课题:1.3.1函数的单调性
教学目标
(一)、知识目标
1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;
2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;
(二)、能力目标
1、对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;
2、对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
(三)、情感目标
1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;
2、让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程,感受数形结合的美.
教学重点:函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性.
教学难点:归纳抽象函数单调性的定义,用定义证明函数的单调性.
教学用具:直尺,彩色粉笔,小黑板
课型:新授课.
课时:第1课时.
教学方法:探究研讨法,讲练结合法。
教学过程:
(一)创设情境,引入课题
这是某市2010年元旦这一天24小时的温度变化图,观察这个温度变化图,
(1) 什么时候温度最低,什么时候温度最高
(4点最低,14点的时候最高)
(2)从0点到14点,温度是怎样变化的,从4点到14点,温度有事随着时间怎样变化的(0点到4点,逐渐下降,4点到14点逐渐上升的)
随着时间的推移,气温先下降,后上升再下降.
这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性. (二)讲授新课
函数,我们在初中的时候都已经学过了,也学过函数的增减性,那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质,我们是如何知道的呢?通过观察图像
那我们先来看一下几个简单的函数图像,画出 2y x =+,2y x =-+,2y x =函数的图像 大家先观察第一个图像,从左至右上升 第二个图像,从左至右下降
那对于第三个图像呢,(,0)-∞下降,(0,)+∞上升,图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性,也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降,那思考一下,如何来描述函数的单调性呢?我们先来看一下2y x =这个图像,我们可以再y 轴右边取一些
通过这个表格,我们可以发现,
自变量x 增大时,函数值y 也相应的增大,那如果我们在y 轴右边不是取的一些整数点,而是任意的取两点,1x ,2x ,同学们思考一下是不是有
22
12
x x <,函数2()f x x =图象在y
轴左侧从左至右“下降”,函数图象在y 轴右侧从左至右
“ 上升”; 现在以2()f x x =在y 轴右侧为例,函数值()f x 随x 的增大而增大,我们就说2()f x x =在(0,)+∞上为增函数,这是从图象的角度来认识增函数的.如何从解析式的角度用数学语言来描述它呢?
从解析式角度用数学语言描述:在区间(0,)+∞上,任意取两个实数1x ,2x ,由解析
式可得到22
1212()()f x f x x x -=-=1212()()x x x x +-,当12x x <时,有12()()f x f x <.所以函
数2()f x x =在区间(0,)+∞上为增函数.
对于一般的函数()y f x =,我们应当如何给增函数下定义
1、增函数的定义
设函数()f x 的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ,2x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上为增函数.
现在我们看2()f x x =在y 轴左侧,随着自变量x 的增大,函数值()f x 反而减小,就称2()f x x =在(,0)-∞上为减函数.可类似用上述数学语言描述可得到当12x x <时,有
12()()f x f x >.
于是类比上述的定义方法归纳出减函数的定义. 2、减函数的定义
设函数()f x 的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ,2x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.
如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间.
说明: 1)增函数的图象从左至右是上升的,减函数的图象从左至右是下降的;
2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是函数的局部性质;
(三)例题讲解,深化知识
例1 如图所示函数y= f(x )是定义在[-5,5]上的单调函数,说出它的单调区间以及
在这些区间上是增函数还是减函数?
例2 物理学中的玻意耳定律k
P V
=
(k 为常数),告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强P 将增大,试用函数的单调性证明之。
分析:把k P V =看成是一个函数,V 为自变量,P 为函数值,则只要证明函数k P V =在
区间(0,)+∞上是减函数即可。
证明:任取12,V V (0,)∈+∞,且12V V <,
1212
()()k k
P V P V V V -=
- 2121()k V V V V -=
, 由12,(0,)V V ∈+∞得120VV >, 又由12V V <得210V V ->.
又0k >,于是 12()()0P V P V ->,即12()()P V P V >.
所以函数k
P V
=
在((0,)+∞上为减函数,当体积V 减小时,压强P 增大. 总结:通过这个例题可以归纳出用定义证明函数单调性一般有四个步骤: (1)设值:任取1x ,1x ∈D ,且12x x <;
(2)作差变形:作差12()()f x f x -,通常采用因式分解、配方、有理化等变形; (3)定号,即确定差12()()f x f x -的符号; (4)结论,即根据定义作出结论. (四)反馈练习,巩固提高
课堂练习:证明函数x x f =)(在(0,)+∞上是增函数. (五)课堂小结
提问:这节课你学到了哪些新知识?然后归纳总结: 1、单调函数的图像的特征和单调性的定义. 2、判断单调性的方法有两种:图像法、定义法. 3、用定义证明函数单调性的四个步骤. (六)布置作业
必做题:课本P39习题1.3的A 组1,2,3题.
探究题:探究函数)0(1
>+=x x
x y 的单调性,画出其草图,并证明你的结论
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