历年全国高中数学联赛试题及答案

1988年全国高中数学联赛试题

第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)

一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：

1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )

A ．y=－φ(x )

B ．y=－φ(－x )

C ．y=－φ－1(x )

D ．y=－φ－

1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1

M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，

N={(x ，y )|

(x －12)2+(y +12

)2+

(x +12)2+(y －1

2

)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则

A ．M

P

N B ．M

N

P C ．P

N

M D ．A 、B 、C 都不成立

4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有 命题甲：θ>π

3

；

命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则

A ．甲是乙的充分条件但不必要

B ．甲是乙的必要条件但不充分

C ．甲是乙的充分必要条件

D ．A 、B 、C 都不对

5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：

1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3

a 2－a 1= ．

2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ．

3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE

BC

= ．

4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．

三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．

五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1

b =1，试证：对每一个n ∈N *，

(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．

1988年全国高中数学联赛二试题

一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，

a n +2=???5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·

a n +1为奇数)．

试证：对一切n ∈N*，a n ≠0．

二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：

S

PQR

S

ABC >29

．

三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．

N A

C

B

P

Q R H

1988年全国高中数学联赛解答

一试题

一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )

A ．y=－φ(x )

B ．y=－φ(－x )

C ．y=－φ－1(x )

D ．y=－φ－

1(－x )

解：第二个函数是y=φ－1(x )．第三个函数是－x=φ－

1(－y )，即y=－φ(－x )．选B ．

2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1

M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，

N={(x ，y )|

(x －12)2+(y +12

)2+

(x +12)2+(y －1

2

)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则

A ．M

P

N B ．M

N

P C ．P

N

M D ．A 、B 、C 都不成立

解：M 表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N 表示焦点为(12，－12)，(－12，1

2)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P 表示由x +y=±1，x=±1，y=±1围成

的六边形内部的点的集合．故选A ．

4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有

命题甲：θ>π

3

；

命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则

A ．甲是乙的充分条件但不必要

B ．甲是乙的必要条件但不充分

C ．甲是乙的充分必要条件

D ．A 、B 、C 都不对

解：a ，b ，c 或平行，或交于一点．但当a ∥b ∥c 时，θ=π3．当它们交于一点时，π

3<θ<π．选C ．

5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过

1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解：均正确，选D ．

二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：

1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3

a 2－a 1= ．

解：a 2－a 1=14(y －x )，b 4－b 3=2

3(y －x )，b 4－b 3a 2－a 1=83

．

2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 解：(x +2)2n +1－(x －2)2n +1=2(C 1

2n +12x n +C 3

2n +123x n －

1+C 5

2n +125x n －

2+…+C 2n +1

2n +122n +1)． 令x=1，得所求系数和=1

2

(32n +1+1)．

3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE

BC = ．

解：△AED ∽△ABC ，DE BC =AD

AC

=|cos α|．

4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．

解 画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．

∴共有C 7

14种比赛方式．

三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．

解：过轴所在对角线BD 中点O 作MN ⊥BD 交边AD 、BC 于M 、N ，作

AE ⊥BD 于E ，

则△ABD 旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=2

3

=

63．其体积V=π3(63)2·3=239π．同样， △BCD 旋转所得旋转体的体积=239

π．

其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM ∽△DAB ，DO=32，OM=DO ·AB DA =64

． ∴其体积=2·13π·(64)2·32=3

8π．

∴ 所求体积=2·239π－38π=23

72

3π．

四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－

1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．

解：Z 1=－1Z ，故得|－1Z －Z 0|=|1Z |，即|ZZ 0+1|=1．|Z +1Z 0|=|1Z 0|．即以－1Z 0为圆心|1

Z 0|为半径的圆．

五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1

b =1．试证：对每一个n ∈N *，

(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．

证明：由已知得a +b=ab ．又a +b ≥2ab ，∴ ab ≥2ab ，故a +b=ab ≥4．于是(a +b )k =(ab )k ≥22k ． 又 a k +b k ≥2a k b k =2(a +b )k ≥2k +1．下面用数学归纳法证明： 1° 当n=1时，左=右=0．左≥右成立． 2° 设当n=k (k ≥1，k ∈N )时结论成立，即(a +b )k －a k －b k ≥22k －2k +1成立．

则(a +b )k +1－a k +1－b k +1=(a +b )(a +b )k －(a k +b k )(a +b )+ab (a k －1+b k －

1)

=(a +b )[(a +b )k －a k －b k ]+ ab (a k －1+b k －

1)≥4?(22k －2k +1)+4?2k =22(k +1)－4?2k +1+4?2k =22(k +1)－2(k +1)+1．即命题

对于n=k +1也成立．

故对于一切n ∈N *，命题成立．

二试题

O N M

E

B

C

D A

一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，

a n +2=???5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·

a n +1为奇数)．

试证：对一切n ∈N *，a n ≠0．（1988年全国高中竞赛试题）

分析：改证a n ?0(mod 4)或a n ?0(mod 3)．

证明：由a 1=1，a 2=2，得a 3=7，a 4=29，…… ∴ a 1≡1，a 2≡2，a 3≡3(mod 4)．

设a 3k －2≡1，a 3k －1≡2，a 3k ≡3(mod 4)．

则 a 3k +1≡5×3－3×2=9≡1(mod 4)；a 3k +2≡1－3=－2≡2(mod 4)；a 3k +3≡5×2－3×1=7≡3(mod 4)． 根据归纳原理知，对于一切n ∈N ，a 3n －2≡1，a 3n －1≡2，a 3n ≡3(mod 4)恒成立，故a n ?0(mod 4)成立，从而a n ≠0．

又证：a 1≡1，a 2≡2(mod 3)．

设a 2k －1≡1，a 2k ≡2(mod 3)成立，则

当a 2k －1?a 2k 为偶数时a 2k +1≡5×2－3×1≡1(mod 3)，当a 2k －1?a 2k 为奇数时a 2k +1≡2－1≡1(mod 3)，总之a 2k +1≡1(mod 3)．

当a 2k ?a 2k +1为偶数时a 2k +2≡5×1－3×2≡2(mod 3)，当a 2k ?a 2k +1为奇数时a 2k +2≡1－2≡2(mod 3)，总之，a 2k +2≡2(mod 3)．于是a n ?0(mod 3)．故a n ≠0．

二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：

S

PQR

S

ABC >29

． 证明：作△ABC 及△PQR 的高CN 、RH ．设△ABC 的周长为1．则PQ=1

3．

则S PQR

S

ABC =PQ ·RH AB ·

CN =PQ AB ·AR AC ，但AB <12，于是PQ AB >23，

AP ≤AB －PQ <12－13=16，∴ AR=13－AP >16，AC <12，故AR AC >1

3，从而

S PQR

S ABC >2

9

． 三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件：

⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．

证明：设a n =b n ≠0，即k n －1=－1，或a n =b n =0，即k n =1，就有k n +1=0，此时a n +1不存在，故k n ≠±1． 现设k n ≠0，1，则y=k n (x －1)+1，得b n =1－k n ，a n =1－1k n ，∴ k n +1=k n －1

k n ．此时k n k n +1=k n 2－1．

∴ k n >1或k n <－1．从而k 1>1或k 1<－1．

⑴ 当k 1>1时，由于0<1k 1<1，故k 1>k 2=k 1－1

k 1

>0，若k 2>1，则又有k 1>k 2>k 3>0，依此类推，知当k m >1

时，有k 1>k 2>k 3>?…>k m >k m +1>0，且0<1k 1<1k 2<…<1

k m

<1，

k m +1=k m －1k m

k 1．

由于k 1－m k 1随m 的增大而线性减小，故必存在一个m 值，m=m 0，使k 1－m 0

k 1

≤1，从而必存在一个m 值

m=m 1≤m 0，使k m 1－1≥1，而1>k m 1=k m 1－1－

1

k m 1－1>0，此时k m 1·k m 1+1<0．

即此时不存在这样的直线族．

N A

C

B

P

Q R H

⑵ 当k 1<－1时，同样有－1<1k 1<0，得k 1

k 1

<0．若k 2<－1，又有k 1

k m <－1时，有k 11k 1>1k 2>…>1

k m

>－1，

k m +1=k m －1k m >k m －1k 1=k m －1－1k m －1－1k 1

>k m －1－2k 1>…>k 1－m

k 1．

由于k 1－m k m 随m 的增大而线性增大，故必存在一个m 值，m=m 0，使k 1－m 0

k 1

≥－1，从而必存在一个m

值，m=m 1(m 1≤m 0)，使k m 1－1≤－1，而－1

1

k m 1－1<0，此时k m 1·k m 1+1<0． 即此时不存在这样的直线族．

综上可知这样的直线族不存在．

厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛 暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知

贵校教务处转数学教研组：

根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，以及省数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下：

一、赛制、竞赛时间和命题范围

竞赛分预赛和复赛两个阶段。 1．预赛：

（1）时间：2010年9月11日（星期六）9：00——11：30，在本市考点进行。

（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为《2010年福建省高中数学竞赛》的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。

（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。

2．复赛

（1）时间及地点：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为8：00—9：20，加试时间为9：40—12：10。

（2）试题来源及命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。

根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。

全国高中数学联赛加试（二试）及中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。

（3）试卷结构：

全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题8题，每题8分，满分64分；解答题3题，分别为16分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试时间80分钟；

全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分。满分200分。考试时间150分钟。

二、参赛对象

本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。

三、报名、报名费和准考证

采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用Excel文档并按要求认真填写，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生18元。

各参赛学校请将报名表的电子文本用 E.；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM卡号：436742*************。报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。

请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至，短信联系进行报名的确认。9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再发给考生。

四、考号安排

学校考号安排

厦门一中10001——10600 双十中学10601——11200 厦门六中11201——11800 外国语学校11801——12400 科技中学12401——13000 厦门二中13001——13200 湖滨中学13201——13400

学校考号安排

松柏中学13401——13600 厦门三中13601——13800 华侨中学13801——14000 禾山中学14001——14200 大同中学14201——14400 康桥中学14401——14600

集美中学20001——20400 英才学校20401——20600 灌口中学20601——28000 乐安中学20801——21000 厦门十中21001——21400 杏南中学21401——21600 海沧中学21601——21800 海沧实验中学21801——22000

同安一中30001——30600 启悟中学30601——30800 第二外国语学校30801——31000 东山中学31001——31200 五显中学31201——31400国祺中学31401——31600

翔安一中40001——40400

新店中学40401——40600

内厝中学40601——40800

诗扳中学40801——41000

8 / 2398 / 239

五、考务：

有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。

六、奖项：

按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。

另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：

（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；

（2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；

（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；

（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。

复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛及加试的总分评定。

省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。

厦门市教育科学研究院基础教育研究室

厦门市教育学会数学教学专业委员会

2010年5月13日

附：2010年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表

考号学生姓名性别年级所在学校指导教师

考生总数（人）应交金额（元）（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）

1992年全国高中数学联赛试卷

第一试

一．选择题(每小题5分，共30分)

1.对于每个自然数n，抛物线y=(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1及x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点的距离，则|A1B1|

＋|A2B2|＋ ＋|A1992B1992|的值是( )

y

(A)19921991 (B)19931992

(C)19931991

(D)1992

1993

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )

(A)(x ＋21y -)(y ＋21x -)=0 (B)(x -21y -)(y -21x -)=0 (C)(x ＋

21y -)(y -21x -)=0 (D)(x -21y -)(y ＋21x -)=0

3. 设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记λ=

)

(4

1∑=i i S /S ，则λ一定满足( )

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5

4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c (b ≠1)，且A B

A C sin sin ,都是方程

x b

log =log b

(4x -4)的根，

则△ABC ( )

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5. 设复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，且|z 1|=4，4z 12-2z 1z 2＋z 22

=0，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

(A)8

3 (B)43 (C)63 (D)123

6. 设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10＋x )=f (10-x )， f (20-x )=-f (20＋x )，则f (x )是

(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数

二．填空题(每小题5分共30分)

1. 设x ，y ，z 是实数，3x ，4y ，5z 成等比数列，且

z y x 1,1,1成等差数列，则x z z x +的值是______．

2. 在区间[0，π]中，三角方程cos7x =cos5x 的解的个数是______．

3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是

_____．

4. 设z 1

，z 2

都是复数，且|z 1

|=3，|z 2

|=5|z 1

＋z 2

|=7，则arg(12

z z )3

的值是______．

5. 设数列a 1，a 2， ，a n ， 满足a 1=a 2=1，a 3=2，且对任何自然数n ， 都有a n a n ＋1a n ＋2≠1，又a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3=a n ＋a n ＋1

＋a n ＋2＋a n ＋3，则a 1＋a 2＋ ＋a 100的值是__ __．

6. 函数f (x )=

13

6324+--x x x -

124+-x x 的最大值是_____．

三、(20分)求证：17

11680

1<<∑=k k ．