抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶
B、3阶
C、4阶D6阶
2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个
B 、5个
C 、6个
D 、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕
4、下列哪个偏序集构成有界格( )
A、(N, ) B 、(乙)
C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)
5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()
A (1)，(123)，(132)
B 、12)，(13)，(23)
C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,
3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。s+s也是子环吗?
3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6。
1
1．求和；
1
2．确定置换和1的奇偶性。
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e
近世代数模拟试题三 参考答案
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。
1、C ;
2、C ;
3、D;
4、D;
5、A ;
二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、a ； 3、2; 4、24; 5、; 6 相等；7、商群；8、特征；
9、mn ;
三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用 黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1种，四白一黑1种，三白二黑2 种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意
a,b € S1n S2有a-b, ab € S1
n S2:
因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab € S1 和 a-b, ab € S2， 因而a-b, ab € S1n S2，所以S1n S2是子环。
S1+S2不 一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
场见屍与禺均为子环”但&斗&彳：:I 讥〃 2卜是子环
3、解：
1
1 (1243)(56) (16524).
2?两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定 是R 的一个理想而 不是零理想，那么a 0 ，由理想的定
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义a a 1 ，因而R 的任意元b b ?1
这就是说 =R ，证毕 2、证必要性：将b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以b=a-1 o
?判断题(每小题
2分,共20分)
1.实数集R 关于数的乘法成群?
有限域的特征是合数.
10.整数环Z 的全部理想为形如 nZ 的理想. 二?选择题(每小题3分,共15分)
的阶G 2.若H 是群G 的一个非空有限子集， 且a,b H 都有ab H 成立，则H 是G 的一个子
3. 循环群一定是交换群.
4. 素数阶循环群是单群?
5. 设G 是有限群，a G , n 是a 的阶，若a k
e ，则 n|k .
6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，贝U f 是G 的子群.
7. 交换群的子群是正规子群
8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，贝U GH |G| |H |
9. 11.下面的代数系统 G, 中，( )不是群. A.
G 为整数集合, 为加法; B. G 为偶数集合, 为加法; C. G 为有理数集合,
为加法;
D.
G 为整数集合, 为乘法.
12.设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类
H,aH,bH,cH
.如果H 的阶为6,那么G
A. 6 ;
B.24 ;
C.10 ;
D.12.
设S 3
1 , 1
2 , 1
3 , 23 , 123 , 132 ,，则S 3中与元123不能交换的元的个数
是 A. 1 ;
B. 2 ;
C. 3 ;
D.4.
从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（
）
A. G= （ a ）与G 的子群；
B.整数加法群与模n 的剩余类的加法群；
C.变换群与置换群；
D.有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.
整数环Z 中，可逆元的个数是（） 。
A.1个
B.2 个
C.4个
D.无限个
填空题（每小题
3分,共15分）
如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元 是 __ .
n 次对称群S n 的阶是 ___________ .
整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为
设N 是G 的正规子群，商群 G N 中的单位元是 __________ 。 若R 是交换环，a R 则主理想 a _____________
1 2 3 4 5 6
令 6 5 4 3 2 1
设H ｛（1）, （123）, （132）｝是3次对称群S 3的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说 明H 是否是S 3的正规子群.
证明题（每题10分，共30分）
13. 14. 15.
16.
17. 18. 19. 20. 四.
21. 22.
五.
计算题（第21小题8分, 第22小题12分，共20分）
23.设G是群，H是G的子群，证明：a G,则aHa 1也是子群
24.设G是群，H是G的正规子群? G关于H的陪集的集合为
G
H {gH|g G},
证明：G/ H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.
25.证明：域F上全体n n矩阵的集合M n F在矩阵的加法和乘法下成为环
一?判断题（每小题2分，共20分）
1-10 xx"""
二?选择题（每小题3分,共15分）
11. D; 12. B ; 13. C; 14. B; 15. B.
三?填空题（每小题3分,共15分）
16. 1 ；17. n! ；18. nZ,nZ 1,L ,nZ n 1 ；
19. N ; 20. aR.
四?计算下列各题（第21小题8分，第22小题12分，共20分）
1 2 3 4 5 6
21.解：，LLL LLL LLLLLL LLL4 分
5 4
6 2 1 3
i 1 2 3 4 5 6 1
.LLLLLLLLLLLLLLLLLL8 分
3 1 2 6
4 5
22?解：H的所有左陪集为
H {(1),(123),(132)},
12 H {(12),(13),(23)} ；L L L L L L L L L L L L L L L 4 分
H的所有右陪集为
H {(1),(123),(132)} , H 12 {(12),(13),(23)}.
对S3，有H H ，即H是正规子群.LLL L L L L L L 12分
五?证明题(每题10分，共30分)
23. 证明：因为H是G的子群，对任意x, y H，有xy 1H . L L L 4分
,, 1 11 1
由题意，对任意x, y H ，有axa , ay a aHa ，从而axa 1 ay 1a 1axy 1a 1 aHa 1，即aHa 1也是子群? L L L L L L 10 分
24. 证明：首先G H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.L L L 3分
陪集H eH是它的单位元，eHgH egH gH , g H . L L L 7分
又任意gH，有g 1HgH eH gHg 1H，即g 1H是gH的逆元.L L L 10分
25. 证明：M n F关于加法是封闭的，且满足结合律，L L L L L L 3分
零元是，对任意代.M.F ，有代. An 0n n，即代n的负元是代n?M n F关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是E nn.LLLLLL 8分
乘法关于加法的分配律成立?LLL LLL LLL LLLLLL 10分