广东省惠州市博罗县杨侨中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

广东省惠州市博罗县杨侨中学2020-2021学年八年级下学期

期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列二次根式是最简二次根式的是（）

A B C D

2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A．4，5，6 B．1，1C．6，8，11 D．5，12，23 3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）

A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2

4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A 的大小为（）

A．150°B．130°C．120°D．100°

5．下列计算正确的是（）

A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy

C0

=D．（﹣a3）2=﹣a6

6．（11·佛山）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

7．已知数a，b－a，则（）

A．a>b B．a < b C．a≥b D．a≤b

8．下列叙述，错误的是（）

A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是矩形

9．如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（）

A．2 B．3 C．4 D．

10．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E 点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形

，⑤CF=BD．正确的有（）个．

GHCE

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11有意义，则x的取值范围是________．

12．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍________放入（填“能”或“不能”）．

13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的中点，若CD=5cm，则

AB=_____________cm.

14．长方形的面积是24，其中一边长是，则另一边长是_______ ．

15．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形是_______形。它的面积为_______ ．

16．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在轴，轴上，BC是菱形BDCE的对角线，

若∠D=60°，BC=2，则点D 的坐标是____________．

三、解答题

17．计算：(222-+-+

18．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形.

（1）作图，作∠A 的平分线AE ，交CD 于点E ，(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);

（2）在（1）的条件下，判断AD 与DE 的大小关系，并说明理由.

19．如图所示，沿AE 折叠矩形，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，

BC=10cm ，求EC 的长．

20．如图，每个小正方形的边长为1.

(1)求四边形ABCD 的周长；

(2)求证：∠BCD ＝90°.

21．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，点E 为AC 的中点，过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ，连接AF ．

(1)求证：CD=AF；

(2)若∠AED=2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．

22．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．

23．先化简，再求值：

222

222

2

a b a b

a a

b b b a a ab

??

-

+÷

?

-+--

??

，其中,a b满足

b=.

24．阅读下列材料,然后回答问题:

在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如

这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:

==

1

===.

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

还可以用以下方法化简:

22

1

====-.

(1)

(2)化简: ...

+++

25．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN 的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．

(1)如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．

(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°

时，(1)中的结论变为

1

2

DE DF AD

+=，请给出证明．

(3)在(2)的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据最简二次根式的定义即可求就出答案．

【详解】

（A ）原式＝A 错误；

（B ）原式＝2，故错误；

（C ）原式＝，故错误；

（D ）为最简二次根式，

故选：D ．

【点睛】

本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2．B

【分析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．

【详解】

解：A 、222456+≠，故不是直角三角形，错误；

B 、22211,+= ，故是直角三角形，正确；

C 、2226811,+≠ 故不是直角三角形，错误；

D 、22251223,+≠故不是直角三角形，错误．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．C

【解析】

（cm），∴S阴影=5×1=5（cm2），故选C．

4．C

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．

考点：平行四边形的性质．

5．C

【分析】

根据平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式的运算法则即可求出答案．

【详解】

（A）原式＝a2﹣2ab+b2，故A错误；

（B）x与2y不是同类项，不能合并，原式＝x＋2y，故B错误；

（C）原式＝0

=，故C正确；

（D）原式＝a6，故D错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

6．A

【解析】

分析：先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用

EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．

解答：解：如右图所示

，四边形ABCD是菱形，顺次连接个边中点E、F、G、H，连接AC、BD，∵E、H是AB、AD中点，

∴EH∥BD，

同理有FG∥BD，

∴EH∥FG，

同理EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB=90°，

又∵EF∥AC，

∴∠BME=90，

∵EH∥BD，

∴∠HEF=∠BME=90°，

∴四边形EFGH是矩形．

故选A．

7．D

【分析】

根据二次根式的非负性质即可得出答案.

【详解】

－，所以a≤b，

=≥

b a

故选D．

【点睛】

考点：二次根式的性质．

8．D

【分析】

根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．

【详解】

解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；

B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；

D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；

选：D．

【点睛】

此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．

9．A

【解析】

【分析】

先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长即可．

【详解】

解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴BC＝1

2

AB＝4，

又∵DE是中位线，

∴DE＝1

2

BC＝2．

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三

角形的中位线定理．

10．C

【分析】

根据BC=2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．

【详解】

解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，

∴BC=2EH，又BC=2AB，

∴EH=AB，①正确；

②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，

又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，

∴∠ABG=∠HEC，②正确；

③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，

同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，

∴△ABG≌△HEC，③错误；

④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△HGB，

∴AG

GH

=2，

即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，

根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，即S△GAD≠S四边形GHCE，

∴④错误

⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，

又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，

∴∠F=∠HAC，

∴CF=BD，⑤正确．

正确的有3个．

故选C．

【点睛】

考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．

11．x≥3

【分析】

根据二次根式被开方数为非负数进行求解．

【详解】

x-≥，

由题意知，30

解得，x≥3，

故答案为：x≥3．

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．

12．能

【解析】

根据勾股定理可计算出长方体最大容纳长度70

>,故答案为:能.

13．10

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【详解】

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴线段CD是斜边AB上的中线；

又∵CD=5cm，

∴AB=2CD=10cm．

故答案是：10．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

14．

【分析】

长方形的面积＝长×宽，已知长方形的面积和一边的长，求另一边的长，用面积除以一边的长就能求出另一边的长．

【详解】

∵长方形的面积＝24，一边的长是

∴另一边的长＝24÷

故填：【点睛】

本题考查了长方形面积公式的运用，更重要的是二次根式除法的计算，体现了乘法与除法的互相转化关系．

15．菱

【分析】

根据勾股定理的逆定理可得对角线互相垂直，然后根据菱形性质可求出面积．

【详解】

∵平行四边形两条对角线互相平分，

∴它们的一半分别为2

∵222＝32，

∴两条对角线互相垂直，

∴这个四边形是菱形，

∴S ＝142

??

故答案为：菱；

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．

16．（2，1）．

【解析】

试题分析：过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD=CD．

∵BC=2，∠D=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=CD=2，∴CG=1，GD=CD?sin60°=2×

∴D（2，1）．故答案为（2，1）．

2

考点：正方形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．

17．1

【分析】

根据平方差公式与二次根式的运算法则即可求解.

【详解】

(2

22-+

=4-3-3+3

=1

【点睛】

此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知乘方公式与二次根式的运算法则. 18．（1）见解析；（2）AD=DE，理由见解析.

【分析】

（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作AE平分∠BAD；

（2）先利用平行四边形的性质得AB∥CD，则∠AED＝∠BAE，再利用角平分线定义得到∠DAE＝∠BAE，所以∠DAE＝∠DEA，于是可判定AD=DE．

【详解】

（1）解：如图，AE为所求；

（2）△ADE为等腰三角形，理由是：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠AED＝∠BAE，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD=DE．

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．

19．3

【分析】

先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF ＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC?BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8?x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8?x）2，再解方程即可得到CE的长．

【详解】

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，

∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

∴AF＝AD＝10，EF＝DE，

在Rt△ABF中，∵BF＝6，

∴CF＝BC?BF＝10?6＝4，

设CE＝x，则DE＝EF＝8?x

在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，

∴x2＋42＝（8?x）2，解得x＝3，

即CE＝3．

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．

20．（1）8√2＋2√34；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：(1)借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长；(2)在ΔABC中，根据勾股定理的逆定理进行判定．

试题解析：

(1)根据勾股定理可知AB＝3√2，BC＝√34，CD＝√34，AD＝5√2，∴四边形ABCD 的周长为8√2＋2√34.

(2)证明：连接BD，∵BC＝√34，CD＝√34，DB＝√68，

∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°

【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用，属于中档题，看清题目，仔细分析题意，搞清楚所要求的问题，结合所给条件才开始动手做题可以事半功倍，切勿没分析清楚就冒然下手，造成错误且浪费时间.做完后要养成及时检查正误的习惯，才能提高正确率

21．（1）见解析；（2）见解析.

【分析】

（1）首先证明△AED≌△CFE，即可证得四边形ADCF的对角线互相平分，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得；

（2）利用三角形的外角的性质即可证得∠EDC＝∠ECD，则根据等角对等边即可证得DE ＝EC，从而证明平行四边形ADCF的对角线相等，即可证得．

【详解】

（1）∵CF∥AB，

∴∠EFC＝∠ADE，

则在△AED和△CFE中，

EFC ADE AED CEF AE CE ∠∠??∠∠???

＝＝＝，

∴△AED ≌△CFE ，

∴DE ＝FE ，

又∵AE ＝CE ，

∴四边形ADCF 是平行四边形，

∴CD ＝AF ；

（2）∵∠AED ＝2∠ECD ，∠AED ＝∠ECD ＋∠EDC ，

∴∠EDC ＝∠ECD ，

∴DE ＝EC ，

又∵DE ＝FE ，AE ＝CE ，

∴AC ＝DF ，

∴平行四边形ADCF 是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定方法与矩形的判定方法，以及等腰三角形的判定方法，正确理解判定方法是关键．

22．

【解析】

【分析】

（1）欲证明四边形ADCE 是菱形，需先证明四边形ADCE 为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；

（2）根据勾股定理得到AC 的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE 的长度，然后由菱形的面积公式：S=

12

AC?DE 进行解答． 【详解】

（1）证明：∵DE ∥BC ，EC ∥AB ，

∴四边形DBCE 是平行四边形．

∴EC ∥DB ，且EC=DB ．

在Rt △ABC 中，CD 为AB 边上的中线，

∴AD=DB=CD ．

∴EC=AD ．

∴四边形ADCE 是平行四边形．

∴ED ∥BC ．

∴∠AOD=∠ACB ．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．

∴平行四边形ADCE 是菱形；

（2）解：Rt △ABC 中，CD 为AB 边上的中线，∠B=60°，BC=6，

∴AD=DB=CD=6．

∴AB=12，由勾股定理得AC=

∵四边形DBCE 是平行四边形，

∴DE=BC=6．

∴=2ADCE AC ED S ?菱形． 考点： 菱形的判定与性质；勾股定理

23．-3

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．

【详解】

原式=22

()()()[]()a b a b a a a b a b a b b +---?-- =

2()b a a b a b b

-?- =a b ，

0b =，

∴10{0

a b +==， 解得：a=-1，

则原式

24．（1

2

）1

【分析】

（1）根据材料的方法即可求解，

（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案.

【详解】 （1

2

2

2

==

；

②原式

==；

（2

...++

+

=

2

1

222

...

1...

1

=1

【点睛】

本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．

25．（1）见解析（2）见解析（3）DF?DE ＝

12

AD ． 【分析】 （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE ≌△DPF ，可得出AE ＝DF ，即可得出结论DE ＋DF ＝AD ，

（2）取AD 的中点M ，连接PM ，利用菱形的性质，可得出△MDP 是等边三角形，易证△MPE ≌△FPD ，得出ME ＝DF ，由DE ＋ME ＝12AD ，即可得出DE ＋DF ＝12

AD ， （3）①当点E 落在AD 上时，DE ＋DF ＝12

AD ，②当点E 落在AD 的延长线上时，DF?DE ＝12

AD ． 【详解】

（1）正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，

∴PA ＝PD ，∠PAE ＝∠PDF ＝45°，

∵∠APE ＋∠EPD ＝∠DPF ＋∠EPD ＝90°，

∴∠APE ＝∠DPF ，

在△APE 和△DPF 中

APE DPE PA PD

PAE PDE ∠∠????∠∠?

＝＝＝， ∴△APE ≌△DPF （ASA ），

∴AE ＝DF ，

∴DE ＋DF ＝AD ；

（2）如图②，取AD 的中点M ，连接PM ，

∵四边形ABCD 为∠ADC ＝120°的菱形，