粗糙波面光学传递函数像质评价准则和粗糙度公式理论_向阳[1]

*应用光学国家重点实验室基金资助课题。

收稿日期:1996年4月11日;收到修改稿日期:1996年7月21日

第17卷　第1期光　学　学　报V o l .17,N o .1　1997年1月

A CTA O PT I CA S I N ICA

January,1997

粗糙波面光学传递函数像质评价准则

和粗糙度公式理论

*

向　阳

(中国科学院长春光学精密机械研究所,应用光学国家重点实验室,长春130022)

摘　要　建立了包含波面像差和粗糙度影响的粗糙波面光学传递函数(O T F )及其像质评价准则,讨论了粗糙度公差的理论和标准。

关键词　光学传递函数(O T F ),　表面粗糙度,　像质评价。

1　引 言

关于粗糙度对传递函数的影响,B araka t [1]和顾德门[2]近期先后做了定性的初步讨论,还有待建立起可用于定量分析的解析表示式。特别是,一直沿用至今的H opk i n s 调制传递函数(M T F )像质评价准则[3]

,也没有包含粗糙度的影响。另外,当前光学元件表面粗糙度公差0.012/

5,是基于以往的有限经验,不一定普遍适用。因此,有必要探讨粗糙度公差的理论,使之粗糙度公差标准更好地“既保证像质,又降低成本”。鉴于上述,本文将基于光学元件表面微观轮廓特性,采用理论与实验相结合,建立粗糙波面光学传递函数的解析表示式;在此基础上,建立粗糙波面光学传递函数评价准则,奠定粗糙度公差理论基础。

2　粗糙波面光学传递函数

已知,光强的相对非相干光学传递函数为[3]:

OTF (s ,h )=exp {jP TF (s ,h )} M TF (s ,h )

(1)

其中:P TF (s ,h )=k sW (s ,h )

(2)M TF (s ,h )=

A

ex p {j ks [W (Y ,Z :s )-W (s ,h )}d A (3)W (Y ,Z ;s )=1

s [W (Y +s 2,Z )-W (Y -s

2,Z

)](4)W (s ,h )=

A

W (Y ,Z ;s )d A (5)

式中P TF (s ,h )和M TF (s ,h )分别称为位相传递函数和调制传递函数;k =2c /λ,λ为波长;

s为规化空间频率;A为两光瞳在Y方向相互位移s距离后的重叠区域面积;(Y,Z)为光瞳规

化空间坐标;h为光瞳方位角;字符上方的横线表示取平均值;W(Y+s

2

,Z)和W(Y-

s

2

,Z)

分别为波像差函数W(Y,Z)坐标平移+s/2或-s/2后的表示式。光学元件表面为轻度粗糙的,对光的散射为相干型,光束的散射角很小,散射波面为单值光滑的,与像差波面“相类似”,只是前者的空间频率远高于后者的,因而由粗糙度误差所产生的粗糙波面与波像差可以直接相加[1]。因此,当W(Y,Z)同时包含有粗糙波面差W粗(Y,Z)和波像差W像差(Y,Z)的影响时,(2)和(3)式可分别写为:

P TF(s,h)=k s{W粗(s,h)+W像差(s,h)}(6)

M TF(s,h)=

A

ex p{j ks[W粗(Y,Z;s)-W粗(s,h)]}

exp{jk s[W像差(Y,Z;s)-W像差(s,h)]}d A(7)

其中:W像差(Y,Z;s)=1

s

[W像差(Y+s/2,Z)-W像差(Y-s/2,Z)];

W粗(Y,Z;s)=1

s

[W粗(Y+s/2,Z)-W粗(Y-s/2,Z)](8)

W像差(s,h)=

A W像差(Y,Z;s)d A, W粗(s,h)=

A

W粗(Y,Z;s)d A(9)

光学元件表面粗糙度分布是稳态高斯随机的[4],由此,粗糙波面差和传递函数具有以下三种基本属性:

(Ⅰ)W粗(Y,Z)可以是零均值的[5,6]

W粗(s,h)=0(10) (Ⅱ)根据(8)式和文献[7],得:

[W粗(Y,Z;s)]2=(1

s

)2[W粗(Y+

s

2

,Z)-W粗(Y-

s

2

,Z)]2

=2(1

s

)2{ΓW

粗

(0)-ΓW

粗

(s)}(11)

式中ΓW

粗(0)、ΓW

粗

(s)为W粗[Y,Z;s]的自相关函数,可以分别表示为[8,9]

ΓW

粗

(0)=e2, ΓW

粗

(s)=e2ex p[-(s/l c)2](12)

式中e、l c分别为W粗(Y,Z)的均方差和相关长度。将(12)式代入(11)式得

[W粗(Y,Z;s)]2=2(e

s)

2{1-ex p[-(s/l c)2}(13)

(Ⅲ)PT F(s,h)和M T F(s,h)应取统计平均值,将(10)式代入(6)、(7)式,得到PTF(s, h)和M T F(s,h)的统计平均值分别为

E[P TF(s,h)]=k s{W像(s,h)}(14)

E[M TF(s,h)]=E[ex p{j k s W粗(Y,Z;s)}]

A

exp{jk s[W像差(Y,Z;s)-W像差(s,h)]}d A(15)把(15)式E[]括内的指数函数按泰勒级数展开,当W粗(Y,Z;)<1,略去三次以上诸项,并顾及到(10)式和(13)式,得到:

46光 学 学 报17卷　

E [M T

F (s ,h )]=

　{1-(k e )2

[1-ex p (-s 2

l 2c

)]}

A

ex p {j k s [W 像差

(Y ,Z ;s )-W 像差(s ,h )]}d A (16)

由(1)～(4)式知,规化空间频率为两积分圆的规化中心距,其实际尺寸为:

s =(1/2)(λ/n sin T )fD =(λ/n )F f

(17)

式中f 为实际空间频率,D 为光瞳实际口径,T =D /2F ,F 为焦距,n 为像方折射率。由(3)

式、(7)式知:当W 粗(Y ,Z )=0;|k s [W 像差(Y ,Z ;s )-W 像差(s ,h )]|≤1,得到H opk ins 的调制传递函数表示式[3]:

M T F 像差=[1-2c 2s

2

λ

2

k 像差(s ,h )]={H C }

(18)

式中k 像差(s ,h )为W 像差(Y ,Z ;s )的最小均方差。将(17)式、(18)式代入(16)式,得到

E [M T

F (s ,h )]=

(1-

(k e )2

{1-exp [-(

λl c

)2(F f )2

]}){H C }

(19)

在一般光学成像的实际情况,l c ∽1λ-5λ;F >10mm;f >10c /mm,故有:

exp [-(λ/l c )2

(F f )2

]→0

(20)

将(20)式代入(19)式,得

E [M T

F (s ,h )]∽

=

　exp [-(k e )2

]{H C }

(21)

(19)式、(21)式称为粗糙波面调制传递函数。(14)式,(15)式表明:粗糙度对位相传递函数无影响;

而对于调制传递函数,粗糙度和波像差都有影响。(19)、(21)式表明:

1)H opk i n s 调制传递函数是粗糙波面调制传递函数当e →0时的一种特殊形式;

2)广义而言,粗糙度对粗糙波面调制传递函数的影响,与f 、l c 、F 和λ有关。当f =0时,不论e 大小如何,总有E [M TF (s ,h )]=1,这种情况类同波面差对调制传递函数的影响;3)在成像实际条件下,粗糙度对调制传递函数的影响,与f 、l c 、f 、λ无关。

3　实验验证

当系统粗糙度由e 变为e +Δe 时,考虑到粗糙度的非相关性,则由(21)式,系统粗糙度　F ig .1Ex pe ri m ent se tup fo r the e ffec ts o f su rface roughne ss o n the op tica l tr an sfe r func ti o n ,A:co lli m a te r o b-jectiv e ;c :pho tog r aph ob j ec ti v e ,P:roug h su r face p late (tras m itted

w av e de fo rm a tion 〈λ/10〉,O :o bjec t g ener ater ,I :I m age ana ly ze r

增加Δe 后的调制传递函数及其下降量N

-分别为:E [M TF (s ,h )]∽

Δe

=ex p [-(k Δe )2

]E [M TF (s ,h )]

∽

(22)

N -≈(k Δe )2E [M TF (s ,h )]∽

(23)

(22)式、(23)式表明:N

-随Δe 或E [M TF (s ,h )]∽

的减少而减少;E [M TF (s ,h )]∽

Δe 的形式与E [M TF (s ,h )]∽

、粗糙波面中心点亮度比

[10]

等的形式相类同;前者的下降比例常数M Δe =ex p [-(k Δe )2]与后二者的衰减系数exp [-(k e )2][10],其形式也类同。因而当Δe =

e 时,Δe 对

47

1期向　阳: 粗糙波面光学传递函数像质评价准则和粗糙度公式理论

E [M T

F (s ,h )]∽

Δe 的影响,与e 对E [M TF (s ,h )]∽

、或中心点亮度比的影响,具有相类似的性质和结论

[10]

:若系统Δe =e <10nm 、或Δe /λ=e /λ<1/55(λ=550nm ),则不明显影响

原系统E [M TF (s ,h )]∽

Δe 或E [M TF (s ,h )]∽

;只有Δe =e >20nm 或Δe /λ=e /λ>1/30,系统调制传递函数才明显出现下降现像。根据系统中光学元件表面粗糙度影响的可加性与其所处位置无关性等特点[1],

,本文在英制ERO S Ⅳ型传递函数测定仪上,测定了粗糙度对照相

物镜远距近轴传递函数的影响,如图1所示。

图1中,P 为可置换的、粗糙度分别为e 1=10nm 、e 2=37nm 、e 3=44nm 、透射波面差<λ/10(λ=550nm )的平晶。首先不放进P ,然后依次把三种不同粗糙度的平晶放在照相物镜的前方,测定各次的传递函数。测值列于表1、表2和图2中。实测结果与理论结果相符:

T ab le 1.M TF tested a s e o f sy ste m i n creases from 0to 44nm

Δe (nm )M T F

f (c /m m )010

20

30

405060

70

80

90100

f (c /mm )010

20

30

405060

70

80

90100

0103744

tang-en tial 10.910.800.660.540.440.360.300.270.240.2210.920.800.670.540.440.360.300.270.240.2210.750.660.540.430.340.270.230.200.180.161

0.700.610.510.420.340.280.230.190.160.13

rad ial

1

0.910.780.650.500.390.320.280.250.220.1910.910.790.640.500.390.320.280.250.220.1910.750.620.490.370.270.210.180.160.140.121

0.680.580.480.380.300.240.200.170.150.10

T ab le 2

.PT F tested as e o f sy ste m increases from 0to 44nm Δe

(nm )PT F f (c /

m m )010

20

30

405060

70

80

90100

f (c /m m )010

20

30

405060

708090100

10

3744tang -ent i a l 0-3.6-7.2-8.3-8.6-7.0-5-1.8-.18-3

-3.6-7.9-10.8-10.8-9.4-8.6-3.6-3.6-3.6

0-2.2-3.6*-3.6*-3*0*3.6*9.4*10.8

*14*0-5.8*-7.2-9.7-9.7-10-10-10-9.4-9.4

radia l

0-3.6-5.4-5.4-5.4-3.00

7.29.4

11

-3.6-7.2-10.8*-6.5-2.92.9

7.2

8.6

8.6

0-2.2*-3.6

-3.606.8*16*24.5*27.7*28.8

*0-3.8-2.2*0*3.6*6.8*10.814.81819.8

|Δe -Δe =0|m ax 02.23.64.75.678.611.212.617

01.43.25.49.09.81617.318.317.8

*m ax diffe rence aga i nst to Δe =0.

F i g.2M T F and PT F cu rve s te sted as e increase from 0to 40n m

1)Δe =

　10nm 的调制传递函数测值与Δ

e =0时的几乎相同;2)Δe >30nm 的各空间频率调制传递函数测值,相对于Δe =0的各空间频率调制传递函数测值,以相同的比值下降;随着空间频率的增加,或调制传递函数的减小,下降的差值

48

光 学 学 报

17卷　

根据文献[1],文献[4],[9],粗糙波面差和波面面形均为单值光滑的曲面(只是前者的分布是随机的、空间频率较

高),遵守H uygn es 原理,因而前者如同后者一样,具有可加性和加法的“可易律”(与其所处位置无关)。参照:1)H .H .H op-k i ns ;W av e Th eor y o f A bevv a ti on .C larendon p ress ,1950

∶87;2)林大键;工程光学系统设计。机械工业出版社,1987∶440

随着减小;

3)Δδ≠0与Δe =0两者位相传递函数最大差值、在空间频率<50c /m m 或>50c /m m 范围内,分别为10°和18°,该差值与Δe =0的位相传递函数最大重复误差相近,这意味着粗糙度不影响位相传递函数。

4　粗糙波面调制传递函数评价准则和粗糙度公差标准

H opk ins 的调制传递函数像质评价准则表示式为[3]

:

{H C }=1-2c 2s

2λ

k 像差(Y ,Z )≥0.8(24)

该式没有包含粗糙度。众所周知,元件表面粗糙度引起的杂光,必然降低调制传递函数值[11]。为此,必须予以修正,使其包含粗糙度的影响。另外,H opk ins 准则是以调制系数的大小作为像质标准,因此该标准也应该可以包含粗糙度的影响。为了建立兼含波面像差和粗糙度影响的调制传递函数像质评价准则,只须以(21)式的E [M TF (s ,h )]∽

取代(24)式中的{H C }:

E [M T

F (s ,h )]∽

≈ex p [-(k e )2

]{H C }≥0.8(25)(25)式称为粗糙波面调制传递函数准则。(25)式表明:H o pk ins 的调制传递函数准则是粗糙波面调制传递函数准则e →0时的一种特殊情况。后者随e 的增加,呈指数形式下降。不同e /λ比值的exp [-(k e )2

]计算值如表3所列:

T ab le 3.ex p [-(k e )2

]fo r d ifferen t e /λra tio

e /λ

1/90

1/801/60

1/40

1/30

1/20

1/10exp [-(k e )2]

1.000

0.995

0.9940.9890.9750.9570.9100.674

根据(25)式和表3,E [M TF (s ,h )]∽

随e /λ和{H C }变化的计算值,如表4所列:

T ab le 4.C a lcu la ted da ta o f E [M TF (s ,h )]∽

acco rding to fo r m u la (25)and (tab le 3)

e /λ

E [M T

F (s ,h )]∽

{HC }

001/901/801/601/401/301/201/100.800.800.800.800.790.780.770.730.540.82

0.82

0.82

0.82

0.810.80

0.780.75

0.550.840.840.840.830.830.820.800.760.570.860.860.860.860.850.840.820.780.580.880.880.880.870.870.860.840.800.590.900.900.900.890.890.880.860.820.600.920.920.920.910.910.900.880.830.620.95

0.95

0.95

0.94

0.94

0.93

0.91

0.86

0.64

表4的结果表明,当{H C }≥0.8,对应于e =λ/30、λ/40、λ/80的各调制传递函数值下降量ΔE ={H C }-E [M TF (s ,h )]∽

,分别为0.03～

0.04、∽0.02、≤0.01。这意味着:第

一种情况,ΔE 较大于目视强度对比极限分辨率ΔU =

0.02,像质开始下降;第二种情况,ΔE ∽ΔU ,像质接近原像质指标;第三种情况,ΔE <ΔU ,像质达到原像质指标。给以上三种e 指标分别标以“三级”、“二级”和“一级”,用以标志不同级e 的E [M TF (s ,h )]∽

→A ≥0.8像质指

49

1期向　阳: 粗糙波面光学传递函数像质评价准则和粗糙度公式理论

标的各种“达标”程度

。上述e 的三种等级,同样可用作标志E [M T F(s ,h )]∽

→B ≤0.8[12]像质指标的各种“达标”程度,因而具有普遍意义。

(25)式中,e 为整个成像系统中各个镜面粗糙度的综合效果。一般情况下,系统中N 个透镜的表面粗糙度e i 和折射率n (∽1.5～1.7)各彼此相近,对透、反射系统,分别近似有[13]:

e 透≈

2N e i 透; e 反≈

N e i

反(26)

(26)式中,e 透、e 反分别代表整个透、反射成像系统的粗糙度总效果;e i 透、e i 反,分别代表透、反射系统中各元件表面透、反射波面的“粗糙度”,与各元件表面粗糙度e i 有下述关系:

e i 透=(n -1)e i ; e i 反=2e i (27)将(27)式代入(26)式,得到:

e

透≈(n -1)2N e

i (28)e

反≈2N e

i (29)

将(28)式、(29)式代入(25)式,得到透、反射系统的粗糙波面调制传递函数准则表示式分别

为:

E [M T

F (s ,h )]∽

透≈ex p [-2N (n -1)2k 2e 2

i ]{H C }≥0.8(30)

E [M T

F (s ,h )]∽

反≈ex p (-4N k 2e 2

i ){H C }≥0.8

(31)

(30)式、(31)式表明,调制传递函数随着透镜数量N 的增加,呈指数形式下降。该结论与“杂光随着N 的增加而增加”的实验结果[14]

相一致。因而,对像质指标相同而N 不相同的

系统,单个镜面粗糙度公差随N 的增加而要求严格。由(28)～(30)式,与系统粗糙度公差e =λ/30、λ/40、λ/80三个等级相对应的单个镜面e i 容许公差,分别为:

e i ≤1.4λ/[60(n -1)N ]

(32)e i ≤1.4λ/[80(n -1)N ](33)e i ≤1.4λ/[160(n -1)

N ]

(34)

由(32)式、(33)式和(34)式,计算几例光学系统的单个镜面粗糙度公差,如表5所列。

根据前述粗糙度影响像质“达标”的分级原则和表5的结果,看到:

1)e i 不同等级的“达标”值,随系统中的光学元件数而变;

2)总体而言,本文的结果与当今常用评价准则(粗糙度公差采用

0.012

/

5,像质评价采用

H o pk ins 的调制传递函数准则),大体一致。但本文的理论突出了,制定元件粗糙度公差的大小,要考虑系统的像质要求、和系统的元件数量等因素。而当今标定粗糙度公差,则没有顾

及这些因素,均标以0.012/5。而0.012/

5的范围较宽,据此加工的实际元件粗糙度精度,对某一特定系统,可能偏松或偏严,不一定合适;

50

光 学 学 报

17卷　

粗糙波面调制传递函数的像质等级划分,是根据E [M T F (s ,h )]∽

的大小来决定的,类同于粗糙波面中心点亮度比准则的像质等级划分法则[10],该问题将在另文中讨论。

T ab le 5.Roug hne ss to lerrence s fo r som e ex a m p le o f v ariou s op tica l sy ste m s

ty pe o f op tical sy ste m

nu m ber o f lenses N

to le rrence e i o f len s sur face (nm )g rade 3g rade 2g rade 1m icro sco pe o b j ec ti v e

218.113.66.879.77.33.698.66.43.2137.15.32.7cam e ra len s

218.113.66.8314.811.15.6412.89.64.889.16.83.498.66.43.2zo om lens

117.75.82.9166.44.82.4215.64.22.1284.93.61.8te l e scope

412.89.64.87

9.77.33.6

N o te :T he ca lcu taed v alues o f e i fo r

:1)λ=550nm ,2)n =1.5.3)在本文的结果中,光学元件数大于10或大于5的光学系统,两者镜面的一级粗糙度公差分别为e i ≤2nm 或∽3nm 。这一结果与Bake r 新近倡议的可见光光学系统元件粗糙度公差阈值(≤2nm )

[15]

相等同或接近。这点表明,本文理论指出的高质量复杂光学系统元件需

采用小量级粗糙度公差的正确性。B aker 倡议的粗糙度公差阈值,是根据Benne tt 的报道[16]

、

以及当成像质量和加工技能的现状作出的,比之当今常用的粗糙度公差指标0.012/

5,小了很多,因而也就有更多的可能来获得像质优良的光学系统。但B ake r 的粗糙度公差阈值,如同常用

的粗糙度公差指标0.012/

5一样,使用时,不顾及系统像质和元件数量上的不同,因而原则上,也是有其缺陷的。

(28)式～(31)式,也反映了“反射光学元件表面粗糙度的公差要求,比之透射元件的严”这一周知事实。

结　论　建立了粗糙波面光学传递函数、和粗糙波面调制传递函数准则。所得结果,与当前其他理论和准则,大体一致。本文的理论把影响像质的诸因素粗糙度、像差、以及光学元件数量等参数,融汇于同一表示式中,可以“有机联系地”考查以上诸因素对像质影响的程度,因而可以恰当合理地实现“既保证像质、又降低成本”,这点是当今其他准则难于做到的。

粗糙波面的调制传递函数与中心点亮度比[10],两者的形式及其所得结果,完全类似或相同。这意味,本文建立的理论和准则,具有较为广博坚实的基础。希望本文的研究结果,将有助于像质评价和粗糙度公差理论的发展和完善。

本文是在向才新研究员关注指导下进行的,吴长发老师帮助测定了多种光学传递函数,在此表示衷心的感谢。

51

1期向　阳: 粗糙波面光学传递函数像质评价准则和粗糙度公式理论

52光 学 学 报17卷　

参考文献

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Opti cal Transfer Function of I mage Quality Cr iter ion for

RoughW avefront and Tolerance Theory of R oughness

X iang Y ang

(S ta te K ey L abora tory of App lied Op tics Chang chun Institu te of Op tics and F i ne M echanics,

The C hinese A cad e my of S ciences,Chang chun130022)

(Recei ved11A pril1996;revised21Ju ly1996)

Abstract　A n o tpical transfer function and its i m age qua lity criterion deve loped w h ich consist o f w ave aberra tions and roughness erro rs.A nd the to leran ce theo-ry o f roughness is d iscussed.

K ey words　op tical transfe r function,　surface roughness,　i m ag e quality ev al-uat ion.

三角函数的基本概念与诱导公式

三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如：第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角，则 2 α是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制： 1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ） 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？ 例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数： 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值： ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线： 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式

大学物理下册波动光学习题解答杨体强

波动光学习题解答 1-1 在氏实验装置中，两孔间的距离等于通过光孔的光波长的100倍，接收屏与 双孔屏相距50cm 。求第1 级和第3级亮纹在屏上的位置以及它们之间的距离。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，光波波长为λ，则有=100d λ. (1)第1级和第3级亮条纹在屏上的位置分别为 -5150==510m 100D x d λ=?? -42503==1.510m 100 D x d λ=?? (2)两干涉条纹的间距为 -42=1.010m D x d λ?=?? 1-2 在氏双缝干涉实验中，用0 6328A =λ的氦氖激光束垂直照射两小孔，两小孔的间距为1.14mm ，小孔至屏幕的垂直距离为1.5m 。求在下列两种情况下屏幕上干涉条纹的间距。 （1）整个装置放在空气中； （2）整个装置放在n=1.33的水中。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，装置所处介质的折射率为n ，则两小孔出射的光到屏幕的光程差为 21()x n r r nd D δ=-= 所以相邻干涉条纹的间距为 D x d n λ?=? （1）在空气中时，n ＝1。于是条纹间距为 943 1.5 632.8108.3210(m)1.1410 D x d λ---?==??=?? （2）在水中时，n ＝1.33。条纹间距为 9 43 1.563 2.810 6.2610(m)1.1410 1.33 D x d n λ---???=?==??? 1-3 如图所示，1S 、2S 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为1r 和2r 。路径1S P 垂直穿过一块厚度

为1t 、折射率为1n 的介质板，路径2S P 垂直穿过厚度为2t ，折射率为2n 的另一块介质板，其余部分可看做真空。这两条路径的光程差是多少？ 解：光程差为 222111[r (n 1)t ][r (n 1)t ]+--+- 1-4 如图所示为一种利用干涉现象测定气体折射率的原理性结构，在1S 孔后面放 置一长度为l 的透明容器，当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹就会移动。由移过条纹的根数即可推知气体的折射率。 （1）设待测气体的折射率大于空气折射率，干涉条纹如何移动？ （2）设 2.0l cm =，条纹移过20根，光波长为 589.3nm ，空气折射率为1.000276，求待测气体（氯气）的折射率。 1-5 用波长为500 nm 的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上。在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边1=1.56 cm 的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心。 （1）求此空气劈尖的劈尖角θ； （2）改用600 nm 的单色光垂直照射到此劈尖上，仍观察反射光的干涉条纹，A 处是明条纹还是暗条纹？ （3）在第（2）问的情形从棱边到A 处的围共有几条明纹，几条暗纹？

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

(完整版)《大学物理》习题册题目及答案第19单元波动光学

第19单元 波动光学（二） 学号 姓名 专业、班级 课程班序号 一 选择题 [C]1. 在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度a 稍稍变窄，同时使会聚透镜L 沿y 轴正方向作微小位移，则屏幕E 上的中央衍射条纹将 (A) 变宽，同时向上移动 (B) 变宽，同时向下移动 (C) 变宽，不移动 (D) 变窄，同时向上移动 (E) 变窄，不移动 [ D ]2. 在双缝衍射实验中，若保持双缝S1和S2的中心之间的距离d 不变，而把两条缝的宽度a 稍微加宽，则 (A) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变少 (B) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变多 (C) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目不变 (D) 单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变少 (E) 单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变多 [ C ]3. 在如图所示的单缝夫琅和费衍射实验中，若将单缝沿透镜光轴方向向透镜平移，则屏幕上的衍射条纹 (A) 间距变大 (B) 间距变小 (C) 不发生变化 (D) 间距不变，但明暗条纹的位置交替变化 [ B ]4. 一衍射光柵对某一定波长的垂直入射光，在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该 (A) 换一个光栅常数较小的光栅 (B) 换一个光栅常数较大的光栅 (C) 将光栅向靠近屏幕的方向移动 (D) 将光栅向远离屏幕的方向移动 λ L 屏幕 单缝 f 单缝 λa L E f O x y

[ B ]5. 波长λ =5500 ?的单色光垂直入射于光柵常数d = 2?10-4cm 的平面衍射光柵上，可能观察到的光谱线的最大级次为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 二 填空题 1. 用半波带法讨论单缝衍射暗条纹中心的条件时，与中央明条纹旁第二个暗条纹中心相对应的半波带的数目是_____4_________。 2. 如图所示，在单缝夫琅和费衍射中波长λ的单色光垂 直入射在单缝上。若对应于汇聚在P 点的衍射光线在缝 宽a 处的波阵面恰好分成3个半波带，图中 ____________CD BC AB ==，则光线1和光线2在P 点的相差为 π 。 3. 一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹，若已知此光栅缝宽度与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第__一___级和第___三_级谱线。 4 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，波长为λ1=440nm 的第3级光谱线，将与波长为λ2 = 660 nm 的第2级光谱线重叠。 5. 用波长为λ的单色平行光垂直入射在一块多缝光柵上，其光柵常数d=3μm ，缝宽a =1μm ，则在单缝衍射的中央明条纹中共有 5 条谱线(主极大)。 三 计算题 1. 波长λ=600nm 的单色光垂直入射到一光柵上，测得第二级主极大的衍射角为30o ，且第三级是缺级。则 (1) 光栅常数(a ＋b )等于多少？ (2) 透光缝可能的最小宽度a 等于多少 (3) 在选定了上述(a ＋b )和a 之后，求在屏幕上可能呈现的全部主极大的级次。 解：(1) 由光栅公式：λ?k d =sin ，由题意k = 2，得 P λ5.1λA B C D a 1234

上海教材三角函数的概念、性质和图象

三角函数的概念、性质和图象 复习要求（以下内容摘自《考纲》） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理：）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理：A ab c b a cos 2222-+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9－1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、

波动光学大学物理标准答案

习题13 13.1选择题 （1）在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是[ ] (A) 使屏靠近双缝． (B) 使两缝的间距变小． (C) 把两个缝的宽度稍微调窄． (D) 改用波长较小的单色光源． [答案：C] （2）两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以棱边为轴，沿逆时针方向作微小转动，则干涉条纹的[ ] (A) 间隔变小，并向棱边方向平移． (B) 间隔变大，并向远离棱边方向平移． (C) 间隔不变，向棱边方向平移． (D) 间隔变小，并向远离棱边方向平移． [答案：A] （3）一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为[ ] (A) λ / 4 ． (B) λ / (4n )． (C) λ / 2 ． (D) λ / (2n )． [答案：B] （4）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n ，厚度为d 的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了[ ] (A) 2 ( n -1 ) d ． (B) 2nd ． (C) 2 ( n -1 ) d +λ / 2． (D) nd ． (E) ( n -1 ) d ． [答案：A] （5）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ，则薄膜的厚度是 ［ ］ (A) λ / 2 ． (B) λ / (2n )． (C) λ / n ． (D) λ / [2(n-1)]． [答案：D] 13.2 填空题 （1）如图所示，波长为λ的平行单色光斜入射到距离 为d 的双缝上，入射角为θ．在图中的屏中央O 处 (O S O S 21=)，两束相干光的相位差为 ________________． [答案：2sin /d πθλ] （2）在双缝干涉实验中，所用单色光波长为λ＝562.5 nm (1nm ＝10-9 m)，双缝与观察屏的距离D ＝1.2 m ，若测得屏上相邻明条纹间距为?x ＝1.5 mm ，则双缝的间距d ＝

《大学物理学》波动光学习题及答案

一、选择题(每题4分，共20分) 1．如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为2n 的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e ，而且321n n n >>，则两束反射光在相遇点的位相差为（B （A ） 22πn e λ ； （B ） 24πn e λ ； （C ） 24πn e πλ -； （D ） 24πn e πλ +。 2．如图示，用波长600λ=nm 的单色光做双缝实验，在屏P 处产生第五级明纹，现将折射率n =1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P （A ）5.0×10-4cm ；（B ）6.0×10-4cm ； （C ）7.0×10-4cm ；（D ）8.0×10-4cm 。 3．在单缝衍射实验中，缝宽a =0.2mm ，透镜焦距f =0.4m ，入射光波长λ=500nm 位置2mm 处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？（ D ） (A) 亮纹，3个半波带； (B) 亮纹，4个半波带；(C) 暗纹，3个半波带； (D) 暗纹，4个半波带。 4．波长为600nm 的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm 的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为（B ） (A) 0、1±、2±、3±、4±； (B) 0、1±、3±；(C) 1±、3±； (D) 0、2±、4±。 5． 自然光以60°的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则（ B ） (A) 折射光为线偏振光，折射角为30°； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30°； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定。 二、填空题(每小题4分，共20分) 6．波长为λ的单色光垂直照射在空气劈尖上，劈尖的折射率为n ，劈尖角为θ，则第k 级明纹和第3k +级明纹的间距l = 32s i n λn θ 。 7．用550λ=nm 的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为 1.1 μm 。 8．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。若1600nm λ=为入射光，中央明纹宽度为 3m m ；若以2400nm λ=为入射光，则中央明纹宽度为 2 mm 。 9．设白天人的眼瞳直径为3mm ，入射光波长为550nm ，窗纱上两根细丝之间的距离为3mm ，人眼睛可以距离 13.4 m 时，恰能分辨。 10.费马原理指出，光总是沿着光程为 极值 的路径传播的。 三、计算题(共60分) 11.（10分）在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m ，试求：(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长；(2)相邻两明条纹间的距离． 解：(1)由λk d D x = 明知，23 0.26002110 x nm λ= =??， 3 n e

-高中三角函数知识点复习总结

第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化

() 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

大学物理光学练习题及答案

光学练习题 一、 选择题 11. 如图所示，用厚度为d 、折射率分别为n 1和n 2 (n 1＜n 2)的两片透明介质分别盖住杨氏双缝实验中的上下两缝, 若入射光的波长为, 此时屏上原来的中央明纹处被第三级明纹所占 据, 则该介质的厚度为 [ ] (A) λ3 (B) 1 23n n -λ (C) λ2 (D) 1 22n n -λ 17. 如图所示，在杨氏双缝实验中, 若用一片厚度为d 1的透光云母片将双缝装置中的上面一个缝挡住; 再用一片厚度为d 2的透光云母片将下面一个缝挡住, 两云母片的折射率均为n , d 1＞d 2, 干涉条纹的变化情况是 [ ] (A) 条纹间距减小 (B) 条纹间距增大 (C) 整个条纹向上移动 (D) 整个条纹向下移动 18. 如图所示，在杨氏双缝实验中, 若用一片能透光的云母片将双缝装置中的上面一个缝盖住, 干涉条纹的变化情况是 [ ] (A) 条纹间距增大 (B) 整个干涉条纹将向上移动 (C) 条纹间距减小 (D) 整个干涉条纹将向 下移动 26. 如图(a)所示，一光学平板玻璃A 与待测工件B 之间形成空气劈尖，用波长λ＝500nm(1nm = 10-9m)弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的切线相切．则工件的上表面缺陷是 [ ] (A) 不平处为凸起纹，最大高度为500 nm (B) 不平处为凸起纹，最大高度为250 nm (C) 不平处为凹槽，最大深度为500 nm (D) 不平处为凹槽，最大深度为250 nm 43. 光波的衍射现象没有声波显著, 这是由于 [ ] (A) 光波是电磁波, 声波是机械波 (B) 光波传播速度比声波大 (C) 光是有颜色的 (D) 光的波长比声波小得多 53. 在图所示的单缝夫琅禾费衍射实验中，将单缝K 沿垂直光的入射光(x 轴)方向稍微 平移，则 [ ] (A) 衍射条纹移动，条纹宽度不变 (B) 衍射条纹移动，条纹宽度变动 (C) 衍射条纹中心不动，条纹变宽 (D) 衍射条纹不动，条纹宽度不变 K S 1 L L x a E f

(完整版)大学物理波动光学的题目库及答案

一、选择题：（每题3分） 1、在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若 A 、 B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为 (A) 1.5 λ． (B) 1.5 λ/ n ． (C) 1.5 n λ． (D) 3 λ． ［ ］ 2、在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中 (A) 传播的路程相等，走过的光程相等． (B) 传播的路程相等，走过的光程不相等． (C) 传播的路程不相等，走过的光程相等． (D) 传播的路程不相等，走过的光程不相等． ［ ］ 3、如图，S 1、S 2是两个相干光源，它们到P 点的距离分 别为r 1和r 2．路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 1，折射率为n 1 的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2，折射率为n 2的另一 介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于 (A) )()(111222t n r t n r +-+ (B) ])1([])1([211222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r --- (D) 1122t n t n - ［ ］ 4、真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的均匀透明媒质中，从A 点沿某一路径 传播到B 点，路径的长度为l ．A 、B 两点光振动相位差记为?φ，则 (A) l ＝3 λ / 2，?φ＝3π． (B) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3n π． (C) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3π． (D) l ＝3n λ / 2，?φ＝3n π． ［ ］ 5、如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为n 2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉．若薄膜厚度为e ，而且n 1＞n 2＞n 3，则两束反射光在相遇点的相位差为 (A) 4πn 2 e / λ． (B) 2πn 2 e / λ． (C) (4πn 2 e / λ) +π． (D) (2πn 2 e / λ) -π． ［ ］ 6、如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1 ＜n 2＜n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束①与②的光程差是 (A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2 . (C) 2n 2 e －λ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)． ［ ］ 7、如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1< n 2> n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束(用①与②示意)的光程差是 (A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2. (C) 2n 2 e －λ ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)． P S 1S 2 r 1 n 1 n 2 t 2 r 2 t 1 n 1 3λ n 3 n 3

5.2 三角函数的概念(解析版).docx

5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O

（3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

西北工业大学大学物理作业答案6波动光学10

第六次作业 波动光学 一、选择题： 1.C ；2.A ；3.C ；4. BC ；5. A ；6. E ；7. C ；8. C ；9. A 。 二、填空题： 1. nr ， 光程。 2. )(12r r n - ， c r r n ν π )(212- 。 3. 频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两束光；将同一光源发出的光分为两束，使两束光在空间经不同路程再次相遇；分波阵面；分振幅。 4. 5 5.1 。 5. 暗， 明，2 2n λ ， sin θ 2θ 222n n λ λ 或 。 6. 光疏，光密，反射，或半波长2 λ ，π 。 7. 6，1 ，明。 8. 2， 4 1，?45。 9. 51370'， 90o ，1.32 。 10. 610371.1-?m 。 11. 910699-?.m 。 12. 寻常；非常；光轴；O 。 三、问答题 答：将待检光线垂直入射偏振片，并以入射光为轴旋转偏振片，透射光强若光强不变则为自然光，光强有强弱变化但最弱不为零则为部分偏振光，光强有强弱变化且最弱处光强为零则为完全偏光。 四、计算题 1. 解：方法一：设相邻两条明纹间距为l ，则 10 b l = ，且L d = ≈θθtan sin 对于空气劈尖，相邻两条明纹对应的厚度差为 2 λ =?e 而 10 22sin b d L e l = = = ?=λθ λ θ 所以，细丝直径 m b L d 6 3 9 2 10 91710 008010 863210002055----?=?????= = ....λ

方法二： 由明纹条件得 λ λ δk e =+ =2 2 22??? ? ? -=λλk e k θλλθ22??? ? ? -== k e l k k 22)10(10??? ? ? -+=+λλk e k θ λλθ 22)10(10 10??? ? ? -+== ++k e l k k d L L d l l b k k λλθ λ5/521010= == -=+ 所以，细丝直径 m b L d 6 3 9 2 10 91710 008010 863210002055----?=?????= = ....λ 2. 解：（1）光程差2 21λ δ+ =e n ； 明纹条件 ) ,3,2,1(2 22 21 ==+ =k k e n λ λ δ 将最高点h e =代入得: 352 1 5768646122 121..=+??= += λ h n k 即：最高点为不明不暗，边缘处为暗环。 共有k =1、2、3、4、5 的5条明纹（干涉图样为同心圆环） 对应于k 的油膜厚度e k 为： nm k k n e k )2 1(180)2 1(21 - ?=- = λ k =1， e 1 = 90nm ； k =2， e 2 = 270nm ； k =3， e 3 = 450nm ； k =4， e 4 = 630nm ； k =5， e 5 = 810nm 。 (2) h = 864nm ，k = 5.3为非整数，条纹介于明暗之间，非明非暗条纹； h = 810nm ，2 10 52880nm 25768106.122 21λ λλ δ===+ ??=+=e n ，k = 5，为明纹； h = 720nm ，2 9 54nm 59222 5767206122 21λ λλ δ===+??=+ =..e n ，k = 4，为暗纹； 故最高点条纹变化为： 明暗之间→明纹→暗纹

三角函数知识点汇总

1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数

考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.

大学物理答案波动光学一

第十二章（一） 波动光学 一、选择题 1．C 2．A 3．C 4．E 5．D 6．D 7．B 8．B 二、填空题 1．1 mm 2．频率相同； 振动方向相同； 相位相等或相位差恒定； 相干光在相遇点的相位差等于π的偶数倍； 相干光在相遇点的相位差等于π的奇数倍。 3．向棱边移动； 向远离棱边移动； 向棱边移动且条纹间距减小，条纹变密。 4．71022.1-? m 5．λ d 2 6．6； 暗； a f λ3± 7．单缝处波前被分成的波带数越多，每个波带面积越小。 8．3 mm 三、计算题 1．解： 由 λλ k e n =+222 得 1 242-=k e n λ 由此可分别求得相应于k =1,2,3,4的波长为： 22401＝λnm ； 7.7462＝λnm ； 4483＝λnm ； 3204＝λnm 、 2λ3λ在可见光范围（400nm-760nm ）内，故波长为746.7nm 和448nm 的两种光在反射时加强。 2．解：（1）m 11.010 2105502102249 10=?????==?∴=--x x d kD x k λ （2）0)(12=-+-e ne r r ()m 10828.3158.1106.6)1(6612--?=-??=-=-n e r r 71055010828.39 612≈??=-= ∴--λr r k 3．解： 2)12(2220λ λ +=++k e e 由几何关系R r e 22 = 代入，得：R e k r )2(0-= λ 其中，k 为整数，且λ02e k >

4．解： ()212s i n λ θ＋k a ±= 2,1＝k 得 1 2100.3m 4.01020.112105.0212212sin 26 33+?=??+??=+≈+=---k k f x k a k a ?λm 令k =1 10001=λnm （红外光） 令k =2 6002=λnm （黄光） 令k =3 6.4283=λnm （紫光） 题给入射光是紫色平行光，所以观察到的波长为428.6nm 即为第三级明条纹。又因k =3，则 ()2 7212sin λλθ＝＋k a = 所以，对应于这个衍射方向，可以把单缝处的波前分为7个波带。

《大学物理》习题册题目及答案第单元波动光学副本

第18单元 波动光学（一） 学号 姓名 专业、班级 课程班序号 一 选择题 [ A ]1. 如图所示，折射率为2n 、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质折射率分别为1n 和3n ，已知321n n n <<。若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束①与②的光程差是 (A) 22n e (B) 2e n 2λ- 21 (C) 22n e λ- (D) 22n e 2 2n λ - [ A ]2. 双缝干涉的实验中，两缝间距为d ，双缝与屏幕之间的距离为D （D >>d ），单色光波长为λ，屏幕上相邻的明条纹之间的距离为 (A) d D λ (B) D d λ (C) d D 2λ (D) D d 2λ [ B ]3. 如图，1S 、2S 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为 1r 和2r 。路径1S P 垂直穿过一块厚度为1t 、折射率为1n 的介质板，路径P S 2垂直穿过厚度为2t 、折射率为2n 的另一块介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于 (A) )()(111222t n r t n r +-+ (B) ])1([])1([111222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r --- (D) 1122t n t n - [ C ]4. 如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且321n n n ><, 1λ 为入射光在折射率为n 1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的相位差为 (A) 1122λπ n e n (B) πλπ+1212n e n (C) πλπ+1124n e n (D) 1 124λπn e n 。 [ B ]5. 如图，用单色光垂直照射在观察牛顿环的装置上。当平凸透镜垂直向上缓慢平移而远离平面玻璃时,可以观察到这些环状干涉条纹 (A) 向右平移 (B) 向中心收缩 (C) 向外扩张 (D) 静止不动 (E) 向左平移 [ D ]6. 在迈克尔逊干涉仪的一支光路中，放入一片折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长?，则薄膜的厚度是 (A) 2λ (B) n 2λ (C) n λ (D) )1(2-n λ 二 填空题 1 λe 1 n 2n 3 单色光 O . λ e 1 n 2n 3 ① ② S 1 S 2 1r 2 r 1n 2n 1 t 2 t P

高中数学专题讲义-三角函数基本概念

题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念

【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）