第三十九讲：函数的极值最值与导数
第三十九讲 函数的极值、最值与导数
一、引言
1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点．
2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题．
3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法．
二、考点梳理
1．函数的极值：
一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值．
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．
（2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ．
2．函数极值的判断方法：
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，
)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．
注意：函数在某点处的导数值等于零，该点不一定是函数的极值点，必须检验函数在该点两侧的符号是否相异，即可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件．
3．函数的最大值与最小值：
在闭区间[],a b 上连续的函数()f x ，在[],a b 是必有最大值与最小值，但在开区间(),a b 上连续的函数不一定有最值．
4．极值与最值的区别与联系：
①“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
②从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；
④极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
三、典型例题选讲
例1 求()31443
f x x x =-+的极值，并画出()f x 的草图． 分析：首先求()f x '，再求方程()0f x '=的根，然后检验()f x '在根两边的符号． 解：因为()31443
f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+． 令()'0f x =解得2x =或2x =-．
当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
)因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(2)3
f -=；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3
f =-． 函数()31443f x x x =-+的图像如图１所示：
归纳小结：(1)本题考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力；
（2）通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略.
（3）求可导函数()f x 的极值的步骤：
①确定函数的定义区间，求导数()f x '；
②求方程()0f x '=的根；
③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么()f x 在这个根处无极值．
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．
例2（2009安徽）设b a <，函数)()(2
b x a x y --=的图像可能是（ ）
解：()(32)y x a x a b '=---，由0y '=得2,3a b x a x +==
， ∴当x a =时，y 取极大值0，当23
a b x +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ． 另解：当x b <时0y <，当x b >时，0y >．选C ．
归纳小结：（1）本题考查了函数图象与导数极值的基本知识，考查了数形结合思想和分
析推理能力．
（2）函数的极值是()'0f x =的充分条件，可以利用填表的方式或穿轴法判断是极大值还是极小值．
（3）在图形问题中特殊值法是一种常用的方法，要不断练习把握．
例3（2008广东）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．13a >-
D ．13
a <-
解:令'3ax y ae =+，则30ax ae +=有大于零的根，所以3ax ae =-. ∴0a <，则13ln x a a ??=- ???
. ∵0x >，∴3ln 0a ??-< ???，即31a -<，解得3a <-. 故选B ．
归纳小结：（1）本题考查函数的极值与方程的根的关系，考查了转化思想和分析、计算能力．
（2）函数的极值点是方程()'0f x =的根，但要注意方程()'0f x =的根不一定是函数的极值点，如果要判断是否为函数的极值点还需要验证该点两侧导数的符号是否异号．
例4 已知函数()32
39f x x x x a =-+++， (1)求()f x 的单调递减区间；
(2)若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
分析：第(1)问属于程序化问题，第(2)问是函数在闭区间的最值问题，只需要求出函数的极值和端点值并进行比较即可
解：(1)()2
'369f x x x =-++．令()'0f x <，解得1x <-或3x >． 所以函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，()3,+∞.
(2)因为()22f a -=+，()222f a =+，()15f a -=-+.
所以()2f 和()1f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值，于是有2220a +=，解得2a =-．
故()32
392f x x x x =-++-，因此()113927f -=+--=-. 即函数()f x 在区间[]2,2-上的最小值为7-．
归纳小结：(1)本题考查了利用导数在解决最值问题中的应用问题，考查分析问题、解决问题的能力；
(2)求函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值和最小值的步骤：
①求函数()f x 在开区间(),a b 内的极值；
②求函数()f x 在区间端点的函数值()f a 和()f b ；
③将函数()f x 将各极值与()f a 、()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
对于函数()f x 在开区间(),a b 上的最大值和最小值的步骤：
①求函数()f x 在开区间(),a b 内的极值；
②将函数()f x 将各极值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 定义在开区间(),a b 上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点． 例5（2007全国Ⅰ）设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求,a b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
分析：函数()f x 是实数域上的可导函数，因此可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点1x =，2x =所确定的相等关系式，运用待定系数法求值．
解：（1）2()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=??++=?
，．解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32
()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)
x ∈，时，()0f x '>； 当(1
2)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．
因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立， 所以298c c +<，解得1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，． 归纳小结：（1）本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化．考查了转化思想及灵活解题的能力；
（2）已知函数在点0x 处有极值和函数值()00y f x =，求参数值的问题，是一类常见的关于函数极值的应用问题．解这类问题采用待定系数法，解关于参数的方程组()()000
'0f x f x y =???=??即可； （3）在讨论函数的单调性时，一定要先明确定义域，在定义域范围内研究单调区间． 例 6 已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点()1,0，()2,0，如图所示，求：
（1）0x 的值；（2）a ，b ，c 的值．
分析：因为函数()f x 点0x 处取得极大值，因此观察()f x '在1，2左右两侧的符号就可以判断出极大值点．在根据极值点处导数为0和0()5f x =，利用待定系数法求参数a ，b ，c ．
解法一：（1）由图象可知，在(),1-∞上()0f x '>，在()1,2上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，故()f x 在(,1)-∞，(2,)+∞上递增，在()1,2上递减．因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x =．
(2)2
()32f x ax bx c '=++，由(1)0,(2)0,(1)5,f f f ''===
得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=??++=?
解得2,9,12.a b c ==-=
解法二：(1)同解法一.
(2)设2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m '=--=-+
又2()32f x ax bx c '=++，所以3,,232
m a b m c m ==-=， ∴323()232
m f x x mx mx =
-+． 由(1)5f =，得32532m m m -+=，解出6m =， 所以2,9,12a b c ==-=.
归纳与小结：（１）本题考查了函数()f x 和()'f x 图象之间的联系，同时考查了数形结合思想和识图、用图的能力以及根据导数知识灵活解题的能力；
（２）根据函数()f x 的图象中的单调性和极值可以判断出()'f x 在不同区间的符号和极值点；根据函数()'f x 的图象在不同区间的符号及与x 轴的交点，可以判断出()f x 的单调性和极值点．并能画出草图．
例7（2009年湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x
米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x +万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．
（1）试写出y 关于x 的函数关系式；
（2）当640m =米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
分析：本题是工程费用最优问题，首先应建立y 关于x 的函数关系式，再根据解析形式利用导数方法寻找最优解．
解：（1）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m n x
+=-，即=
. 所以(
)25612(2m m y f x n n x x x x
=+=+(+)(=256(-1)+
2562256x m x =+-. （2）由（1）知，2332222561'()(512).22m m f x mx x x x =-
+=- 令'()0f x =，得3
2512x =，所以64x =.
当064x <<时()'0f x <，()f x 在区间()0,64内为减函数；
当64640x <<时，()'0f x >，()f x 在区间()64,640内为增函数.
所以()f x 在64x =处取得最小值，此时，64011964m n x =
-=-=． 故需新建9个桥墩才能使y 最小．
归纳小结：（1）本题考查函数建模，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力和转化解题能力．
（2）利用导数解决实际问题的最优问题的一般步骤：
①如果涉及到解析几何问题，要根据实际意义和问题条件，合理建立坐标系；
②分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；
③如果()y f x =的形式是高次函数或对数、指数函数或商式形式，则求函数的导数()'f x ，并解方程()'0f x =；
④因为只有唯一极值，通过说明该点处两侧的单调性，得到最大者或最小值．
(3)在解决实际最优化问题中,要确定函数关系中自变量的定义区间，同时还要注意将不符合实际意义的值舍去．
例8（2008四川）已知3x =是函数()()2
ln 110f x a x x x =++-的一个极值点． （1）求a ；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．
分析：第（1）问实际是解以a 为未知数的方程()'30f =的根．第（2）问在已知a 值的基础上解不等式()'0f x >和()'0f x <．第（3）问中图象有３个交点，实际上是平行于x 轴的动直线y b =在曲线()y f x =的两个极值点之间移动，因此此小题是求函数的极值问题．
解：（1）因为()'2101a f x x x =
+-+， 所以()'361004
a f =+-=. 因此16a =. （2）由（1）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞.
∴()()
2'2431x x f x x -+=+.
当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >；当()1,3x ∈时，()'0f x <.
所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3.
（3）由（2）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =.
所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.
所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =与()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<时成立.
因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--．
归纳小结:（1）本题考查了函数的极值与单调性运用等知识，考查了数形结合思想和计算推理能力．
（2）一般来说，直线y a =和曲线()y f x =的交点问题可以转化到图象上理解，即直线y a =在曲线的极值点之间移动，但要注意函数值在极值点左右的极限值，否则容易出现错误．
例9 已知函数3211()32f x x ax bx =
++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （1）求24a b -的最大值；
（2）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
解：（1）因为函数3211()32f x x ax bx =
++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)
-，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为12x x ，()12x x <，则21x x -=，且2104x x <-≤．于是
04<，20416a b <-≤，且当11x =-，
23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故2
4a b -的最大值是16．
（2）由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32
y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处穿过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-
-在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121(1)3232
x ax bx a b x a =++-++++， 且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3
f x x x x =--． 归纳小结:（1）本题考查了函数的极值与切线方程，方程的根，图象与极值点的关系等知识，考查了数形结合思想和运算推理能力．
（2）本题解题的关键是：①函数在区间(),a b 上有极值点等价与方程()'0f x =在(),a b 内有根；②函数()f x 在某点处两侧的符号相反，则该点一定不是极值点．
四、本专题总结
1．导数作为研究函数的一种重要工具，在学习时应引起充分重视，这部分知识点不多，但涉及的题型比较多．
（1）理解函数极值与最值的概念，函数极值刻画的是函数的局部性质，而函数的最值刻画的是函数的整体性质；
（2）注意比较极值与最值的概念以及它们之间的联系，可导函数在极值点两侧导函数的符号相反，极大值不一定是最大值，极大值可能小于极小值，连续可导函数闭区间上的最值就是端点值与极值中的最大值、最小值；
（3）可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件；
（4）要熟练掌握求解函数极值与最值的方法．
2．在复习函数的极值与最值时，要以导数为工具，联系函数的性质，如单调性等．这部分内容在高考中的问题设置多数以综合问题形式出现，因此在解决问题中，要逐步体会数形结合思想、转化与整合思想、函数与方程（不等式）思想、分类讨论思想等，不断提高分析推理、灵活计算、等价变形等数学能力．
函数的极值与导数教案完美版
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
高中数学：导数与函数的极值、最值练习
高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，
函数的极值与导数教学设计一等奖
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
函数的极值与导数优秀教学设计
函数的极值与导数教学设计 【内容分析】 本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用. 【学情分析】 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫. 【教学目标】 （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示. 【数学思想】数形结合、合情推理. 【知识百科】 1.函数的最值 函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值. 2.函数的极值 函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极
高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数
§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
第三十九讲：函数的极值最值与导数
第三十九讲 函数的极值、最值与导数 一、引言 1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点． 2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题． 3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法． 二、考点梳理 1．函数的极值： 一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点： （1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ． 2．函数极值的判断方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，
(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x )
用导数求函数的极值..
用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+= x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-
令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系 x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5) 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当? ??-==114b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ （提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t 函数极值与导数（基础） 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、函数3()13f x x x =+-有（ ） A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 4、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间13,2?? -- ?? ?内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32?? - ??? 内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当4x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12 x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 5、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于_______ 6、函数x x x f ln 1 )(+= 的极小值等于_______. 7、求下列函数的极值： (1)．x x x f 12)(3-=；(2)．2()x f x x e =；(3)．.21 2)(2-+= x x x f 8、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． (1)．试求常数a 、b 、c 的值； (2)．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 9、已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是． 3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t 1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16 [答案] A [解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0?x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值也有极小值 [答案] D [解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)， 当x >0或x <－23时，y ′<0， 当－23 B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32 C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3 D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3 [答案] C [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得， ????? f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即????? 3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3. 4．函数y ＝2x x 2＋1 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] 1，－1 [解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2 ，令y ′>0得－1 人教版高中数学精品资料 高中数学 1.3.2函数的极值与导数练习 新人 教A 版选修2-2 一、选择题 1．(2015·吉林实验中学高二期中)已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 [答案] B [解析] 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3 在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2 ，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立． 故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2．函数y ＝14x 4－13x 3 的极值点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] y ′＝x 3 －x 2 ＝x 2 (x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表 3．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3 的极大值点坐标为(b ，c )，则 ad 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 [答案] A [解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3 的极大值点， ∴c ＝3b －b 3 ，且0＝3－3b 2， ∴? ?? ?? b ＝1， c ＝2，或? ?? ?? b ＝－1， c ＝－2.∴a d ＝2. 4．已知f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－16 D ．a <－1或a >2 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根， ∴Δ＝4a 2 －12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 5．已知函数f (x )＝x 3 －px 2 －qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B ．0，4 27 C ．－4 27，0 D ．0，－4 27 [答案] A [解析] f ′(x )＝3x 2 －2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得， ? ?? ?? 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得? ?? ?? p ＝2， q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2 ＋x . 由f ′(x )＝3x 2 －4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1， 易得当x ＝13时f (x )取极大值4 27. 当x ＝1时f (x )取极小值0. 6．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 （十五）导数与函数的极值、最值 [小题常考题点——准解快解] 1．(2018·太原一模)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是() A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3函数的极值与导数-复习课导学案(可编辑修改word版)
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