大学物理吴百诗习题答案电磁感应

大学物理吴百诗习题答案

电磁感应

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法拉第电磁感应定律

10-1如图10-1所示，一半径a ＝，电阻R ＝×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为

T 10)583()(42-?++=t t t B

求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流；

（2）最初2s 内通过回路截面的电量。

解：（1）θcos BS S B =?=Φ

V 10)86(6.110)86()3

cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ-

=t t a t B S t i π

πθε s 2=t ，V 102.35-?-=i ε，A 102100.1102.32

3

5---?-=??-=

=R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反

（2）42

2123

112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102

i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ，

小的回路在大的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若

v dt

dx

=等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路内的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。

解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小

2

02

232

2()

IR B R x μ=

+，方向竖直向上。

R x >>时，2

03

2IR

B x

μ=

，22

203

2IR r

B S BS B r x

πμπΦ=?==?=

（2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024

32i Ir v R N πμε=

图

10-

（3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I 相同。 动生电动势

10-3 一半径为R 的半圆形导线置于磁感应强度为B

的均匀磁场

中，该导线以速度v 沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：（1）假想半圆导线在宽为2R 的U 型导轨上滑动，设顺时针

方向为回路方向，在x 处

2

1(2)2m Rx R B π=+Φ，∴22m d dx RB RBv dt dt

εΦ=-

=-=- 由于静止U 型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为

2RBv ε=- 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。

（2）任取线元dl ，()sin 90cos cos d v B dl vB dl vB Rd εθθθ=??=??=?

2

2

cos 2d vBR d vRB π

π

εεθθ-

===??，由()v B ?指向知，上端电势高

10-4长为L 的铜棒NM ，以角速度 ω 绕支点O 在水平面上转动，支点距棒的一端点N 的距

离为r ，设均匀磁场B

垂直向下，如图10-4所示。求棒两端的电势差。 解：在棒上距O 点l 处取线元dl ，方向N M →，则

()d v B dl vBdl Bldl εω=??==-

∴1

(2)2L r

NM NM r

d B ldl BL L r εωωε--==-=--??

负号表示电动势方向为M N →，)2(2

1

R L BL U NM

NM -=-=ωε 10-5两平行长直导线载有等量反向电流I ，金属棒CD 与两导

线共面且垂直，相对位置如图10-5所示。CD 棒以速度v

平行于导线电流运动时，求CD 棒中的动生电动势，哪

图10-

D

端的电势高？

解：如图建立坐标系，在x 处（棒上）取线元dx ，方向C D →，该处

0022()

I I

B x x a μμππ=

--，方向垂直纸面向上。 ∴()i d v B dx vBdx ε=??=

200021122()[ln ln ]ln 22222()

a b CD i a Iv Iv Iv a b a b a b

d dx x x a a a a b μμμεεπππ++++==-=-=??

-+ 0CD ε<，∴C 端电势高。

10-6如图10-6所示，质量为m ，长为l ，电阻为R 的金属棒AB 放置在一个倾斜的光滑U 形

框架上，并由静止下滑，磁场B

垂直向上。求：（1）U 形框架为绝缘时，AB 棒内的动生电动势与时间的函数关系；（2）U 形框架为导体时（不计电阻），AB 棒下滑速度随时间的变化关系，最大速度为多少？ 解：（1）()sin cos i v B BA vB l vBl αθε=??=?=

在斜面上，sin mg ma θ=，∴sin a g θ=

sin v at gt θ==，∴1

sin cos sin 22

i gt Bl Bglt θθθε=?=

（2）此时，在BADC 回路中产生感应电流，所以AB

22cos i

i B l F BlI Bl v R R

εθ===，方向水平向右。

沿斜面 ，sin cos i dv

mg F ma m dt

θθ-==，即 222cos sin B l dv mg v m R dt θθ-

= 解得 )1(cos sin 222cos 2

22max

t

mR

l B e l B mgR v θ

θ

θ

--=，θ

θ

2

22max cos sin l B mgR v =

。 感生电动势

10-7一长直导线中通有交变电流I ＝πt A ，在与其相距d ＝处放有一矩形线圈，共100匝，线

圈长l ＝，宽a ＝，如图10-7所示。求t 时刻：（1）线圈中的磁通链数是多少（2）线圈

图10-6

中的感生电动势是多少

解：（1）取矩形线圈的回路方向为顺时针方向，在距长直电流为x 处取宽为dx 的小面元

02I

d B dS N

ldx x

μπΦ=?=?， ∴00ln 22d a d NIl NIl dx d a x d

μμππ++Φ==?

7267

210100410ln sin100 1.3510sin100Wb 5t t ππ---=??????=?

（2）44.2410cos100V i d t dt

επ-Φ

=-

=? 10-8一半径为R 、单位长度上匝数为n 的通电长直螺线管，其横截面上的磁场如图10-8所

示。若电流的变化率为dI /dt （＞0），求：（1）管内外的感生电场；（2）当电子分别置于a 点、O 点和b 点处时，电子所获得的瞬时加速度大小和方向各为何？

解：（1）取以轴线为圆心，半径为r 的圆，回路方向为逆时针

()

2k i k L

d B S E dl r E dt

επ?=?=?=-

? r R <时：2

2k dB r r E dt ππ?=，∴022k r dB r dI n E dt dt μ==，方向逆时针方向。 a 点：102ka r dI

n E dt

μ=，电子受力1ka F e ma E =-=

∴1ka e

a E m =- 大小 0112ner dI a m dt

μ=，方向水平向右。

O 点：0ko E =，∴20a =

r R >时：2

2k dB

r R

E dt

ππ?=，∴22022k nR R dB dI E r dt r dt μ== b 点：2022kb nR dI

E r dt μ=

，∴3kb e

a E m =-，大小 20322neR dI a r dt

μ=，方向水平相左。

I

图10-

图10-8 b

10-9在半径为R 的细长螺线管内有

0>dt

dB

的均匀磁场，一等腰梯形金属框abcd 如图10-9放置。已知，ab ＝2R ，cd ＝R ，求：（1）各边产生的感生电动势；（2）线框的总电动势。

解：（1）径向上的电动势为零，即0ad cd εε==

在Odc ?中，以d c 为底，设1h 为高

2

111122R B R R B R B h =?=?=Φ

∴121cd d dB

R

dt dt

εεΦ=== 方向 d c → 在Oab ?中，2

216

R B π=?Φ，∴2226ab d R dB dt dt πεεΦ=== 方向 a b → （2）线框总电动势

221(64i dB

R dt

πεεε=-=- 互感

10-10一螺绕环横截面的半径为a ，环中心线的半径R ，R >>a ，其上由表面绝缘导线均匀地

密绕两个线圈，一个为N 1匝，另一个为N 2匝，求两线圈的互感系数。 解：设线圈1中通有电流I 1，则螺绕环中的磁感应强度 11

1102I R

N I n B πμμ== 在线圈2中的全磁通 211

22122a I R

N N BS N ππμ==ψ R

a N N I M 22

210112μ=

ψ=∴ 10-11如图10-11所示，A 、C 为两同轴的圆线圈，半径分别为R 和r ，两线圈相距为l ，若r

很小，可认为由A 线圈在C 中所产生的磁感应强度是均匀的，求两线圈的互感系数。若C 线圈匝数增加N 倍，则互感系数又为多少？ 解：设线圈A 中通有电流I ，在线圈C 的圆心处的磁感应强度

I

R B =

2

3222202

232220)(2)(2l R r R I r l R I R I BS I M +=?+==Φ=∴πμπμ 若C 线圈匝数增加N 倍，则 2

322220)

(2l R r R N I BS

N M +==∴πμ 图10-9

图10-11

10-12一长直导线旁，共面放置一长20cm 、宽10cm 、共100匝的密绕矩形线圈，长直导线

与矩形线圈的长边平行且与近边相距10cm ，如图10-12

解：在距长直导线r 处，取一面元ldr dS =，则 ldr r

I

BdS d

πμ20=

=Φ 2ln 2202.01.00πμπμIl r dr Il ==

Φ∴?，H 1077.22ln 25

0-?==Φ=π

μNl I N M

自感

10-13在长60cm 直径的纸筒上绕多少匝导线才能得到自感为×10-3 亨的线圈？

解：螺线管的自感 V n L 2

0μ=，l R N l R l

N L 2202

220πμπμ=??=∴

有 12082

0==

R Ll

N πμ （匝）

10-14管长l ，匝数N 的螺线管，管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1和

S 2，磁导率分别为μ1和μ2，如图10-14所示。求该螺线管的自感系数。

解：设通电流I ，则两介质中的磁场分别为 I l N B 11μ=，I l

N

B 22μ=11111S l NI S B μ==Φ∴，22222S l

NI

S B μ==Φ )()(2211221S S l I N N μμ+=Φ+Φ=ψ，)(22112S S l

N I L μμ+=ψ=∴

10-15两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心相距为d ，如图10-15所示。两导线中通以

等值、反向的电流I ，求单位长度上的自感系数。（设导线内的磁通量忽略不计） 解：两导线间的磁感应强度 )

(2200r d I

r I B -+=

πμπμ 则穿过图中阴影部分的磁通量为 a

a

d Il Bldr S d B a d a S -==?=Φ??-ln 0πμ

单位长度上的自感系数 a

a

d l I L -=Φ=

ln 0πμ S 图10-14

图10-12 I

图10-15

磁能

10-16 —个螺线管的自感为10 mH ，通过线圈的电流为4A ，求它所储存的磁能。

解：J 108410102

1

212232--?=???==LI W

10-17设一无限长同轴电缆为圆柱形导体（半径为R 1，磁导率为μ1）与半径为R 2（R 2＞R 1）

的金属圆筒组成，如图10-17所示。在金属圆柱与圆筒间充以磁导率为μ2的磁介质，电流I 由圆筒流去，由圆柱形导体流回。求单位长度的总磁能。 解：由安培环路定律

1R r <：21112R Ir B πμ=

；21R r R <<：r

I

B πμ222

=；2R r >时：03=B 。 πμππμμ162)21(21210

2

1111

l I rldr R Ir

W R m =?=∴?

1

2

222222ln

42)2(21

2

1

R R l I rldr r I W R R m πμππμμ=?=?

单位长度总磁能 )ln 4(4)(1'1

221

221R R I W W l W m m m μμπ+=+=

位移电流

10-18试证：平行板电容器中的位移电流可以写为dt

dU

C I

D =。 证：dt d I D D Φ=

，DS D =Φ，d

U

E D r r εεεε00== )()(0S d U dt d DS dt d I r D ?==

∴εε。又 d S C r εε0=，dt

dU

C

CU dt d I D ==∴)( 得证。 10-19一平行板电容器的两板面积均为S 的圆形金属板，接于一交流电源时，板上的电荷随

时间变化，即q 0＝q m sin ω t 。（1）试求电容器中的位移电流密度；（2）试证两板之间某点的磁感应强度为t S

r q B m ωωμcos 20

=

，其中r 为由圆板中心线到该点的距离。 解：（1）t q q m ωsin 0=，对平板电容器 t S q S q D m ωσsin 0==

=。t S

q t D j m D ωωcos =??=∴ （2）22r j I r H l d H D D ππ?==?=??

图10-17

2

t S r

q r j H m D ωωcos 22==

∴，t S

r q H B m ωωμμcos 200==