自控第三章作业答案
P3.4 The open-loop transfer function of a unity negative feedback system is
)
1(1)(+=
s s s G
Determine the rise time, peak time, percent overshoot and setting time (using a 5% setting criterion).
Solution: Writing he closed-loop transfer function 2
2
2
2
21
1)(n
n n
s s s s s ω?ωωΦ++=
++=
we get 1=n ω, 5.0=?. Since this is an underdamped second-order system with 5
.0=?, the
system performance can be estimated as follows.
Rising time
.sec 42.25
.0115
.0arccos 1arccos 2
2
≈-?-=
--=
π?
ω?πn r t
Peak time
.sec 62.35
.01112
2
≈-?=
-=
π
?
ωπn p t
Percent overshoot %
3.16% 100% 1002
2
5
.015.01≈?=?=--π?
π?σ
e
e p
Setting time
.sec 61
5.033
=?=
≈
n
s t ?ω
(using a 5% setting criterion)
P3.5 A second-order system gives a unit step response shown in Fig. P3.5. Find the open-loop transfer function if the system is a unit negative-feedback system.
Solution: By inspection we have %
30% 1001
13.1=?-=
p
σ
Solving the formula for calculating the overshoot,
3.02
1==-?
π?σ
e
p
, we have
362
.0ln ln 2
2
≈+-=
p
p σ
π
σ
?
Since .sec 1=p t , solving the formula for calculating the peak time, 2
1?
ωπ-=
n p t , we get
s e c / 7.33rad n =ω
Hence, the open-loop transfer function is )
4.24(7.1135)
2()(2
+=
+=
s s s s s G n n
?ωω
P3.6 A feedback system is shown in Fig. P3.6(a), and its unit step response curve is shown in Fig. P3.6(b). Determine the values of 1k , 2k , and a .
.1.1
Figure P3.5
Solution: The transfer function between the input and output is given by
2
2
2
1)
()(k as s
k k s R s C ++=
The system is stable and we have, from the response curve,
2
1lim )(lim 12
2
210
==?
++?
=→∞
→k s
k as s
k k s t c s t
By inspection we have %
9% 10000
.211
.218.2=?-=
p
σ
Solving the formula for calculating the overshoot, 09
.02
1==-?
π?σe
p
, we have
608
.0ln ln 2
2
≈+-=
p
p σ
π
σ
?
Since .sec 8.0=p t , solving the formula for calculating the peak time,
2
1?
ωπ-=
n p t , we get
s e c / 95.4rad n =ω
Then, comparing the characteristic polynomial of the system with its standard form, we have
2
2222n n s s k as s ω?ω++=++
5.2495.4222===n k ω
02.695.4608.022=??==n a ?ω
P3.8 For the servomechanism system shown in Fig. P3.8, determine the values of k and a that satisfy the following closed-loop system design requirements. (a) Maximum of 40% overshoot. (b) Peak time of 4s.
Solution: For the closed-loop transfer function we have 22
22
2)(n
n n
s s
k
s k s
k s ω
?ωωαΦ++=++=
hence, by inspection, we get
k n
=2
ω, α?ωk n =2, and n
n
k
ω?
?ωα22=
=
Taking consideration of %
40% 1002
1=?=-?
π?σ
e
p
results in
280.0=?
.
In this case, to satisfy the requirement of peak time, 4
12
=-=
?
ωπn p t , we have
.s e c / 818.0r a d n =ω
.2.2
(a)
(b)
Figure P3.6
Figure P3.8
Hence, the values of
k
and
a
are determined as
67.02
==n k ω, 68
.02==
n
ω?
α
P3.10 A control system is represented by the transfer function
)
13.04.0)(56.2(33
.0)
()(2
+++=
s s
s s R s C
Estimate the peak time, percent overshoot, and setting time (%
5=?), using the dominant pole
method, if it is possible.
Solution: Rewriting the transfer function as
]
3.0)
2.0)[(56.2(33
.0)
()(2
2
+++=
s s s R s C
we get the poles of the system: 3.02.02 1j s ±-=，, 56.23-=s . Then, 2 1，s can be considered as a pair of dominant poles, because )Re()Re(32 1s s <<，.
Method 1. After reducing to a second-order system, the transfer function becomes
13
.04.013
.0)
()(2
++=s s
s R s C (Note:
1)
()(lim
==→s R s C k s Φ)
which results in sec / 36.0rad n =ω and 55
.0=?. The specifications can be determined as
s e c 0.42112
?
ωπ-=
n p t , %
6.12% 1002
1=?=-?
π?
σ
e
p
s e c 67.2011ln 1
2
=???
?
?
?
?
-=
???ω
n
s t Method 2. Taking consideration of the effect of non-dominant pole on the transient components cause by the dominant poles, we have
s e c 0.8411)(2
31=--∠-=
?
ωπn p s s t
%
6.13% 1002
13
13=?-=
-?
π?σe
s s s p
s e c 6.232ln 1
313
=???
?
??-?
=
s
s s t n
s ??ω
P3.13 The characteristic equations for certain systems are given below. In each case, determine the value of k so that the corresponding system is stable. It is assumed that k is positive number.
(a) 02102234=++++k s s s s (b) 0504)5.0(23=++++ks s k s
Solution: (a) 02102234=++++k s s s s .The system is stable if and only if
???
?
?
?
?=>9 02
2
01010
2203k k D k
i.e. the system is stable when 9
0< (b) 0504)5.0(23=++++ks s k s . The system is stable if and only if ?? ? ??>-+?>-+?>+=>>+0)3.3)(8.34( 05024 041505.00 ,05.02 2k k k k k k D k k i.e. the system is stable when 3.3>k . P3.14 The open-loop transfer function of a negative feedback system is given by ) 12.001.0()(2 ++= s s s K s G ? Determine the range of K and ? in which the closed-loop system is stable. Solution: The characteristic equation is 02.001.023=+++K s s s ? The system is stable if and only if ?? ? ??-?>=>>???20 001020 0101.02.002.0 ,02K K .?.K D k The required range is 20>>K ?. P3.17 A unity negative feedback system has an open-loop transfer function )16 )( 13()(++= s s s K s G Determine the range of k required so that there are no closed-loop poles to the right of the line 1-=s . Solution: The closed-loop characteristic equation is 18)6)(3( 0)16 )( 13 ( =+++?=+++K s s s K s s s i.e. 01818923=+++K s s s Letting 1~ -=s s resulting in 0)1018(~3~6~ 018)5~)(2~)(1~(23=-+++?=+++-K s s s K s s s Using Lienard-Chipart criterion, all closed-loop poles locate in the right-half s ~-plane, i.e. to the right of the line 1-=s , if and only if ?? ? ??-?>-=>?>-14 08.182 031101869 5 ,010182 K K K D K K The required range is 9 1495 < 56 .10.56 < P3.18 A system has the characteristic equation 0291023=+++k s s s Determine the value of k so that the real part of complex roots is 2-, using the algebraic criterion. Solution: Substituting 2~ -=s s into the characteristic equation yields 02~292~102~ 2 3=+-+-+-k s s s ）（）（）（ 0)26(~ ~4~ 23=-+++k s s s The Routh array is established as shown. If there is a pair of complex roots with real part of 2-, then 026=-k i.e. 30=k . In the case of 30=k , we have the solution of the auxiliary equation j s ±=~, i.e. j s ±-=2. 3 s 1 1 2s 4 26 -k 1s 0 s P3.22 The open-loop transfer function of a unity negative feedback system is given by ) 1)(1()(21++= s T s T s K s G Determine the values of K , 1T , and 2T so that the steady-state error for the input, bt a t r +=)(, is less than 0ε. It is assumed that K , 1T , and 2T are positive, a and b are constants. Solution: The characteristic polynomial is K s s T T s T T s ++++=221321)()(? Using L-C criterion, the system is stable if and only if 2 12121212 1212 0 01 T T T T K T KT T T T T K T T D +< ?>-+?>+= Considering that this is a 1-type system with a open-loop gain K , in the case of 2 121T T T T K +< , we have 0 0.. εεεεεb K K b v ss r ss ss > ?<= += Hence, the required range for K is 2 1210 T T T T K b +< <ε P3.24 The block diagram of a control system is shown in Fig. P3.24, where )()()(s C s R s E -=. Select the values of τ and b so that the steady-state error for a ramp input is zero. Solution: Assuming that all parameters are positive, the system must be stable. Then, the error response is )()1)(1() (1)()()(21s R K s T s T b s K s C s R s E ????? ?++++-=-=τ ) ()1)(1()1()(21212 21s R K s T s T Kb s K T T s T T ?+++-+-++= τ Letting the steady-state error for a ramp input to be zero, we get 2 21212 210 .)1)(1()1()(lim )(lim s v K s T s T Kb s K T T s T T s s sE s s r ss ?+++-+-++? ==→→τε which results in ?? ?=-+=-0 121τK T T Kb I.e. K T T 2 1+= τ , K b 1= . P3.26 The block diagram of a system is shown in Fig. P3.26. In each case, determine the steady-state error for a unit step disturbance and a unit ramp disturbance, respectively. (a) 11)(K s G =, ) 1()(222+= s T s K s G Figure P3.24 Figure P3.26 (b) s s T K s G ) 1()(111+= , ) 1()(222+= s T s K s G , 21T T > Solution: (a) In this case the system is of second-order and must be stable. The transfer function from disturbance to error is given by 2 12 2 12.)1(1)(K K Ts s K G G G s d e ++-= +-= Φ The corresponding steady-state errors are 1 2 12 .11)1(lim K s K K Ts s K s s p ss - =?++-? =→ε ∞ →?++-? =→2 2 12 .1)1(lim s K K Ts s K s s a ss ε (b) Now, the transfer function from disturbance to error is given by ) 1()1()(12122 2.+++-= s T K K s T s s K s d e Φ and the characteristic polynomial is 21121232)(K K s T K K s s T s +++=? Using L-C criterion, 0)(121211 212 212>-== T T K K T K K T K K D the system is stable. The corresponding steady-state errors are 01 )1()1(lim 12122 20 .=? +++-? =→s s T K K s T s s K s s p ss ε 1 2 12122 20 .11 )1()1(lim K s s T K K s T s s K s s a ss - =? +++-? =→ε 3-1 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2.0t r t c =& （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&& 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全部初始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++= s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 34cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ? ??==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K e ss ?=== 5.21010。 第一章习题及答案 1-1 根据题1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图 (1) 将a ，b 与c ，d 用线连接成负反馈状态； (2) 画出系统方框图。 解 （1）负反馈连接方式为：d a ?，c b ?； （2）系统方框图如图解1-1 所示。 1-2 题1-2图是仓库大门自动控制系统原理示意图。试说明系统自动控制大门开闭的工作原理，并画出系统方框图。 题1-2图 仓库大门自动开闭控制系统 解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏 差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图解1-2所示。 1-3 题1-3图为工业炉温自动控制系统的工作原理图。分析系统的工作原理，指出被控对象、被控量和给定量，画出系统方框图。 题1-3图 炉温自动控制系统原理图 解 加热炉采用电加热方式运行，加热器所产生的热量与调压器电压的平方成正比，增高，炉温就上升，的高低由调压器滑动触点的位置所控制，该触点由可逆转的直流电动机驱动。炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压。作为系统的反馈电压与给定电压进行比较，得出偏差电压，经电压放大器、功率放大器放大成后，作为控制电动机的电枢电压。 c u c u c u f u f u r u e u a u 在正常情况下，炉温等于某个期望值T °C ， 热电偶的输出电压正好等于给定电压。此时，f u r u 0=?=f r e u u u ，故01==a u u ，可逆电动机不转动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上，使保持一定的数值。这时，炉子散失的热量正好等于从加热器吸取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。 c u 当炉膛温度T °C 由于某种原因突然下降(例如炉门打开造成的热量流失)，则出现以下的控制过程： 3-1 解 该线圈的微分方程为 u = +di iR L dt 对上式两边取拉氏变换，并令初始条件为零，可得传递函数为 ()1= ()(+)+1 I s R U s L R 时间常数+0.005T L R s ==，过渡时间=30.015s t T s =。 3-2 解 如图2-3-2所示系统的闭环传递函数为 010()=(s)0.2+1+10+1 H K C s K R S K Ts = 其中0101+10H K K K = ,0.2 1+10H T K = 原系统的时间常数为0.2s ，放大系数为10，为了满足题目的要求，令0.02T s =和 10K =,有0.9H K =和010K =。 3-3 解 设 为温度计的输入，表示实际水温，设 为温度计的输出，表示温 度计的指示值，若实际水温为R （常值），则输入 为幅值为R 的阶跃函数，输出为 (t)=R(1-e )T c τ 根据所给条件，有 则时间常数 。 3-4 解：所给传递函数的闭环极点为 21,2=-1-n n s j ζωωζ± 根据上式表达式，可以确定图2-3-3中的阴影部分为闭环极点可能位于的区域（考虑到 对称性，只绘出s 平面的上半平面） 。 图2-3-3 闭环极点可能位于的区域 3-5 解：典型二阶系统的传递函数为 由如图2-3-4所示的响应曲线，可知峰值时间，超调量，根据二阶系统的性能指标计算公式 和 可以确定和，根据如图2-3-4所示曲线的终值，可以确定。 3-6 解：如图2-3-5所示系统的传递函数为 是一个典型的二阶系统，其自然振荡频率为，令阻尼比 可以确定，性能指标及分别为 3-7 解：系统为典型二阶系统，自然振荡频率，阻尼比。单位阶跃响应的表达式为 (t>0) 第三章 例3-1 系统的结构图如图3-1所示。 已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。 解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件 对照。 一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ??? ??=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。 例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0） 已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。 解 因为 22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 1 1.01 )()()(+== s s R s C s φ 解毕。 例3-3 设控制系统如图3-2所示。 试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函 数。 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1， 而是3。系统模型为 22 223)(n n n s s s ω ξωωφ++= 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ξ、n ω。 %333 3 4)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ） 1+Ts K bs 4 3 0 0.1 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃 响应 h (t ) 目录 1自动控制系统的基本概念 1.1内容提要 1.2习题与解答 2自动控制系统的数学模型 2.1内容提要 2.2习题与解答 3自动控制系统的时域分析 3.1内容提要 3.2习颗与他答 4根轨迹法 4.1内容提要 4.2习题与解答 5频率法 5.1内容提要 5.2习题与解答 6控制系统的校正及综合 6.1内容提要 6.2习题与解答 7非线性系统分析 7.1内容提要 7.2习题与解答 8线性离散系统的理论基础 8.1内容提要 8.2习题与解答 9状态空间法 9.1内容提要 9.2习题与解答 附录拉普拉斯变换 参考文献 1自动控制系统的基本概念 1. 1内容提要 基本术语：反馈量，扰动量，输人量，输出量，被控对象； 基本结构：开环，闭环，复合； 基本类型：线性和非线性，连续和离散，程序控制与随动； 基本要求：暂态，稳态，稳定性。 本章要解决的问题，是在自动控制系统的基本概念基础上，能够针对一个实际的控制系统，找出其被控对象、输人量、输出量，并分析其结构、类型和工作原理。 1.2习题与解答 题1-1图P1-1所示，为一直 流发电机电压白动控制系统示 意图。图中，1为发电机；2为减速器； 3为执行电机；4为比例放大器； 5为可调电位器。 (1)该系统有哪些环节组成， 各起什么作用” (2)绘出系统的框图，说明当 负载电流变化时，系统如何保持发 电机的电压恒定 (3)该系统是有差系统还是无 差系统。 (4)系统中有哪些可能的扰动， 答 (1)该系统由给定环节、比较环节、中间环节、执行结构、检测环节、 发电机等环节组成。 给定环节:电压源0U 。用来设定直流发电机电压的给定值。 比较环节:本系统所实现的被控量与给定量进行比较，是通过给定电 压与反馈电压反极性相接加到比例放大器上实现的 中间环节:比例放大器。它的作用是将偏差信号放大，使其足以带动 执行机构工作。该环节又称为放大环节 执行机构:该环节由执行电机、减速器和可调电位器构成。该环节的 作用是通过改变发电机励磁回路的电阻值，改变发电机的磁场，调节发 电机的输出电压 被控对象:发电机。其作用是供给负载恒定不变的电压. 检测环节跨接在发电机电枢两端、且与电压源0U 反极性相接到比 例放大器输人端的导线。它的作用是将系统的输出量直接反馈到系统的 输人端。 (2)系统结构框图如图1-5所示。当负载电流变化如增大时，发电 机电压下降，电压偏差增大，偏差电压经过运算放大器放大后，控制可逆 伺服电动机，带动可调电阻器的滑动端使励磁电流增大，使发电机的电压 增大直至恢复到给定电压的数值上，实现电压的恒定控制。 图P1-7电压自动控制系统示意图 习题 3-1.选择题： （1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：) 1(2) s )(2 +++=s s s s G （，系统对单位斜坡的稳态误差是： 3-2 已知系统脉冲响应 t e t k 25.10125.0)(-= 试求系统闭环传递函数)(s Φ。 解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。 图 题3-3图 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(2 12211211 += +=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤= =K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 所示。如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。 图 题3-4图 解：由图知， 开环传递函数为 3-5 设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节 时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？ 图3-40 题3-5图 解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。 写出系统闭环传递函数 K s s K s 101010)(2 ++=Φ 闭环特征多项式 2 0022 02 1211010)(??? ? ??++=???? ? ?+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ???? ???=??? ? ??=K T T 101102 2 00 联立求解得 ???==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s 3-6 图所示为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1. 3-7 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。 （1）01011422)(2 3 4 5 =+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2 3 4 5 =+++++=s s s s s s D （3）022)(4 5 =--+=s s s s D （4）0502548242)(2 3 4 5 =--+++=s s s s s s D 解（1）1011422)(2 3 4 5 +++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 2 11 P3.4 The open-loop transfer function of a unity negative feedback system is ) 1(1)(+= s s s G Determine the rise time, peak time, percent overshoot and setting time (using a 5% setting criterion). Solution: Writing he closed-loop transfer function 2 2 2 2 21 1)(n n n s s s s s ω?ωωΦ++= ++= we get 1=n ω, 5.0=?. Since this is an underdamped second-order system with 5 .0=?, the system performance can be estimated as follows. Rising time .sec 42.25 .0115 .0arccos 1arccos 2 2 ≈-?-= --= π? ω?πn r t Peak time .sec 62.35 .01112 2 ≈-?= -= π ? ωπn p t Percent overshoot % 3.16% 100% 1002 2 5 .015.01≈?=?=--π? π?σ e e p Setting time .sec 61 5.033 =?= ≈ n s t ?ω (using a 5% setting criterion) P3.5 A second-order system gives a unit step response shown in Fig. P3.5. Find the open-loop transfer function if the system is a unit negative-feedback system. Solution: By inspection we have % 30% 1001 13.1=?-= p σ Solving the formula for calculating the overshoot, 3.02 1==-? π?σ e p , we have 362 .0ln ln 2 2 ≈+-= p p σ π σ ? Since .sec 1=p t , solving the formula for calculating the peak time, 2 1? ωπ-= n p t , we get s e c / 7.33rad n =ω Hence, the open-loop transfer function is ) 4.24(7.1135) 2()(2 += += s s s s s G n n ?ωω P3.6 A feedback system is shown in Fig. P3.6(a), and its unit step response curve is shown in Fig. P3.6(b). Determine the values of 1k , 2k , and a . .1.1 Figure P3.5 第三章习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ(s)。 t e t k 25.10125.0)(-= 解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述 T c t c t r t r t ?? +=+()()()()τ 其中，0<(T-τ)<1。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ?? ? ?????? ??-+=τln 693.0 t T r =22. T T T t s ?? ??? ? -+=)ln( 3τ 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有: 1 1 )()(++=Ts s s R s C τ 1 11 11)(+-- = ? ++= ∴ Ts T s s Ts s s C τ τ C t h t T T e t T ()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时 h t T T e t t d ()./==---051τ 12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -??? ??-=-τln 2ln ????? ???? ??-+=∴ T T T t d τln 2ln 2) 求t r （即)(t c 从0.1到0.9所需时间) 当 T t e T T t h /219.0)(--- ==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T t e T T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21 09 01 22ln ... 3) 求 t s T t s s e T T t h /195.0)(---==τ ∴=--t T T T s [ln ln .]τ005=-+T T T [ln ln ]τ20=+-T T T [ln ]3τ 3-3 一阶系统结构图如题3-3图所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t （s ），试确定参数21,K K 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211 +=+=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤= =K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 题3-4图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。 （1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。 . 第一章引论 1-1 试描述自动控制系统基本组成，并比较开环控制系统和闭环控制系统的特点。答： 自动控制系统一般都是反馈控制系统，主要由控制装置、被控部分、测量元件组成。控制装置是由具有一定职能的各种基本元件组成的，按其职能分，主要有给定元件、比较元件、校正元件和放大元件。如下图所示为自动控制系统的基本组成。 开环控制系统是指控制器与被控对象之间只有顺向作用，而没有反向联系的控制过程。此时，系统构成没有传感器对输出信号的检测部分。开环控制的特点是：输出不影响输入，结构简单，通常容易实现；系统的精度与组成的元器件精度密切相关；系统的稳定性不是主要问题；系统的控制精度取决于系统事先的调整精度，对于工作过程中受到的扰动或特性参数的变化无法自动补偿。 闭环控制的特点是：输出影响输入，即通过传感器检测输出信号，然后将此信号与输入信号比较，再将其偏差送入控制器，所以能削弱或抑制干扰；可由低精度元件组成高精度系统。 闭环系统与开环系统比较的关键，是在于其结构有无反馈环节。 < 1-2 请说明自动控制系统的基本性能要求。 答： 自动控制系统的基本要求概括来讲，就是要求系统具有稳定性、快速性和准确性。 稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。稳定性通常由系统的结构决定与外界因素无关。对恒值系统，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值（例如恒温控制系统）。对随动系统，被控制量始终跟踪参量的变化（例如炮轰飞机装置）。 快速性是对过渡过程的形式和快慢提出要求，因此快速性一般也称为动态特性。在系统稳定的前提下，希望过渡过程进行得越快越好，但如果要求过渡过程时间很短，可能使动态误差过大，合理的设计应该兼顾这两方面的要求。 准确性用稳态误差来衡量。在给定输入信号作用下，当系统达到稳态后，其实际输出与所期望的输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的精度 第三章 3-1已知系统脉冲响应 1.25()0.0125t k t e -=，试求系统闭环传递函数()s Φ。 解：由系统的脉冲响应 1.25()0.0125t k t e -=得 0.0125 () 1.25C s s = + 又 ()1R s = 则()0.01251()() 1.2580100C s s R s s s Φ===++ 3-3单位反馈系统的开环传递函数4 ()(5) G s s s = +，求单位阶跃响应h(t)和调节时间t s 。 解：由开环传递函数4 ()(5) G s s s = +得 闭环传递函数为2()4 ()1()54 G s s G s s s Φ= =+++ 则 单位阶跃响应24 ()()()(54) H s s R s s s s =Φ= ++ 拉氏反变换得：441()133 t t h t e e --=-+ ∵2 4 ()54 s s s Φ= ++ ∴2 4,25n n ωζω== 解得： 2, 1.25n ωζ== 若取5%?=，则得 3 1.2s n t s ζω≈ = 若取2%?=，则得 4 1.6s n t s ζω≈ = 3-6机器人控制系统结构图如下图所示，试确定参数K 1 ,K 2,使系统阶跃响应的峰值时间 0.5p t s =，超调量2%δ=。 解：由图可得 系统闭环传递函数1221 () ()1()K K G s s G s s as K Φ= =+++ 对照二阶系统的数学模型有2 12,2,1n n K a K ωζω=== 又 0.5 2% p t e δ= === 解得10.04,0.78n ωζ== 则1215.67,100.71,1a K K === 3-7设上题所示系统的单位阶跃响应如下图所示，试确定系统参数K 1 ,K 2和a 。 解：由图可知1 ()3,,0.13 p p h t δ∞== = 又∵ 系统单位阶跃响应为：12 2 1()()()() K K H s s R s s s as K =Φ= ++ ∴ 20()lim ()3 13 0.1 p s p h sH s K e t δ→∞===== = =解得 33.3,0.33n ωζ== 代入 2 1,2n n K a ωζω== 有 1222,1106.5,3a K K === 3-8已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在s 右半平面根的个数及纯虚根。 （1）5 4 3 2 ()22411100D s s s s s s =+++++= （2）5 4 3 2 ()3122432480D s s s s s s =+++++= （3）5 4 ()220D s s s s =+--= （4）5 4 3 2 ()2244825500D s s s s s s =+++--= 解（1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件，列劳斯阵列如下 5s 1 2 11 3-1 （1） )(2)(2.0t r t c = （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全 部初始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10 )()()(== Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2 /10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2 s R s C s s =++ 1 24.004.0) ()(2 ++=s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01 )()()(2 ++== s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01 )(2 ++= s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16 )3(6 1]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 3 4cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1 +Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1 )(+= ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ? ??==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K e ss ?=== 5.21010 。 第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应t 25.1e 0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。 解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+? ? 近似描述，其中，1)T (0<τ-<。试求系统的调节时间s t 。 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 Ts 1s ) s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=?++τ= ∴ T /t e T T 1)t (h )t (c -τ--== T )0(h τ= ，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ-= -∞=? 求 s t T /t s s e T T 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ-- =+-∞= /10.95(1)s t T T e T T T ττ τ --- =- + /0.05s t T e -= ln0.053T s t T ∴=-= 3-3 一阶系统结构如图所示。要求单位阶跃输入 时调节时间4.0t s ≤s （误差带为5%），稳态 输出为2，试确定参数21k ,k 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 1 k k s k 1k k s k s k k 1s k )s (2 12 2 11211 +=+=+ = Φ 闭环增益2k 1k 2 == Φ， 得：5.0k 2= 令调节时间4.0k k 3T 3t 2 1s ≤= =，得：15k 1≥。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。 解 （1）对（a ）系统： 1 s 1011 s 10K )s (G a += += ， 时间常数 10T = 632.0)T (h = （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10秒； 对（b ）系统：1s 101 10101 100 101 s 10100)s (b += += Φ， 时间常数 101 10T = 632.0)T (h = （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099秒。 （2）对（a ）系统： 1) s (N )s (C )s (G n == 1.0)t (n =时，该扰动影响将一直保持。 对（b ）系统： 101 s 101s 101 s 1010011) s (N )s (C )s (n ++= ++ == Φ 1.0)t (n =时，最终扰动影响为001.0101 11.0≈? ，比开环控制好得多。 (1) 若)t (1)t (r =，0)t (n =两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需 多长时间？(2) 当有阶跃扰动1.0)t (n =时，求扰动对两种系统的温度的影响。 参考答案 3-1. 设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10/min C ?的速度线性变化，求温度计的误差。 解：()()98%c t c =∞?，41min t T ==，0.25T =； ()10r t t =，()10()t T c t t T e -=-+，()()()10()t T e t r t c t T e -=-=-，lim ()10 2.5ss t e e t T →∞ === 3-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数为 4()5 G s s = + 求系统的单位阶跃响应。 解：24()54s s s φ= ++，1 ()R s s = ， 2 14 44133()()()(54)(4)(1)41 C s s R s s s s s s s s s s φ=?===+-++++++； 414 ()133 t t c t e e --=+- 3-3. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 1 ()(1) G s s s = + 求系统的上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。 解：2 ()1()1G s R s s s =++，2121n n ωωξ?=? ?=??，10.5 n ωξ=??=?， 0.866d ω=，arccos 60βξ?== 2.42r d t πβω-==s ， 3.63p d t πω==s ，%100%16%e σ=?=，4 8s n t ξω= =s 3-4. 已知系统的单位阶跃响应:为6010()10.2 1.2t t c t e e --=+-，试求： （1）系统的闭环传递函数； （2）系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率n ω。 解：10.2 1.2600()6010(60)(10)C s s s s s s s =+-= ++++，1()R s s =， 2 ()600()70600C s R s s s =++，2600270n n ωωξ?=? ?=??，24.51.43n ωξ=??=? 3-5. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为： ()(1) K G s s Ts =+ 当()()r t t ε=时，系统的动态性能指标%30%σ=，0.3(5%)s t s ≤?=，求系统K 、T 值以满 第三章 3.1 有一晶闸管稳压电源，其稳态结构图如图所示，已知给定电压*8.8u U V =、 比列调节器放大系数2P K =、晶闸管装置放大系数15S K =、反馈系数γ=0.7。求：（1）输出电压d U ；（2）若把反馈线断开，d U 为何值？开环时的输出电压是闭环是的多少倍？（3）若把反馈系数减至γ=0.35，当保持同样的输出电压时， 给定电压*u U 应为多少？ 解：（1）* 2158.812112150.7 p s u d p s K K U U V K K γ??===++?? (2) 若把反馈线断开，则γ=0，*8.8215264d p s u U K K U V ==??=,开环 输出电压是闭环的22倍 (3)*(1) 12(12150.35) 4.6215 d p s u p s U K K U V K K γ?+?+??===? 3.2 转速闭环调速系统的调速范围是1500r/min~150r/min ，要求系统的静差率5%s ≤，那么系统允许的静态速降是多少？如果开环系统的静态速降是100r/min ，则闭环系统的开环放大倍数应有多大？ 解： 1）(1) N n s D n s =?- 15000.057.9/min (1)0.9510N N n s n r D s ??= ==-? N n ?为闭环静态速降 2）1001111.667.9 op cl n K n ?=-=-=? 3.3 转速闭环调速系统的开环放大倍数为15时，额定负载下电动机的速降为8 r/min ，如果将开环放大倍数提高到30，它的速降为多少？在同样静差率要求下，调速范围可以扩大多少倍？ 解：()()11158128/min op cl n K n r ?=+?=+?= 如果将开环放大倍数提高到30, 则速降为： 128 4.13/min 1130 op cl n n r K ??===++ 在同样静差率要求下，D 可以扩大128 1.9374.13 cl cl n n ?==?倍 自动控制理论第三章作业答案 题3-4 解： 系统的闭环传递函数为 2()()1()1()1 C s G s R s G s s s ==+++ 由二阶系统的标准形式可以得到 11, 2 n ωζ== 因此，上升时间 2.418r d d t s ππβωω--=== 峰值时间 3.6276p d t s πω=== 调整时间：35% 642% 8s n s n t s t s ωζ ωζ?=≈ =?=≈ = 超调量： 100%16.3%p M e =?= 题3-5 解： 22 ()10()(51)10102510.60.5589 n n n C s R s s a s a a ωωζωζ=+++?=?=??????=+==???? ?=闭环传递函数 1.242 100%9.45% p d p t s M e π ω === =?= 3 5% 1.581 4 2% 2.108 s n s n t s t s ωζ ωζ ?=≈= ?=≈= 题3-7 解： 0.1 1.31 100%30% 1 p d p t M e π ω === - =?== 上升时间 超调量 =0.3579 33.64 n ζ ω ? ?? = ? 2 2 1131.9 () (2)24.08 n n G s s s s s ω ζω == ++ 开环传递函数 题3-8 （1） 2 100 () (824) G s s s s = ++ 解：闭环传递函数为 2 ()100 ()(824)100 C s R s s s s = +++ 特征方程为32 8241000 s s s +++= 列出劳斯表： 3 2 1240 81000 11.50 100 s s s s 第一列都是正数，所以系统稳定 （2） 10(1) () (1)(5) s G s s s s + = -+ 1—1 解释下列名词术语：自动控制系统、被控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。答：自动控制系统：尽量不要人的参与，由控制装置实现的使被控对象的某些属性按人期望的轨迹变化的系统，； 被控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程，反应了干扰、控制量和被控量三者之间关系的环节。 扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。 给定值：被控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值 参考输入即为给定值。 反馈：将系统的输出量反馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较和控制运算的过程。 1—3 开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点? 解：开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差； 闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、有稳定性问题、设计分析麻烦，制造成本高。 1—4 什么是反馈控制系统、前馈控制系统、前馈一反馈复合控制系统? 反馈控制系统：即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭信息回路的控制系统； 前馈控制系统：测量干扰，并根据它对系统的输出进行补偿的控制系统，参考到输入不构成信息回路。 前馈一反馈复合控制系统：对被控变量构成反馈控制系统并对系统在主要干扰进行前馈补偿的复合控制方案。 1—5 反馈控制系统的动态过程(动态特性)有哪几种类型?生产过程希望的动态特性是什么? 答：单调收敛响应、衰减振荡收敛、等幅振荡、发散等四种；生产过程希望的动态特性是衰减振荡收敛。 1—7 对自动控制系统基本的性能要求是什么?最主要的要求是什么? 答：对自动控制系统基本的性能要求是稳定；最主要的要求是稳定性、快速性、准确性。 红色为重点（2016年考题） 第一章 1-2 仓库大门自动控制系统原理示意图。试说明系统自动控制大门开闭的工作原理，并画出系统方框图。 解当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机反转带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如下图所示。 1-4 题1-4图为水温控制系统示意图。冷水在热交换器中由通入的蒸汽加热，从而得到一定温度的热水。冷水流量变化用流量计测量。试绘制系统方块图，并说明为了保持热水温度为期望值，系统是如何工作的？系统的被控对象和控制装置各是什么？ 解工作原理：温度传感器不断测量交换器出口处的实际水温，并在温度控制器中与给定温度相比较，若低于给定温度，其偏差值使蒸汽阀门开大，进入热交换器的蒸汽量加大，热水温度升高，直至偏差为零。如果由于某种原因，冷水流量加大，则流量值由流量计测得，通过温度控制器，开大阀门，使蒸汽量增加，提前进行控制，实现按冷水流量进行顺馈补偿，保证热交换器出口的水温不发生大的波动。 其中，热交换器是被控对象，实际热水温度为被控量，给定量（希望温度）在控制器中设定；冷水流量是干扰量。 系统方块图如下图所示。这是一个按干扰补偿的复合控制系统。 1-5图为工业炉温自动控制系统的工作原理图。分析系统的工作原理，指出被控对象、被控量及各部件的作用，画出系统方框图。 解加热炉采用电加热方式运行，加热器所产生的热量与调压器电压Uc的平方成正比，Uc增高，炉温就上升，Uc 的高低由调压器滑动触点的位置所控制，该触点由可逆转的直流电动机驱动。炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压Uf。Uf作为系统的反馈电压与给定电压Ur进行比较，得出偏差电压Ue，经电压放大器、功率放大器放大成au后，作为控制电动机的电枢电压。 在正常情况下，炉温等于某个期望值T°C，热电偶的输出电压Uf正好等于给定电压Ur。此时，Ue=Ur-Uf=0，故U1=Ua=0，可逆电动机不转动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上，使Uc保持一定的数值。这时，炉子散失的热量正好等于从加热器吸取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。 当炉膛温度T°C由于某种原因突然下降(例如炉门打开造成的热量流失)，则出现以下的控制过程,控制的结果是使炉膛温度回升，直至T°C的实际值等于期望值为止。 第一章 绪论 1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答：1开环系统 (1) 优点:结构简单，成本低，工作稳定。用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。 (2) 缺点：不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。 2 闭环系统 ⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 ⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说 明之。 解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非 线性，定常，时变）？ （1）22 ()()() 234()56()d y t dy t du t y t u t dt dt dt ++=+ （2）()2()y t u t =+ （3）()()2()4() dy t du t t y t u t dt dt +=+ （4）() 2()()sin dy t y t u t t dt ω+= （5）22 ()() ()2()3()d y t dy t y t y t u t dt dt ++= （6）2() ()2() dy t y t u t dt += 自控第三章 Mp 超调量 允许误差 10.90.50.1t r t p t s 图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线 t d h(t) 0.02或0.05 ) (∞h (∞h (∞h )(∞h % 100) ()()(%?∞∞-= h h t h p σ第三章：1、一阶系统对典型输入信号的输出响应。（单位）阶跃 函数（Step function ）0 ,)(1≥t t ;（单 位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 ,≥t t ;（单位）加速度函数 （Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t ;（单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ;正弦函数 （Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 2、动态性能指标： 1.延迟时间d t ：（Delay Time ） 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间， 叫延迟时间。 2.上升时间:r t （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%， 所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。 3.峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。 4.调节时间:s t （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态 值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。 5.最大超调量:p M （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量 h(tp)于终值)(∞h 之差的百分比，即%σ 1 3- r t 或p t 评价系统的响应速度；s t 同时反映响应速度和阻尼程度 的综合性指标。%σ评价系统的阻尼程度。自动控制原理第三章课后习题-答案(最新)
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