2014年高考数学(理)二轮复习简易通 三轮考前体系通关 Word版训练1-5

第五辑 平面向量

[通关演练] (建议用时：40分钟)

1．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B

sin C 的值为

( )．

A.85

B.58

C.53

D.35

解析 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案 D

2．已知向量OA

→＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →＝ ( )．

A.? ????－37，27

B.? ????

－27，421 C.? ??

??3

7，－27

D.? ??

??2

7，－421 解析 设OC

→＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x ，y )－(4,6)＝(x －4，y －6)，又OC →

⊥OA →，AC →∥OB →

，故??

?

4x ＋6y ＝0，5(x －4)－3(y －6)＝0，解得?????

x ＝27，y ＝－4

21.

答案 D

3．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为

( )．

A.π2

B.π3

C.π4

D.π6

解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2.所以a ·b ＝3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝1

2，所

以〈a ，b 〉＝π

3. 答案 B

4．在平面四边形ABCD 中，满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →

＝0，则四边形ABCD 是

( )．

A ．矩形

B ．正方形

C ．菱形

D ．梯形

解析 因为AB

→＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →， 所以四边形ABCD 是平行四边形，又()

AB →－AD →·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形． 答案 C

5．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3

2，则BC 的长为

( )．

A. 3 B ．3 C.7 D ．7

解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 A

6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π

6，则△ABC 的面积为

( )．

A.32

B.34

C.32或34

D.3

2或 3

解析 由正弦定理可知，1sin π6＝3sin C ，所以sin C ＝32，所以C ＝π3或C ＝2π

3，

所以 A ＝π－π6－π3＝π2或A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12×3×1×sin π2＝3

2或S △ABC ＝12×3×1×sin π6＝3

4. 答案 C

7．已知O ，A ，M ，B 为平面上不同的四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →

，λ∈(1,2)，则

( )．

A ．点M 在线段A

B 上 B ．点B 在线段AM 上

C ．点A 在线段BM 上

D ．O ，A ，M ，B 四点共线

解析 根据题意知OM

→＝λOB →＋OA →－λOA →＝λ(OB →－OA →)＋OA →，则OM →－OA →＝

λ(OB

→－OA →)，即AM →＝λAB →.由λ∈(1,2)可以判断出点M 在线段AB 的延长线上，即点B 在线段AM 上． 答案 B

8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A

＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等

于

( )．

A ．－32 B.32 C ．－1

D ．1

解析 DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB

→＝(DA →＋1

3AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB

→＝73－43|AD →||AB →|cos 60°

＝73－43×1×2×1

2＝1. 答案 D

9．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建

筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝

( )．

A.

3

2B．2－ 3

C.3－1

D.

2 2

解析在△ABC中，由正弦定理可知，

BC＝AB·sin ∠BAC

sin ∠ACB

＝

100sin 15°

sin (45°－15°)

＝50(6－2)，

在△BCD中，sin ∠BDC＝BC·sin ∠CBD

CD

＝50(6－2)·sin 45°

50＝3－1.

由题图，知cos θ＝sin ∠ADE＝sin ∠BDC＝3－1.

答案 C

10．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为

()．

A.2－1 B．1 C.2＋1 D. 2

解析|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c －2b·c ＝3－2(a＋b)·c，因为a·b ＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝2，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos 〈a＋b，c〉＝2cos 〈a＋b，c〉，即|a＋b－c|2＝3－22·cos 〈a＋b，c〉，所以当cos 〈a＋b，c〉＝1时，|a＋b－c|2最小值为|a＋b－c|2＝3－22＝(2－1)2，所以|a＋b－c|min＝2－1.

答案 A

11．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量k a－b 垂直，则k＝________.

解析由题意，知(a＋b)·(k a－b)＝0，即k a2－a·b＋k a·b－b2＝0，(k－1)a·b＋(k－1)＝0，∴(k－1)(a·b＋1)＝0，∴k＝1.

答案 1

12．已知△ABC的三边成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

解析设△ABC的三边a，b，c成公比为2的等比数列，∴b＝2a，c＝2a.

则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 222a 2＝－

2

4. 答案 －2

4

13．如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA

→|＝________.

解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos

60°＝3×12＝32，又AO

→＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14

(

)

AB →2＋2AB →·AC →＋AC →

2，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.

答案

13

2

14．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝5

13，b ＝3，则c ＝________.

解析 在△ABC 中，∵cos A ＝3

5>0， ∴sin A ＝4

5.

∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝12

13.

∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋ cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝56

65.

由正弦定理，知b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C sin B ＝14

5. 答案 14

5

15．定义平面向量的一种运算：a b ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉，则下列命题：①a b

＝b

a ；②λ(a

b )＝(λa )

b ；③(a ＋b

c ＝(a

c )＋(b

c )；④若a

＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.

其中真命题是________________________(写出所有真命题的序号)．

解析 由定义知b a ＝|b ||a |sin 〈a ，b 〉＝a b ，所以①正确．②当λ<0

时，〈λa ，b 〉＝π－〈a ，b 〉，所以()λa b ＝|λa ||b |sin 〈λa ，b 〉＝－λ|a ||b |sin 〈a ·b 〉，

而λ(a

b )＝λ|a ||b |sin 〈a ，b 〉，所以②不成立．③因为a ＋b ＝0显然不成立，

所以③不成立．④(a

b )2＝|a |2·|b |2sin 2〈a ，b 〉＝|a |2·|b |2(1－cos 2〈a ，b 〉)

＝|a |2·|b |2－|a |2·|b |2cos 2〈a ，b 〉＝|a |2·|b |2－(a ·b )2＝()x 21＋y 21()x 22＋y 22－()x 1x 2＋y 1y 22

＝()x 1y 2－x 2y 12，所以a

b ＝|x 1y 2－x 2y 1|，所以④成立．

答案 ①④