延度

T 0605-1993沥青延度试验

1目的与适用范围

1.1本方法适用于测定道路石油沥青、液体沥青蒸馏残留物和乳化沥青蒸发残留物等材料的延度。

1.2沥青延度的试验温度与拉伸速率可根据要求采用，通常采用的试验温度为25℃、15℃、10℃或5℃，拉伸速度为5cm/min±0.25cm/min。当低温采用lcm/min± 0.05cm/min拉伸速度时，应在报告中注明。

2仪具与材料

2.1延度仪：将试件浸没于水中，能保持规定的试验温度及按照规定拉伸速度拉伸试件且试验时无明显振动的延度仪均可使用，其形状及组成如图1。

2.2试模：黄铜制，由两个端模和两个侧模组成，其形状及尺寸如图2。试模内侧表面粗糙度RaO.2 um，

当装配完好后可浇铸成表1

尺寸的试样。

延度试样尺寸(mm) 表1

总长 74.5～75.5

中间缩颈部长度 29.7～30.3

端部开始缩颈处宽度 19.7～20.3

最小横断面宽 9.9～10.1

厚度（全部） 9.9～10.1

2.3试模底板：玻璃板或磨光的铜板、不锈钢板（表面粗糙度Ra0.2μm）。

2.4恒温水槽：容量不少于10L,，控制温度的准确度为0.1℃，水槽中应设有带孔搁架，搁架距水槽底不得少于50mm。试件浸人水中深度不小于l00mm。

2.5温度计：O℃~50℃，分度为O.1℃。

2.6砂浴或其它加热炉具。

2.7甘油滑石粉隔离剂（甘油与滑石粉的质量比2:1)。

2.8其它：平刮刀、石棉网、酒精、食盐等。

3方法与步骤

3.1准备工作

3.1.1将隔离剂拌和均匀，涂于清洁干燥的试模底板和两个侧模的内侧表面，并将试模在试模底板上装妥。

3.1.2按本规程T 0602规定的方法准备试样，然后将试样仔细自试模的一端至另一端往返数次缓缓注人模中，最后略高出试模，灌模时应注意勿使气泡混入。

3.1.3试件在室温中冷却30min - 40 min,然后置于规定试验温度士0.1℃的恒温水槽中，保持30min 后取出，用热刮刀刮除高出试模的沥青，使沥青面与试模面齐平。沥青的刮法应自试模的中间刮向两端，且表面应刮得平滑。将试模连同底板再浸人规定试验温度的水槽中1h-1.5h。

3.1.4检查延度仪延伸速度是否符合规定要求，然后移动滑板使其指针正对标尺的零点。将延度仪注水，并保温达试验温度±0.5℃。

3.2试验步骤

3.2.1将保温后的试件连同底板移入延度仪的水槽中，然后将盛有试样的试模自玻璃板或不锈钢板上取下，将试模两端的孔分别套在滑板及槽端固定板的金属柱上，并取下侧模。水面距试件表面应不小于25mm。

3.2.2开动延度仪，并注意观察试样的延伸情况。此时应注意，在试验过程中，水温应始终保持在试验温度规定范围内，且仪器不得有振动，水面不得有晃动，当水槽采用循环水时，应暂时中断循环，停止水流。在试验中，如发现沥青细丝浮于水面或沉入槽底时，则应在水中加人酒精或食盐，调整水的密度至与试样相近后，重新试验。

3.2.3试件拉断时，读取指针所指标尺上的读数，以厘米表示，在正常情况下，试件延伸时应成锥尖状，拉断时实际断面接近于零。如不能得到这种结果，则应在报告中注明。

4报告

同一试样，每次平行试验不少于3个，如3个测定结果均大于1OOcm ,试验结果记作“＞100cm”；特殊需要也可分别记录实测值。如3个测定结果中，有一个以上的测定值小于100cm时，若最大值或最小值与平均值之差满足重复性试验精密度要求，则取3个测定结果的平均值的整数作为延度试验结果，若平均值大于1OOcm,记作“> 1OOcm”；若最大值或最小值与平均值之差不符合重复性试验精密度要求时，试验应重新进行。

5精密度或允许差

当试验结果小于100cm时，重复性试验的允许差为平均值的20％；复现性试验的允许差为平均值的30％。

条文说明

1.本试验法是在1983年试验规程（沥103-83)基础上按照国标GB/T 4508修改制定的。试验速率一般为5cm/min±0.25cm/min，但现在对低温延度越来越重视，为此本试验法注明可采用lcm/min±0.05cm/min或其它速度拉伸，但应在报告中注明。

2.仪器设备中1983年试验规程要求温度计刻度为0.5C，但在实践中已改用刻度为0.1℃的温度计。试模底板在ASTM中规定为钢板，所用隔离剂为汞剂；国标中规定为磨光金属板，隔离剂为甘油—滑石粉。但在实践中，用玻璃板比较方便，故本试验法规定为玻璃板或不锈钢板。

3.试验方法与1983年试验规程及国标并无变化。

4.对延度试验结果的取值方法以前比较混乱，尤其是延度大于1OOcm时，无明确规定，记录方式以前并不统一，这次根据日本道路协会的标准试

验方法对延度大于1OOcm的各种描述作了具体规

定。

5.对试验精密度按照国标规定3个试件试验

值应在平均值5％以内，但其中两个高值在5％时，

则舍弃其最低值，取两个较高值作为试验结果。

我们认为舍去低值的方法是不合适的，且延度误

差超过5%的情况甚多。美国对延度值的精密度规

定了一张图表，不同延度有不同的要求（如图3),

在图中延度在50cm - 100cm时，重复性为1Ocm ～

30cm ,复现性为20cm～50cm。法国标准不分延度

大小规定重复性为平均值的10％，复现性为平均

值的20％。本试验法在修订时考虑到我国的现状，

采用法国的表示方法同时适当放宽，较能符合实

际情况，这是根据实践经验提出的。

博士生入学考试泛函分析考试大纲

博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理

4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。

第三章 一微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 教学目的 讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理 教学要求 掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可 微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。 教学重点 几个主要定理的条件及其证明 教学难点 逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理， §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的 讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。 教学要求 熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解， 教学重点 Picard 存在唯一性定理及其证明

教学难点 逐次逼近分析法的应用及其思想. 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一． 存在唯一性定理 1．定理1，考虑初值问题 ),(y x f dx dy = （3.1） 00)(y x y = 其中f(x,y)在矩形区域 R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2） 上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有 R y x y x ∈),(),,(21常存成立， |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0 ),(0（3.5）的连续解。 2.构造（ 3.5）所得解函数序列{)(x n ?} 任取一连续函数)(0x ?，b y x ≤-|)(|00?代入（3.5）左端的y ，得 ?+=x x dx x x f y x 0 ))(,()(01??)(x n ?)(x n ? Λ2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为3 ?∞→∞ →+x x n n n dx x x f y x 0 ))(,(lim )(lim 0?

STYD-3型恒温(双速)数显沥青延伸度测定仪操作规程

STYD-3型恒温（双速）数显 沥青xx测定仪操作规程 1、准备工作： 1.1、将隔离剂拌和均匀，涂于清洁干燥的试模底板和两个侧模的内则表面，并将试模在模底板上装妥。 1.2、按本规程T0602规定的方法准备试样，然后将试样仔细自试模的一端至另一端往返数次缓缓注入试模中，最后略高出试模。灌模时不得使气泡混入。 1.3、试件在室温中冷却不少于 1.5小时，然后用热刮刀刮除高出试模的沥青，是沥青面与试模面齐平。沥青的刮法应自试模的中间刮向两端，而且表面应刮的很平滑。将试模连同底板再放入规定试验温度的水槽中保温 1.5小时。 1.4、检查延度仪延伸速度是否符合规定要求，然后移动滑板使其指针正对标尺的零点。将延度仪注水，并保温达到试验温度± 0.1℃。 2、试验步骤： 2.1、将保温后的试件连同底板移入延度仪的水槽中，然后将盛有试样的试模自玻璃板或不锈钢板上取下，将试模两端的孔分别套在滑板及槽端固定板的金属柱上，并取下侧模，水面距试件表面应不小于25mm. 2.2到达目标温度以后，就进入自动恒温状态，按下延度仪开关，试验开始，试验中水面必须保持绝对静止。并注意观察试件的延伸情况。此时应注意，在试验过程中，水温应始终保持在试验规定的范围之内，且仪器不得有振动，水面不得有晃动，当水槽采用循环水时，应暂时中断循环，停止水流。在

试验中，当发现沥青细丝上浮于水面或沉入槽底时，应在水中加入酒精或食盐，调整水的密度至与试样相近后，重新试验。 2.3、试件拉断时，三次记值开关用于每断一个试样，按一次至第四次自动测得三次试样平均值，延度仪自动停止（小车）。在正常情况下，试件延伸时应成锥尖状，拉断时实际断面接近于零。如不能得到这种结果，则应在报告中注明。 2.4、按移动开关（用于延度结束后）用手动小车回到试验起点（等待下次使用）请按移动键，此时蜂鸣器开始蜂鸣报警。用手动将小车回到试验起点后，再按一下移动键，蜂鸣消失。 3、注意事项： 3.1、启动延度仪后，请关闭“启动温度”键。 3.2、仪器必须使用有良好接地保护的标准插座。 3.3、使用仪器的电压应保证在规定的电压范围内（220V/50HZ±10%）电压不稳需安装稳压器。 3.4、严禁水槽内无水开启加热开关或制冷开关。 3.5、长时间未使用或首次使用制冷机应检查冷凝器风机是否正常，否则将导致压缩机故障。 3.6、延伸长度不得超过仪器标牌标注长度。延度试验开始后，必须派专人照看，不得脱岗，如超过标准长度或脱岗后，产生不良后果，请恕难负责。 3.7、仪器使用完毕，请把水放浄后再开启一次搅拌水泵，以便排净水泵内的积水，防止堵塞。 3.8、仪器使用完毕，首先关闭所有功能开关，然后关闭总电源开关。

(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档

《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?

(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞

解对初值的连续性和可微性定理

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 在初值问题?????==) (),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程 ),(y x f dx dy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函 数.因此将对初值问题?????==) (),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质. 1、解关于初值的对称性 设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式 00(,,)y x x y ?= 证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为 11(,,)y x x y ?= 并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立. 2、 解对初值的连续依赖性 由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理： 引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式 0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）

沥青延度作业指导书

沥青延度作业指导书 8.3.1目的与适用范围 1.1、本方法适用于测定道路石油沥青、液体沥青蒸馏残留物和乳化沥青蒸发残留物等材料的延度。 1.2、沥青延度的试验温度与拉伸速率可根据要求采用，通常采用的试验温度为250C、150C、100C或50C，拉伸速度为5cm/min ±0.25cm/min。当低温采用1cm/min±0.05cm/min拉伸速度时，应在报告中注明。 8.3.2仪具与材料 延度仪 试模 试模底板 恒温水槽 温度计 砂浴或其它加热炉具。 甘油滑石粉隔离剂 其它、平刮刀、石棉网、酒精、食盐等。 8.3.3方法与步骤 3.1、准备工作 3.1.1、将隔离剂拌和均匀，涂于清洁干燥的试模底析和两个侧模的内侧表面，并瘵试模在试模底板上装妥。 3.1.2、按本规程T0602规定的方法准备试样，然后将

试样仔细自试模的一端至另一端往返数次缓缓注入模中，最后略高出试模，灌模时应注意勿使气泡混入。 3.1.3、试件在室温中冷却30min～40min，然后置于规定试验温度±0.10C的恒温水槽中，保持30min后取出，用热刮刀刮除高出试模的沥青，使沥青面与试模面齐平。沥青的刮法应知试模的中间刮向两端，且表面应刮得平滑。将试模连同底板再浸入规定试验温度的水槽中1h～1.5h。 3.1.4、检查延度仪延伸速度是否符合规定要求，然后移动滑板使其指针正对标尺的零点。将延度仪注水，并保温达试验试验温度±0.050C。 3.2、试验步骤 3.2.1、将保温后的试件连同称底板移入延度仪的水槽中，然后将盛有试样的试模自玻璃板或不锈钢板上取下，将试模两端的孔分别套在滑板及槽端固定板的金属柱上，并取下侧模。水面距试件表面应不小于25mm。 3.2.2、开动延度仪，并注意观察试样的延伸情况。此时应注意，在试验过程中，水温应始终保持在试验温度规定范围内，且食品不得有振动，水面不得有晃动，当水槽采用循环水时，应暂时中断循环，停止水流。在试验中，如发现沥青细丝浮于水面或沉入槽底时，则就在水中加入酒精或食盐，调整水的密度至与试样相近后，重新试验。 3.2.3、试件拉断时，读取指针所指标尺上的读数，

泛函分析复习提要

泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；

延度

T 0605-1993沥青延度试验 1目的与适用范围 1.1本方法适用于测定道路石油沥青、液体沥青蒸馏残留物和乳化沥青蒸发残留物等材料的延度。 1.2沥青延度的试验温度与拉伸速率可根据要求采用，通常采用的试验温度为25℃、15℃、10℃或5℃，拉伸速度为5cm/min±0.25cm/min。当低温采用lcm/min± 0.05cm/min拉伸速度时，应在报告中注明。 2仪具与材料 2.1延度仪：将试件浸没于水中，能保持规定的试验温度及按照规定拉伸速度拉伸试件且试验时无明显振动的延度仪均可使用，其形状及组成如图1。 2.2试模：黄铜制，由两个端模和两个侧模组成，其形状及尺寸如图2。试模内侧表面粗糙度RaO.2 um， 当装配完好后可浇铸成表1 尺寸的试样。 延度试样尺寸(mm) 表1 总长 74.5～75.5 中间缩颈部长度 29.7～30.3 端部开始缩颈处宽度 19.7～20.3 最小横断面宽 9.9～10.1 厚度（全部） 9.9～10.1 2.3试模底板：玻璃板或磨光的铜板、不锈钢板（表面粗糙度Ra0.2μm）。 2.4恒温水槽：容量不少于10L,，控制温度的准确度为0.1℃，水槽中应设有带孔搁架，搁架距水槽底不得少于50mm。试件浸人水中深度不小于l00mm。 2.5温度计：O℃~50℃，分度为O.1℃。 2.6砂浴或其它加热炉具。 2.7甘油滑石粉隔离剂（甘油与滑石粉的质量比2:1)。 2.8其它：平刮刀、石棉网、酒精、食盐等。 3方法与步骤

3.1准备工作 3.1.1将隔离剂拌和均匀，涂于清洁干燥的试模底板和两个侧模的内侧表面，并将试模在试模底板上装妥。 3.1.2按本规程T 0602规定的方法准备试样，然后将试样仔细自试模的一端至另一端往返数次缓缓注人模中，最后略高出试模，灌模时应注意勿使气泡混入。 3.1.3试件在室温中冷却30min - 40 min,然后置于规定试验温度士0.1℃的恒温水槽中，保持30min 后取出，用热刮刀刮除高出试模的沥青，使沥青面与试模面齐平。沥青的刮法应自试模的中间刮向两端，且表面应刮得平滑。将试模连同底板再浸人规定试验温度的水槽中1h-1.5h。 3.1.4检查延度仪延伸速度是否符合规定要求，然后移动滑板使其指针正对标尺的零点。将延度仪注水，并保温达试验温度±0.5℃。 3.2试验步骤 3.2.1将保温后的试件连同底板移入延度仪的水槽中，然后将盛有试样的试模自玻璃板或不锈钢板上取下，将试模两端的孔分别套在滑板及槽端固定板的金属柱上，并取下侧模。水面距试件表面应不小于25mm。 3.2.2开动延度仪，并注意观察试样的延伸情况。此时应注意，在试验过程中，水温应始终保持在试验温度规定范围内，且仪器不得有振动，水面不得有晃动，当水槽采用循环水时，应暂时中断循环，停止水流。在试验中，如发现沥青细丝浮于水面或沉入槽底时，则应在水中加人酒精或食盐，调整水的密度至与试样相近后，重新试验。 3.2.3试件拉断时，读取指针所指标尺上的读数，以厘米表示，在正常情况下，试件延伸时应成锥尖状，拉断时实际断面接近于零。如不能得到这种结果，则应在报告中注明。 4报告 同一试样，每次平行试验不少于3个，如3个测定结果均大于1OOcm ,试验结果记作“＞100cm”；特殊需要也可分别记录实测值。如3个测定结果中，有一个以上的测定值小于100cm时，若最大值或最小值与平均值之差满足重复性试验精密度要求，则取3个测定结果的平均值的整数作为延度试验结果，若平均值大于1OOcm,记作“> 1OOcm”；若最大值或最小值与平均值之差不符合重复性试验精密度要求时，试验应重新进行。 5精密度或允许差 当试验结果小于100cm时，重复性试验的允许差为平均值的20％；复现性试验的允许差为平均值的30％。 条文说明 1.本试验法是在1983年试验规程（沥103-83)基础上按照国标GB/T 4508修改制定的。试验速率一般为5cm/min±0.25cm/min，但现在对低温延度越来越重视，为此本试验法注明可采用lcm/min±0.05cm/min或其它速度拉伸，但应在报告中注明。 2.仪器设备中1983年试验规程要求温度计刻度为0.5C，但在实践中已改用刻度为0.1℃的温度计。试模底板在ASTM中规定为钢板，所用隔离剂为汞剂；国标中规定为磨光金属板，隔离剂为甘油—滑石粉。但在实践中，用玻璃板比较方便，故本试验法规定为玻璃板或不锈钢板。

泛函分析——武大精品课2-4

1 第12讲 Hahn －Banach 延拓定理 教学目的 掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。 授课要点 1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。 3、 保范延拓定理。 4、 延拓定理的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多，对这个空间本身就了解得越多（参见第9讲思考题1）. 有时候为了某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn －Banach 定理为这样的线性泛函的存在提供了保证. 定义1 设()D T 与()1D T 分别是算子T 与1T 的定义域，若 ()()1D T D T ?，并且1,T x Tx =()x D T ?∈，则称算子1T 是T 的延拓. 定义2 线性空间X 上的实泛函()p x 称为是次可加的，若 ()()()p x y p x p y +≤+，,x y X ?∈ 称为是正齐性的，若 ()()p x p x αα=，x X ?∈，0α≥. 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函. 定理1（Hahn －Banach ） 设X 是实线性空间，:p X R →是X 上的正齐性次可加泛函，M X ?是线性子空间，则 （1）对于M 上定义的每个线性泛函0f ，存在0f 从M 到X 的延

2 拓f ：X R →， ()()0f x f x =，x M ?∈ （2）若()()0f x p x ≤，x M ?∈，可选取f 满足 ()()f x p x ≤，x X ?∈ ()1 证 明 1 设M X ≠，取0\x X M ∈，记'M =span {}0,x M ，则 x M ′′?∈，0x x tx ′=+，其中x M ∈，t R ∈. 此分解式是唯一的，否 则另有110x x t x ′=+，1x M ∈，则()110x x t t x ?=??，若1t t ≠，则 1 01 x x x t t ?= ?M ∈，与0x 的取法矛盾，于是1t t =，并且1x x =. 对于任何常数c ，令 ()()0f x f x tc ′=+，0x x tx ′?=+. 则容易验证f 是M ′上的线性泛函. 实际上f 是0f 从M 到M ′的延拓，因为当x M ′∈时，0t =，从而()()0f x f x ′=. 2 我们将证明当x M ?∈，()()0f x p x ≤时，适当选择c ，可使 ()()f x p x ′′≤，x M ′′?∈. 实际上,x y M ?∈，由于 ()()()()000f x f y f x y p x y +=+≤+ ()()00p x x p x y ≤?++， 即 ()()()()0000f x p x x p x y f y ??≤+?， 故存在c 满足 ()()00sup x M f x p x x c ∈??≤ ()()00inf y M p x y f y ∈≤+? ， ()2

实验二(针入度,延度,软化点)

实验二：接枝增韧SBS改性乳化沥青的针入度、延度和软化点试验 一、沥青针入度试验 1．试验目的 沥青针入度是在规定温度（25℃）和规定时间（5s）内，附加一定重量的标准针（100g）垂直贯入沥青试样中的深度，单位为0.01mm。通过针入度的测定掌握不同沥青的粘稠度以及进行沥青标号的划分。 2．试验仪器设备 （1）针人度仪：凡能保证针和针连杆在无明显摩擦下垂直运动，并能指示针贯人深度准确至0.01mm的仪器均可使用。它的组成部分有拉杆、刻度盘、按钮、针连杆组合件，总质量为100±0.05g，调节试样高度的升降操作机件，调节针入度仪水平的螺旋，可自由转动调节距离的悬臂。 当为自动针入度仪时，其基本要求相同，但应附有对计时装置的校正检验方法，以经常校验。 （2）标准针：由硬化回火的不锈钢制成，洛氏硬度HRC54～60，针及针杆总质量2.5±0.5g，针杆上打印有号码标志，应对针妥善保管，防止碰撞针尖，使用过程中应当经常检验，并附有计量部门的检验单。 （3）盛样皿：金属制的圆柱形平底容器。小盛样皿的内径55mm，深35mm（适用于针人度小于200 ）；大盛样皿内径70mm ，深45mm （适用于针入度200～350 ) ；对针人度大于350 的试祥需使用特殊盛样皿，其深度不小于60mm ，试样体积不少于125mL 。 （4）恒温水槽：容量不少于10L ，控温精度为±0.1℃。水中应设有一带孔的搁板（台），位于水面下不少于100mm ，距水槽底不得少于50mm 处。 （5）平底玻璃皿：容量不少于1L ，深度不少于80mm。内设有一不锈钢三脚支架，能使盛样皿稳定。 （6）温度计：0℃～50℃，分度0.1℃。 （7）秒表，分度0.1s。 （8）盛样皿盖：平板玻璃，直径不小于盛样皿开口尺寸。 （9）溶剂：三氯乙烯等。 （10）其它：电炉或砂浴、石棉网、金属锅或瓷把坩埚等。 3．试验步骤 （1）将恒温水槽调到要求的温度25℃，保持稳定。 （2）将试样放在放有石棉垫的炉具上缓慢加热，时间不超过30min，用玻璃棒轻轻搅拌，防止局部过热。加热脱水温度，石油沥青不超过软化点以上100℃，煤沥青不超过软化点以上50℃。沥青脱水后通过0.6滤筛过筛。

泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念和命题 赋范空间，算子，泛函 定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间， 可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10， 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0

第二章 基本定理 第二讲 解的延拓

第二讲 解的延拓（3学时） 教学目的：讨论解的延拓定理。 教学要求：理解解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解 教学重点：解的延拓定理条件及其证明 教学难点：应用解的延拓定理讨论解的存在区间。 教学方法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 教学过程： 解的存在唯一性定理的优点是:在相当广泛的条件下,给定方程:),(y x f dx dy =有满足初值条件00)(y x y =的唯一解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的一个区间), min(,||0m b a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很小,因而相应的微分曲线也只是很短的一段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+???=? 当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯一区间.21}21 ,1min{||= =≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯一区间.4 1}41 ,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增大,解存在的唯一区间反而缩小,这显然是我们不想看到的,而且实际要求解存在下载向尽量大,这就促使我们引进解的延拓概念.扩大解存在不在此区间. 1． 局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每一点P,有以P 为中心完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满足Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的大小和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满足局部Lipschitz 条件. 2. 解的延拓定理. 如果方程( 3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件,那么方程(3.1)的通解过G 内任何一点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增大的一方延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.

沥青及沥青混合料试验

道路综合试验指导书 [试验内容和学习要求] 本章选编了（1）石油沥青的针入度、延度和软化点试验；（2）沥青的脆点试验；（3）石料的抗压强度和磨耗试验；（4）沥青的粘附性试验；（5）粗、细集料及矿粉的筛析试验；（6）沥青混合料组成设计；（7）沥青混合料的制备；（8）沥青混合料的物理指标测定；（9）沥青混合料马歇尔稳定度试验；（10）沥青混合料车辙试验等十个试验。 要求学生通过试验：（1）掌握沥青三大指标测定方法并会确定其称号；（2）了解沥青脆点的试验方法；（3）了解石料抗压、磨耗的试验方法，并会确定其等级；（4）掌握沥青的粘附性试验，并能确定其等级；（5）掌握筛析试验方法，并会进行矿质混合料组成设计；（6）掌握沥青混合料马歇尔稳定度试验，了解车辙试验，并且能够确定沥青最佳用量，从而完成沥青混合料的组成设计。 试1石油沥青的针入度、延度和软化点试验 试3．1．1石油沥青的针入度试验 1.试验目的 沥青的针入度是在规定温度和时间内，在规定的荷载作用下，标准针垂直贯入试样的深度，以0.1mm表示，非经注明，试验温度为25℃，荷载（包括标准针、针的连杆与附加砝码的质量）为100ｇ±0.1g，时间为5s。 测定沥青的针入度，可以了解粘稠沥青的粘结性并确定其标号。 2.试验仪具 （1）针入度仪：凡能保证针和针连杆在无明显摩擦下垂直运动，并能指示标准针贯入沥青试样深度准确至0.1mm的仪器均可使用。针和针连杆组合件总质量为50g±0.05g，另附50g±0.05g砝码一只，试验时总质量为100g±0.05g。仪器设有放置平底玻璃保温皿的平台， 并有调解水平的装置，针连杆应与平台相垂直。仪器设有针连 杆制动标钮，使针连杆可自由下落。针连杆容易装卸，以便检 查其质量。仪器还设有可自由转动与调解距离的悬臂，其端部 有一面小镜或聚光灯泡，借以观察针尖与试样表面接触情况如 试图3-1。当为自动针入度仪时，各项要求与此项相同，温度 采用温度传感器测定，针入度值采用位移计测定，并能自动显 示和记录，且应对自动装置的准确性经常校验。为提高测试精 密度，不同温度的针入度试验宜采用自动针入度仪进行。 （2）标准针由硬化回火的不锈钢制成，洛氏硬度HRC54～ 60，表面粗糙度Ra0.2μm～0.3μm，针及针杆总质量 2.5g± 0.05g，针杆上应打印有号码标志，针应设有固定用装置盒，以试图3-1 沥青针入度仪 免碰撞针尖，每根针必须附有计量部门的检验单，并定期进行1-齿杆；2-连杆；3-揿钮；4-镜；检验，其尺寸及形状如试图3-2。5-试样；6-底脚螺丝；7-度盘；8-转盘

智能沥青延伸度测定仪说明书样本

一概述 调温调速沥青延伸度仪是我上海乐傲试验仪器有限公司最新研制的试验科研一体型大型仪器, 销售电话: 本仪器采用了最新的计算机技术, 在技术参数和性能上较上一代产品具有质的飞跃。其制冷系统采用进口组件, 设有循环系统并采用PID和模糊控制算法, 温度稳定。浴槽设有隐藏式内部照明, 不锈钢底板并配有透明槽盖。拉伸系统采用滚珠丝杠和直线导轨, 拉伸平稳。拉伸速度由进口变频器无级调速, 能够高速归位。控制系统采用了双CPU设计, 人机界面采用了5.7寸超大触摸液晶屏, 并具有键盘, 遥控, 按钮等多种输入方法。可保存30组数据数据并可随时查询打印。 执行标准: GB/T4508JTJ/T06060JTJ/T0662 ASTMD113, 适用于测定沥青延度, 也适用于测试改性沥青的弹性恢复试验。 二主要功能和技术参数 【主要技术参数】 ●拉伸长度: 1.5m/2.0m (所有型号可选) ●位移精度: 1mm(B/C/D型) ●控温范围: －5～50℃ ●控温精度: ±0.5℃ ●拉伸速率: 10,15,25,50mm/min(也可在10－70mm/min之间任意设定) ●加热功率: 2.0KW ●制冷功率: 1.2KW

●测力范围: 100Kg(分辨率0.1N) (C/D型) ●测力精度: 0.3Kg (C/D型) ●遥控距离: 30米(所有型号用户选装功能) 【主要功能】 ●键盘, 按钮, 遥控, 多输入方式, 遥控启动, 记忆和停车(遥控为选装功能)。 ●带实时时钟和万年历, 带后备电池。 ●拉伸量、试验参数, 试验试件(所有型号)和拉力曲线显示(仅C/D型)。 ●可保存10次(30组)试验数据和曲线, 并能够随时查询。 ●带微型打印机, 可打印试验结果和曲线图(仅C/D型)。 ●具有10, 15, 25, 50mm/min的拉伸速率, 也可自由设定(高级用户操作, 请联系厂家电话: )。 ●带有循环系统, PID加模糊控制算法, 控温精度精准。 ●具有可设定的试件养护定时, 并倒计时提醒。 ●内置在线帮助系统, 能够经过按键操作查看电子版的使用说明书。 ●带RS232C通讯接口(所有型号用户选装功能), 能够经过PC机控制仪器完成试验, 采集实时试验数据。 三仪器操作说明 ①输入方法

泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理及其应用 泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。 1、Hahn-Banach 延拓定理 定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足： (1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X G F f =； 其中X F 表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G f 表示G 上的线性泛函的范数． 延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中． 2、逆算子定理 在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间． 定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)． 定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ： ()G X Y ?→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)． 注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？ 性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 ：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知： 1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+-- 1212()y y y y αβαβ=+--0= 由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□ 定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．

(完整版)沥青延度试验方法

沥青延度试验方法 1、目的：用于测定石油沥青、液体沥青蒸馏残留物和乳化沥青蒸发残留物等材料的延度。 2、引用标准：：JTG E20-2011《沥青及沥青混合料试验规程》T0605-2011 3、仪器、设备：沥青延度仪、试模、试模底板、加热炉具、甘油滑石粉隔离剂（比例2:1）、其它。 4、准备工作 4.1接通沥青延度电源，按下电源开关仪器进入工作状态；根据测试需要设定规定实验温度，并设置水浴循环及拉伸速度，校正拖板起始位置。 4.1将隔离剂拌和均匀，涂于清洁干燥的试模底板和两个侧模的内侧表面，并将试模在试模底板上装妥。 4.2按沥青试样准备方法将准备好试样从自试模的一端至另一端往反数次缓缓注入模中，最后略高出试模。灌摸时注意勿使气泡混入。 4.3试件在室温中冷却不少于1.5h，然后用热刮刀刮除高出试摸的沥青，使沥青面与试模平齐。将试摸连同底板放入规定实验温度的水槽中保持1.5小时。 4.4接通沥青延度电源，按下电源开关仪器进入工作状态；根据测试需要设定规定实验温度，并设置水浴循环及拉伸速度，校正拖板起始位置。

5、检验步骤 5.1将保温后的试件连同底板移入延度仪的水槽中，然后将盛有试样的试模自底板上取下，将试模两端的孔分别套在滑板及槽端固定的金属柱上，并取下侧模，水面距试件表面不小于25mm。 5.2关好水浴盖即开始试验；在试验过程中，应仔细观察试样的拉伸情况。当有试样拉断时应立即按一下遥控器“A”健以保存该次的试验数据，即三个试样应按三次。如发现沥青丝浮与水面或沉入槽底时，则应在水中加入酒精或食盐，调整水的密度至与试样相近后，重新试验。 5.3试验完成后，需将拖板移动回初始位置。试验完成，打印试验数据。 6、报告 同一试样，每次平行试验不少于3个，如3个测定结果均大于100cm，试验结果记作“＞100cm”；如3个结果中，有一个以上的测定值小于100cm时，若最大值或最小值与平均值之差满足重复性试验精密度要求，则取3个测定结果的平均值的整数作为延度试验结果，若平均值大于100cm，记作“＞100cm”；若最大值或最小值与平均值之差不符合重复性试验精密度要求时，试验应重新进行。 7、精密度或允许差

常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程

2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）