2014届成都市分科会立体几何高考解读88

★成都市2014届高考数学

《立体几何》《解析几何》高考解读

解读教师：曹军才

数学是研究数量关系和空间形式的科学（恩格斯）。其“空间形式”可概括为：

几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。这表明，几何学不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式。因此，几何课程不仅仅是培养逻辑思维的良好载体，而且是一种思维方式。这种几何直观的思维方式渗透到数学的所有分支。

《立体几何》部分

一、立体几何的教育价值

立体几何作为一种直观、形象的数学模型，在发展学生的直觉能力，培养学生的创造精神方面具有独特的价值。创新往往发端于直觉，与数学其他分支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探索，创新活动提供了更为有利的条件。

《标准》对立体几何的教育价值主要体现在三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象能力与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。

二、立体几何的课程目标

立体几何课程的总目标，一是利用几何课程形象、直观的特点，培养学生几何直观的思维方式和几何直观能力；二是充分利用几何课程这一良好载体，培养学生的逻辑推理能力和理性思维。几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力，空间想象能力与空间洞察能力。

（一）必修2“立体几何初步”课程教育目标．

1.通过立体几何初步的学习，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

2.培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。学生领悟数学思想方法，感受辩证唯物主义观念。

（二）选修2—1“空间向量和立体几何”课程教育目标．

1.经历向量及其运算由平面向空间推广过程。了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直。

2.理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述垂直、平行关系。能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理，解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。

空间向量的引入为处理立体几何中的推论论证及计算问题提供了新视角，为立体几何中的证明、计算提供了通法。一旦建立了坐标系便可着手计算，由计算结果得出几何结论，大大减弱了推理论证的成分，可以避免一些带有技巧性的添加辅助线或构作辅助面等过程。这种向量方法在今后的学习中有着广泛的作用。

三、立体几何知识考试要求

（一）知识要求

必修2第一章空间几何体，第二章点、直线、平面之间的位置关系

选修2-1第三章空间向量与立体几何（理科）

中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。

（二）知识结构

旧教材：局部到整体，抽象到具体，重演绎推理

新教材：整体到局部，具体到抽象，重归纳推广

在立体几何内容设计方面，《标准》采取了更加符合学生认知水平的分层设计的方式。在必修课程“立体几何初步”这一章内容的设计上，遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则。要求学生主要通过直观感知，操作确认，获得几何图形的性质，强调借助实物模型，通过整体观察，直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算，引导学生多角度、多层次的揭示空间图形的本质。并通过简单推理，发现一些几何性质。而将较高要求的推理证明及空间角、距离的计算安排在选修2—1“空间向量和立体几何”中。将原来的“多面体及欧拉公式”内容安排在选修系列3“欧拉公式与封闭曲线分类”专题中。增加了简单空间图形的三视图，台体的表面积和体积。

选修2—1中的“空间向量与立体几何”这一章，是在必修4“平面向量的”基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，用空间向量解决直线、平面位置关系，以及空间向量在求空间角（两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角）和空间距离等方面的应用。

（三）《标准》和《大纲》的比较

1、内容要求对比

与《大纲》相比，《标准》对“立体几何初步”这一章的内容安排作了较大幅度的调整。比较《标准》与以往《大纲》中对“立体几何初步”这一章目标的表述如下表:

与《大纲》相比，《标准》这部分内容只要求认识具体几何体。《标准》强调利用实物模型、计算机软件来观察大量的几何体，认识柱、椎、台、球及其组合体的结构特征，强调学生动手操作实习，淡化对这些几何体概念的要求。《标准》增加了三视图的内容，要求能根据简单的几何体的三视图还原立体模型。《标准》还增加了会观察用平行投影画出的视图和直观图以及中心投影画出的直观图的要求，不要求深究平行投影和中心投影的定义及其画法。

《标准》对于判定定理只要求操作确认、合情推理，对于性质定理，要求思辨证论、逻辑推理。这样的变化在一定程度上降低了学习的难度，能够有效地激发学生的学习兴趣，更加关注知识的发生发展过程，对学生直观猜想、策略创造这些“宏观方面”思维能力进行了更有效的训练。《标准》中对于平行与垂直，重在定性，而进一步论证与度量则放在选修系列2中，更加突出了这一部分的教学目标，也体现了课程的选择性。

本章添加了整体观察空间几何体，实现了从整体到局部展开几何教学的同时，对传统立体几何内容页做了适当的删减，如线、面平行和垂直四个判定定理的证明以及传统立体几何教学一直视为难点、重点内容的空间角与距离的概念与计算、三垂线定理及其逆定理等．这些内容都在选修2中利用向量解决。

在教学要求方面，对于“空间几何体”从原来的要求了解概念，掌握性质，变为要求认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，对概念、性质则降低了要求。对于空间的位置关系，《标准》所罗列的4个公理，1个定理，8个判定及性质定理更具有基础性，实用性。在选修2—1中再用向量方法加以证明。在处理方式上，与以往点、线、面、体，即从局部到整体展开几何内容的方式不同，《标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，通过简单的推理发现、论证一些结几何性质。进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。

2、课时分配对比

按照2002年《大纲》文科方向或直接就业学生最低要求：（必修+选修Ⅰ）共需324课时；理科方向学生最低要求：（必修+选修Ⅱ）共需368课时。按照新课程标准要完成必修课系列：数学1——数学5的修习，共需180课时。

文科方向对立体几何的要求是：空间几何体（8课时）+点、直线、平面的位置关系（10课时），共18课时；（成都市建议老师补充）

理科方向对立体几何的要求是：空间几何体（8课时）+点、直线、平面的位置关系（10课时）+空间向量及其运算（5课时）+立体几何中的向量方法（5课时）+小结（2课时），共30课时；

（四）考试要求

(下表依据2013年四川省《考试说明》)

（五）立体几何新增和删减降低知识．

（六）立体几何新增知识考查定位．

四、立体几何考情分析．

其中2012年全国大纲卷（22分）、全国新课标卷（22分）、浙江卷（24分）、四川卷（26分，其中选择题10分、填空4分、解答题12分），其余省市基本上都是一个选择题加一个解答题。其中选择题只有一两个省份将其中一道立体几何放在靠后，其余省市均在

3—8题之间，填空均在中游位置，解答题均摆放在第2、3个题的位置，难度对所有学生来说都是必得分题型或中档题。

以2013年全国各省市高考题为例，对立体几何的考情统计如下：

2013年各省市立体几何基本上稳定在两种分值：22分（两小题一大题，有11个省市）和17分（一小题一大题，有5个省市），摆放位置与2012年差不多，难度对所有学生来说都是必得分题型或中档题。

（一）立体几何在高考中的考查源于课本、高于课本

立足教材，教材是高考命题的重要依据，不少省市，数学试题严格依照《课标》）的要求，并编制了一批“源于教材”的题目，同时有利于保持试卷的连续性和稳定性。 如1：（2010浙江卷（文科8理科12））

（文科8题）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则此几何体的体积是（ B ）

（A ）

3523cm 3 （B ）3203

cm 3

（C ）2243

cm 3

（D ）1603cm

3 （理科12题）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是________3

cm . 【试题来源】该题源于教材必修2第29页习题1.3B 组第1题 （奖杯的三视图） 【点评】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题。图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积。 如2．（2012陕西卷（理科18））

（Ⅰ）如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，

b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），

c 是直线b 在

π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真．

（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要

证明）

【试题来源】该题源于教材选修2-1，空间向量的数量积运算例2

【点评】实际就是旧教材中的三垂线定理及其逆定理，新教材用向量证明，当然也可以用线面垂直证明。 如3．（2013四川卷（理科19））

如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面

ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=

，1,D D 分

别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点． （Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．

【试题来源】该题改编自教材必修2的59页例3（锯木料如何画线？）

【点评】本题考查基本作图、线面平行与垂直、二面角的计算等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力和用空间向量知识解决立体几何问题的能力。文科（Ⅰ）相同。

（二）立体几何在高考中的考查严格按《课标》要求命制，对知识点把握有度

1

C

1、《课标》删去了：立体几何中三垂线及逆定理、异面直线的距离、点到面的距离、平行平面的距离、球面距离的求解。只要求掌握空间中的位置关系和空间角度的计算。

如4：2013全国新课标卷(理科20题)

如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；

（Ⅱ）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.（060）

【点评】本题条件涉及线面、线线垂直关系，（Ⅰ）问涉及面面、线面、线线平行关系。

思路一：综合几何法：取MD 的中点F ，化归面//PQF 面BDC ； 思路二：取BD 中点O ，取CD 的三等分点H ，化归 //PQ OH ；

思路三：基向量法：设法证()0PB BC CQ AD ++?=

;

思路四：坐标法：建系，设法证0PQ AD ?=

.

本题（Ⅱ）问，不涉及空间距离的计算；角度若非特殊角，只需求出三角函数值。 若用综合几何法求解，用定义去找角的平面角，对作图能力有较高的要求，作图的依据 是几个公理和线面平行、垂直的判定和性质定理。

本题考查平行、垂直间的转化能力和利用空间向量解决相关问题的能力，属中档题。 2、《课标》中理科将立体几何作为空间向量的应用呈现。 如5：2013届成都市一诊(理科17题）

如图，矩形ABCD 中，2,1BC AB ==，PA ⊥平面ABCD ，1

//,2

BE PA BE PA =

，F 为PA 的中点．

（Ⅰ）求证：//DF 平面PEC ；

（Ⅱ）若PE =

，求平面PEC 与平面PAD 所成

锐二面角的余弦值．

【点评】以长方体挖切体为载体考查线线、线面平行的性质 及判定，考查向量方法求二面角。本题可以直接建系， 二面角直接指明是锐角，非特殊角只求二面角的余弦值。 用向量法（坐标法）解几何题要：建对系，定好点，算准 法向量，下对结论。此题属中档题。

3、立体几何题目呈现代数化趋势。计算题在立体几何中占到了较大比例，这是新高考与大纲高考的不同之处。2013年的立体几何27个小题中有24到都是涉及各类计算。每一份试卷编制都是一问考查位置关系的判定，一问考查角、体积等的计算。当然，计算是在位置判定的基础上进行，其侧重点各不相同。

如6：2013年安徽卷(理科19题）如图，圆锥顶点为P 。底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5

。AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60

。

（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD 。

【点评】此题以圆锥为背景，考查空间直线、平面平行

关系，线线角、线面角。运算过程中还需结合正切、余弦的二倍角等三角函数公式，综合性较强，运算量较大，属于中高档试题。

（三）立体几何的新增知识点在高考中的考查张弛有度，体现新课程理念

立体几何的新增内容是三视图，2013年的三视图在立体几何的理科27个小题、文科25个小题中占了半壁江山。一般是以选择题或者填空题的形式出现，分值一般在5分左右，主要考查柱、锥、台、球的组合体或挖切式的几何体的三视图，常常将表面积和体积公式相结合，要求学生能通过三视图识别出几何模型，并能计算其表面积和体积，也有个别省份嵌入解答题考查.

如7：2013届成都市一诊文科数学6题

已知一空间几何体的三视图如右图所示，则此空间几何体的直观图为（ A ）

正视图

侧视图

俯视图

（A ） （B ） （C ）

（D ）

如8：2013年四川卷理科3题

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ D ）

【点评】这两个题是考查三视图，意在考查学生的空间想象能力以及排除法的思维方式。考查空间几何体的三视图，大致两种方式：一是从组合体立体图得到三视图（如此两题），较容易；一是由三视图还原组合体立体图，相对较难。

如9：2012湖南卷3题

某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ D ）

【点评】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型。

如10：2012北京卷（理科7题）

某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ B ）

A. 28+65

B. 30+65

C. 56+ 125

D. 60+125

【点评】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，

图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，

黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积

P

F

E D C B

A

应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此该几何体表面积5630+=+++=左右后底S S S S S 。

此题首先要把几何模型还原，有一定的难度，三棱锥底面

为直角三角形，且有一个侧面与底面垂直，把空间几何体正确 识别后，计算其表面积也有难度，首先要能够证明ACD 是直 角三角形，才能计算出三棱锥所有棱的长度，而且ABC 为锐角 三角形。

（四）立体几何在高考中文科卷的考查有所变化

对文科学生《课标》删去了空间向量（成都市以前建议老师补充），所以在命制试题时与理科有较大差异，文科主要考查空间中平行关系、垂直关系的判断与证明，关于长度、表面积、体积的简单计算等，突出对立体图形的认识、空间想象能力的要求——识图、画图、想图。而课改之前，文理差别不大，所以这是新课改高考试题的一

个变化，尤其是上文科的老师要注意这一点。 如11：2014届成都市零诊(文科19题）

如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边

长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD

，且PA PD ==E 、F 分别为PC 、BD 的中点．

(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求三棱锥P BCD -的体积．

【点评】本题以四棱锥为载体考查线线、线面平行的判定和性质，考查线线、线面、面面垂直的判定和性质，考查三棱锥的体积计算。在目标设置和能要求上，充分反映课标变化。证线面平行时关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，当无现存直线时，一般寻求中点，构造中位线或平行四边形等方法得到。如本题连结AC 后，EF //PA 。

如12：2013年四川卷(文科19题）

如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，

120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积．（锥体体积公式：

1

3

V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）

【点评】本题以四棱柱为载体考查基本作图、线面平行与垂直、棱锥的体积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力。（Ⅰ）问先利用直线BC 作出线面平行的直线，再证明平行和垂直，（Ⅱ）问可利用等体积法转化求解体积（体积公式在题中都给出了）。本题中的空间关系的转化与证明结合了平行与垂直两类关系，实现转化时需要熟悉各个判定和性质定理。等体积变换中关键是找出或作出高（如题中过D 作AC DE ⊥于E ），再置换顶点或置换底面（如本题中6

3

1233131111111=

??=?=

=--QC A QC A D D QC A S DE V V ）达到易于求解体积的目的。

如13：2013年四川卷(文科2题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ D ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台

【点评】本题考查简单几何体的三视图，意在考查学生的空间想象能力。只需识图、想图，无须画出直观图或还原立体图，就可以得出答案。由俯视图可排除A,B ，由主视图可排除D 。 还原几何体基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”，所以教材提供的规范三视图摆放规则是：上面是正视图和侧视图，正视图下方是俯视图。

如14：2013年全国卷Ⅱ(文科9题，理科7题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ A ）

(A) (B) (C)

(D)

C 1

1

B

C

1

【点评】本题借助空间直角坐标系考查三视图，颇有“形缺数时难入微”的意韵。文科《课标》删去了空间向量，但教材保留了空间直角坐标系一节，考试要求是了解层次。此题还涉及了“投影”该念，考试要求也是了解层次（四川考试说明未涉及）。空间直角坐标系对文科生而言可以作为平面向量的延伸，平行投影本身就是画出视图的一种方法，用这两者呈现题目，算是自然的，不会影响考查三视图的主旨意图。

（五）立体几何在部分省市考查出新

立体几何几何体（三视图）的相关内容，相对淡化传统的证明与计算，学习的基本路径是“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”。考查的问题结构稳定，难度适中；立足基础，正视文理差异；突出几何直观，贴近教材模型；部分省市体现运动变化，动态生成问题，在知识交汇处出新。

如15：2013年江西卷(理科8题）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，AB CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为,m n，且//

+=（ A ）

那么m n

A.8

B.9

C.10

D.11

【点评】本题实质就是考查点、线、面的位置关系，涉及图形是两个最常见的几何体，但呈现题目不是以往的符号化的方式，而以直观图方式呈现，让学生直观感知，思辨确认。CE 在底面内且与上底面平行，所以不会与上下两个面相交，与其余面都相交，故m=4；因EF与CD垂直，所以EF不会与左右两个面相交，与其余面都相交，故n=4。对于立体几

⊥，这是化难何图形题，注意用好图形的对称性，如本题由正四面体的对称性可知EF BD

为易的关键！

如16：（2012年高考（浙江理10题）已知矩形ABCD，AB＝1，BC?ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

【点评】这是一个“小压轴“题目。最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，操作确认，即可知选项B是正确的.

如17：（2013年湖南卷（理7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，

则该正方体的正视图的面积不可能

．．．等于( C )

A ．1

B

C ．

2 D ．2

【点评】本题考查三视图及空间想象能力，同时还考查了函数与方程思想以及特殊化方法，综合性较强。可把正方体按某一侧棱逆时针旋转，当正方体正放时正视图面积最小为1，当

正方体逆时针旋转45

运动变化的思想。

如18：（2013年湖北卷（理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样

大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X =（ B ）

A.

126125 B. 65 C. 168125 D. 7

5

【点评】本题以生活中的“魔方”构题，入口是正方体，落脚点是期望，既考查了均值，又考查了空间想象能力，一举两得。本题中()E X =?

+?+?+?=27543686

01231251251251255

。 如19：（2013年山东卷（理18）

如图所示，在三棱锥P ABD -中，PB ⊥平面ABQ ，

BA BP BQ ==，

,,,D C E F

分别是

,,

,A Q

B Q A P B P 的中点，2AQ BD =,PD 与EQ

交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .

（Ⅰ）求证：//AB GH ；

（Ⅱ）求二面角D GH E --的余弦值。

【点评】立体几何中确定空间位置关系的的基本思想是“转化”，即：

线线平行?线面平行?面面平行 线线垂直?线面垂直?面面垂直

实质上也是“高维”转化为“低维”的“降维”思想的体现。本题（Ⅰ）问方法一：先证//EF CD ，进而得//EF 面PCD ，再由线面平行的性质定理得//EF GH ，又因//AB EF ，由公理4得//AB GH ；方法二：在三角形面PAQ 内点G 是重心，在三角形面PBQ 内点H 是重心，由重心性质可推得，平面EFQ 内:::QG GE QH HF ==21，进而得出//EF GH 。把平面几何知识重心融入立体几何当中，颇有新意。

如20：（2012年上海卷（理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中

互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，

其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .

【点评】作BE⊥AD 于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD, 由题设,B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上,且BE 、CE 都 垂直于焦距AD,所以BE=CE. 取BC 中点F,

连接EF,则EF⊥BC,BC=2,122

1-=?=?BE EF BC S BEC , 四面体ABCD 的体积123

231-=?=?BE S AD V c

BEC ,显然,当E 在AD 中点,

即 B 是短轴端点时,BE 有最大值为b=

2

2c

a -,所以

1223

2m a x --=c a V c

.

本题在知识的“交汇点”设置问题，着眼“知识立意”转变为“能力立意”已经成为高考热点。此题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天！

五、2014年立体几何命题趋势分析

综合分析近几年四川高考数学试题和课改地区高考数学试题，本着传承与创新的理念，高考题在立体几何专题呈现以下命题规律：

1、从题量和分值来看：一般占1—2个小题，一个解答题，属于中档题，总分值在20分左右。

2、从设问方式看：解答题一般两个问，第一问是线面位置关系证明，属于定性分析，第二问是关于角度（一般理科）、关于体积面积的计算（一般文科），属于定量研究。

3、从考查的角度看：选择题或填空题主要考察三视图、几何体的表面积与体积，考查基本空间图形或其组合体的认识与应用；解答题主要考察点、线、面的位置关系的判定及应用，空间三种角的计算，即主要考查线线平行、线面平行、面面平行（及垂直）的相互转化（文理科），空间角主要考查线面角与二面角，。而且一般是特殊角，如果不是特殊角，则只要求求出角的三角函数值。角度计算常借助空间向量（法向量和方向向量）的计算来完成（理科）。

总之，本专题主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是高考的热点，也是必考题目，在六道解答题中必有一题，相信在2014年的高考中也是这样.

六、立体几何复习建议

综合分析近几年四川高考数学试题和课改地区高考数学试题，复习立体几何专题时，要注意以下几个方面：

1、全面掌握空间几何体的概念和性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念、性质及三视图和面积、体积公式，这是进行计算和证明的基础。

2、理解简单组合体的特点，特别是正方体、长方体、棱柱等的外接球中棱长与球半径的关系。

3、全面掌握线线平行、线面平行、面面平行（及垂直）的判定定理和性质定理，它是我们进行推理与证明的基础。证明时，几何体本身提供条件可直接运用，定理公理性质运用时条件罗列齐全才能得出相应结论，不要跳跃。

4、要会画空间几何体的直观图，并能借助图形分析问题、解决问题，培养数形结合的意识。

5、对理科要加强空间向量计算（尤其是坐标运算）能力的培养，因为空间角的计算常由空间向量来计算完成。弄清直线方向向量与方向向量所成的角与异面直线所成角的关系，弄清平面法向量与直线方向向量所成的角与线面角的关系，弄清平面法向量与法向量所成的角与二面角的关系，最后一定要下对结论。

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）

高考专题突破四 高考中的立体几何问题

高考专题突破四高考中的立体几何问题 【考点自测】 1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为() A．相交B．平行 C．垂直相交D．不确定 答案 B 解析如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF， 则EF∥A1B1，DF∥B1B， 且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1， ∴平面EFD∥平面A1B1BA， ∴DE∥平面A1B1BA. 2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形： ①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面． 其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是() A．③④B．①③C．②③D．①② 答案 C 解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题． 3．(优质试题届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为()

A．2＋π 3 B.1 2＋π C．2＋π 6 D. 2 3＋π 答案 D 解析结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的 三棱锥组成的组合体，其体积为V＝1 3× 1 2×2×1×2＋ 1 2×π×1 2×2＝ 2 3＋π， 故选D. 4．(优质试题·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①BD⊥AC； ②△BAC是等边三角形； ③三棱锥D－ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是() A．①②④B．①②③ C．②③④D．①③④ 答案 B 解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2021高考数学立体几何专题

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．

5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

立体几何(小题)专题 历年高考真题模拟题汇总(解析版)

立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A

专题10 立体几何(重难点突破)学生版

专题10 立体几何 【重难点知识点网络】： 【重难点题型突破】： 一、证明直线、平面的平行与垂直 例1．（2020·海南高三一模）如图，三棱锥S ABC -的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC. （1）若P点是线段SA的中点，求证：SA⊥平面PBC； （2）点Q在线段出上且满足 1 3 AQ AS =，求BQ与平面SAC所成角的正弦值.

例2．（2020·全国高三其他模拟）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，ABC 和1A AC 都是正三角形，D 是AB 的中点． （1）求证：1//BC 平面1A DC ； （2）求二面角11A DC C --的余弦值．

二、体积问题 例3．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，90ABC ∠=?，且侧面11ABB A 为菱形. （1）证明：1A B ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=?，2AB =，直线1AC 与底面ABC 1C ABA -的体积.

例4．（2020·四川省眉山市高三二诊（文））如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与直线所成角的余弦值. 1111ABCD A B C D -1224AB BC AA ===E 11A D N BC M 11C D 11114 MC D C =F MC //EF 1A DC 1C FCN -1A D CF

全国高考理科数学：立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

高三立体几何专题复习

高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立

数学专题突破：立体几何

高三数学第二轮复习专题——立体几何专题复习 1、如图，已知面ABC ⊥面BCD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，设AD 与面AB C 所成角为α，AB 与面ACD 所成角为β，则α与β的大小关系为 （A ）α＜β （B ）α=β （C ）α＞β （D ）无法确定 2、下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．． 的一个图是 P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S （A ） （B ） （C ） （D ） 3、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ = 2 a ，则三棱锥P －BDQ 的体积为 （A ）3363a （B ）3183a （C ）324 3a （D ）无法确定 4、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体积为 （A ） 33312cm π （B ）33 3 16cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π 5、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如 果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为 （A ） 61cm （B ）157cm （C ）1021cm （D ）1037cm 6、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ① 若b a ⊥，α⊥a ，α?b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α?a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中准确命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那 么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，准确的是 （ ）

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

2010年高考立体几何专题复习-6

2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

高考专题突破四(高考中的立体几何问题)解析

(时间：70分钟) 1．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( ) A ．4 B.143 C.163 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3 . 2．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ?β，则α⊥β；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交； ④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β. 其中正确的是() A．①②B．②③ C．③④D．①④ 答案D 解析根据面面垂直的判定定理知①正确；②若m∥n，则得不出α∥β，错误；③n与α还可能平行，错误；易知④正确． 3.如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论： ①DF⊥BC； ②BD⊥FC； ③平面DBF⊥平面BFC； ④平面DCF⊥平面BFC. 在翻折过程中，可能成立的结论是________．(填写结论序号) 答案②③ 解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；设点D 在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故答案为②③.

2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行

答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )

专题07 立体几何初步(重难点突破)教师版

专题07 立体几何初步 【重难点知识点网络】： 一、空间几何体的有关概念 1．空间几何体 对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体. 2．多面体 （1）多面体：一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体. （2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等. （3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等. （4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等. 3．旋转体 （1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成. （2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.

二、几种最基本的空间几何体 1．棱柱的结构特征 ①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF?A′B′C′D′E′F′. ②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示 为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱. ①棱柱的底面：棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底. ③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

①底面互相 . ②侧面都是 . 2．棱锥的结构特征