320A x x x =++=，{}
2|(1)0B x x m x m =+++=；
若()Φ=?B A C u
，求m 的值.
18.已知集合A ＝{} |x x 2
－5x ＋6＝0，B ＝{} |x mx ＋1＝0，且A∪B＝A ，
求实数m 的值组成的集合．
19．已知由实数组成的集合A满足：若x∈A，则1
1－x
∈A.
(1)设A中含有3个元素，且2∈A，求A；
(2)A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由．
20．设函数
)0
(3
)2
(
)
(2≠
+
-
+
=a
x
b
ax
x
f，若不等式0
)
(>
x
f的解集为)3,1
(-.
（1）求
b
a,的值；
（2）若函数
)
(x
f在]1,
[m
x∈上的最小值为1，求实数m的值.