盈亏问题(一).教师版
教学目标
1.熟练掌握盈亏问题的本质?
2.运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题.
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况?分配不足时，称之为亏”，分配有余称之为盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足（也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做盈亏问题”.
可以得出盈亏问题的基本关系式：
（盈+亏）斗两次分得之差 =人数或单位数
（盈-盈）-两次分得之差=人数或单位数
（亏-亏）*两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出?也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种
情况，都是属于按两个数的差求未知数的盈亏问题” ?
注意：1?条件转换；2?关系互换?
模块一、利用盈亏公式直接计算
（一）盈?亏型
【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动?如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2 块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答
【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块?这两次搬砖，每人相差5-4=1 （块）?第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7 *2=9（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9“1=9 （人）.共有砖：
4 9 7 =43 （块）.
【答案】9人，搬43块
【巩固】把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2块，将剩余12块；每人3块，将缺少2块，那么小朋友共有_______ 。
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】盈亏问题：（12+2）说3-2）=14人
【答案】14人
【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答
【解析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15 （粒），相差原因在于两种方案分配
数不同，两次分配数之差为：5-4=1 （粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学
的人数是15-1=15 （位），糖果的粒数为：4X15+9=69 （粒）?
【答案】15位同学分69粒糖
【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48
个萝卜；如果每天吃 6个，则又少8个萝卜.那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？ 【考点】盈亏问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】题中告诉我们每天吃 4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜.观察每天吃的个数与萝卜剩 余个数的变
化就能看出，由每天吃 4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个 到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差 48+ 8 = 56 （个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求 56里面含有多少个 2,就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜 了 .吃的天数：（48 + 8） - （6-4）= 56+2 = 28 （天），萝卜数：6X28-8 = 160 （个）或 4X28 + 48 =160 （个）.
【答案】160个萝卜吃28天
【巩固】 幼儿园的老师给小朋友们发梨。每人
6个就剩12个，每人7个便少11个。共有
位小朋友
个梨。
【考点】盈亏问题
【难度】1星
【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【答案】23个小朋友，150个梨。
【巩固】 幼儿园老师给几组小朋友分苹果， 每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有 __________ 个,
小朋友共 _______ 组。
【考点】盈亏问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 盈亏问题中的 盈亏型”小朋友有（3+4） +7-6）=7组，苹果有7X 7-3=46个 【答案】46个苹果，7组小朋友。 【巩固】 一盘草莓约20个左右，几位小朋友分。若每人分
3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个。
这盘草莓有 _______ 个。
【考点】盈亏问题
【难度】1星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第 9题
【解析】小朋友人数（3+2） +3-2）=5人，所以草没有3X5+2=17个 【答案】17个
【巩固】 把一堆糖果分给几位小朋友，若每人 2块，将剩余12块；每人3块，将缺少5块，那么小朋友共
________ 位。
【考点】盈亏问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 10题
【解析】（12+5） +3-2）=17人 【答案】17位
【例2】王老师去琴行买儿童小提琴，若买 7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多 30元，
问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【考点】盈亏问题
【难度】1星
【题型】解答
【解析】 本题购物的两个方案，第一个方案：买 7把差110元，第二个方案：买 5把还多30元，从买7把变
成买5把，少买了 7-5=2 （把），而钱的差额为：110 +30=140 （元），即140元可以买2把小提 琴，可见小提琴的单价是每把
70元，王老师一共带了 70汉7-110 =380 （元）.
【答案】小提琴单价 70元，共带380元
3千克，付钱时发现还少 3元，结果买了 2千克，又剩下
【题型】填空 7^10元，妈妈一共带了 10 10= 27 （元）钱. 【例3】班长计划用班费买一些日记本作为文娱活动的奖品,
果买每本4.2元的同样数量的日记本，将缺少
2.4元。那么班长计划买 本日记本。
【解析】盈亏问题, (11 12) "(7 _6) =23 (人)， 23 6 12 =150 (个)梨。 【巩固】小明的妈妈去买苹果，想买 妈一共带了 ________ 钱.
【考点】盈亏问题 【难度】1星 【关键词】学而思杯，1年级
【解析】由题意可知，1千克苹果是 【答案】27元
7元，小明妈
如果买每本3.5元的日记本，将剩余2.5元；如
【考点】盈亏问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第24题
【解析】（2.5+2.4）（4.235）=7 （本）
【答案】7本
【例4］猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？
【考点］盈亏问题【难度］2星【题型］解答
【解析］每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4只, 求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4） -^1=10 （张），有小猪：10X4+6=46 （只）. 【答案］10张餐布，46只小猪
【巩固］某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，贝U多出4个床位，问宿舍几间？住宿生几人？
【考盈亏问题【难度］2星【题型］解答
【解析］由已知条件
每间5人少14个床位
每间7人多4个床位
比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住（7 一5） =2人，一共要多出（14 4） =18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知
条件可求出住宿生人数. （4 14P＞（7 -5）=9 （间），5 9*14=59（人），或7 9 —4 =59 （人）
【答案］9间教室，59人
【例5］李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥。若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克, 则余下化肥200千克。那么李大爷共承包了麦田—亩，这批化肥有—千克。
【考点］盈亏问题【难度］2星【题型］填空
【关键词］华杯赛，初赛，第11题
【解析］设麦田x亩，如每亩施6千克，则缺少300千克化肥，可知现有化肥为6X-300 （千克）；如每亩施5千克，则余下200千克化肥，可知现有化肥应为5x+200（千克）。由于现有化肥量是个定值，所以
6x-300=5x+200，解得x=500（亩）。现有化肥量是5 X500+200=2700 （千克）。
【答案］500亩，2700千克
【例6］小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？
【考点］盈亏问题【难度］2星【题型］解答
【解析］迟到3分钟转化成米数：50 3 =150 （米），提前2分钟到校转化成米数：60 2 =120 （米），距离上课时间为：（150 +120）+（60 —50）=27 （分钟），家到学校的路程为：50x（27 +3）=1500 （米）. 【答案］1500米
【巩固］东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分, 那么东东家到学校的路程是_______________ 米.
【考点］盈亏问题【难度］2星【题型］填空
【解析］这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解?先求出东东从家到学校路上要用多长时间，根据已知，（80X6 +50X3）*（80 —50）=630*30=21 （分钟），然后可求东东家离校的路程为：
80 （21 -6） =1200 （米）.
【答案］1200米
【巩固］王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，就
可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？
【考点］盈亏问题【难度］2星【题型］解答
【解析】迟到3分钟转化成米数：500X3=1500 （米），提前两分钟到校转化成米数：600X2 = 1200 （米）王老师家到学校需要（1500 + 1200） -（60-50）=270 （分钟），王老师家到学校的路程：500X （270+3）=136500 （米）
【答案】136500米
【例7】幼儿园老师给小朋友分糖果?若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块?那么糖果最多有多少块？
【考点】盈亏问题【难度】4星【题型】解答
【解析】最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块.根据盈亏计算公式，人数有（1 +10）十（9—8）=11 （人）糖果最多有9汉11_1=98 （块）；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8 10）（9一8）= 18 （人），糖果最多有9x18 —8=154 （块）；所以，这批糖果最多有154块.
【答案】154块
（二）盈—盈型
【例8】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元?那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答
【解析】多8元”与多4元”两者相差8 一4 =4 （元）,每个人要多出8 一7 =1 （元）,因此就知道，共有4亠1 =4 （人），蛋糕价钱是8x4_8=24 （元）.
【答案】有4人买蛋糕，蛋糕价钱为24元
【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答
【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7 （个），两次分配之差是11—10=1 （个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7十1=7 （只），老猴子有7汇10+9=79 （个）桃子.
【答案】小猴子7只，老猴子有79个桃子
【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答
【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：70 -10 =60 （本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5 = 2 （本），相差
60 本的学生有：60+2=30 （人）.练习本有：30X5 +70=220 （本）（或30^7+10 = 220 ）.
【答案】30人，220本练习本
【巩固】智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出
3人.问：合唱队有多少人？
【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答
【解析】多9人”与多3人”两者相差9 —3 = 6（人），每条长椅要多座4 —3 = 1 （人），因此就知道，共有6^1 =6 （条）长椅，人数是6X3+9= 27 （人）.
【答案】27人
【例9】学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
【考点】盈亏问题【难度】2星【题型】解答
【解析】小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60X10 = 600 （米）；如果每分钟走50