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2011届高三毕业班月考试卷(2)文

恩溢学校高三数学理科测试题（二）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知全集B C A B A I I ?===则集合集合},4,1{},5,4,3,1{},6,5,4,3,2,1{等于（）

A ．{1，4}

B ．{2，6}

C ．{3，5}

D ．{2，3，5，6}

2.等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列.若1a =1，则4s =（） A ．7 B . 8 C.15 D .16

3．如图的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（） A. i>5 B. i> 6 C. i> 7 D. i> 8

4．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）

5．已知函数)0)(3

sin()(>+=ωπ

ωx x f 的最小正周期为π，

则该函数图象 ( )

A ．关于点)0,3

(π

对称， B ．关于直线4π

=x 对称，

C ．关于点)0,4

(

对称， D ．关于直线3

x 对称，

6.5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为（）

7.设圆x 2+y 2

－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c 的值为（） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1

8.已知函数x x f x

2log )3

1()(-=，正实数a 、b 、c

成公差为正数的等差数列，且满足

A B C D 5 x z 3 4 4 4 4 4 3

7 8 9

4 4 6 4 7 3

0)()()(

立的是（） A ．a x <0 B ．b x >0 C ．c x <0 D ．c x >0

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只需选做一题，二题全答的，只计算前一题得分．）

9．(1)(12)i i -+= .

10.某校举行2010年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，． 11．如图，由曲线x x x x y 与π2

,0,sin ===阴影部分的面积是。

12.某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有8个指示灯，每次显示其中的4个，且恰有3个相邻的。则一共显示的不同信号数是。 13．给出下面四个命题：

①m=3是直线05602)3(=+-=-++y mx my x m 与直线互相垂直的充要条件； ②c b a ac b ,,是=

三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；

③p 、q 为简单命题，则“p 且q 为假命题”是“p 或q 为假命题”的必要不充分条件； ④两个向量相等是这两个向量共线的充分非必要条件.

⑤从某地区20个商场中抽取8个调查其收入和售后服务情况，宜采用分层抽样。其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题，两道题都做的，只记第一题的分.） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线132cos :(22sin x C y θ

θθ

=+??

=+?为参数）

，曲线213:14x t

C y t =+??

=-?

（t 为参数），则1C 与2C 的位置关系为________.

15.(几何证明选讲选做题)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， AP 和过C 的切线互相垂直，垂足为P ，过B 的切线交过C 的切线于T ， PB 交⊙O 于Q ，若120BTC ∠=?，AB=4，则PQ PB ?= .

三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

请在指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且.5

cos =

（1）求A C

B 2cos 2

sin

++的值；（2）若a S ABC b 求的面积,3,2=?=的值。

17．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设甲面试合格的概率为

12，乙、丙面试合格的概率都是1

，且面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．

18．（本题满分14分）

如图所示的长方体1111ABCD A BC D -中，

底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD

的交点，1BB M 是线段11B D 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ；（Ⅱ）求证：1D O ⊥平面1ABC ；（Ⅲ）求二面角1B AB C --的大小．

19．在等比数列}{n a 中，)(0*

N n a n ∈>，16,442==a a ，n n a b 2log 5-=

（Ⅰ）求数列{bn}的前n 项和n S ；

第18题图

（Ⅱ）是否存在*

N k ∈，使得

k n

S S S n <+++ 212

1对任意*N n ∈恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21→

--→--?PF PF 的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？

若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(2

)(2．（I ）若2

a ，求函数)(x f 的极值；（II ）若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．

数学（理科）试卷答案

一、选择题 CCAB ADBD 二、填空题

9．3i + 10．85，

1.6 11．3 12．320 13．②、③、④ 14.相离． 15. PQ PB ?=3．三、解答题

17．解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，

且11

(),()()23

P A P B P C =

==.------------------------------------------------------2分（1）至少有1人面试合格的概率是

1227

1()1()()()1.2339

P ABC P A P B P C -=-=-??=----------------------4分

（2）ξ的可能取值为0，1，2，3.----------------------------------------------------------5分 ∵ (0)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++

＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝

1121211224

.2332332339

??+??+??=---------------------------6分 (1)()()()P P A B C P A B C P A

B C ξ==++

=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++

=1211121224

.2332332339

??+??+??=--------------------------------7分 1111

(2)()()()().23318P P A B C P A P B P C ξ====??=---------------------8分 1111

(3)()()()().23318

P P A B C P A P B P C ξ====??=----------------------9分 ∴ξ的分布列是

--------10分

ξ的期望441113

0123.99181818

E ξ=?+?+?+?=----------------------------------------12分

18．（本题满分14分）

解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形， ∴四边形1D OBM 是平行四边形，∴1//D O BM ． …………………………2分

∵1D O ?平面1D AC ，BM ?平面1D AC ， ∴//BM 平面1D AC ．………………………… 4分

（Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB

∴11B D =12OB =，12D O =，

则222

1111OB DO B D +=，∴11OB

DO ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥， ∴AC ⊥平面11BDD B ，又1D O ?平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥，又1AC OB O = ，

∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ，连结EC ， ∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥，

∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ?平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CB BE B = ，

∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ?平面EBC ， ………………………………10分 ∴1AB EC ⊥．

∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………………12分

在Rt BEC ?中，BE =

，2BC =

∴tan BEC ∠=60BEC ∠=

，

∴二面角1B AB C --的大小为60

． ………………………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，则点(1,1,0)O 、

1D ，

∴1(1,1OD =--

又点(2,2,0)B ，(1,1M ，

∴(1,1BM =--

∴1OD BM =

，且1OD 与BM 不共线，

∴1//OD BM ．

又1D O ?平面1D AC ，BM ?平面1D AC ，

∴//BM 平面1D AC ． …………………………………4分

（Ⅱ）∵11(1,1(1,10OD OB ?=--?= ，1(1,1(2,2,0)0OD AC ?=--?-=

∴11OD OB ⊥ ，1OD AC ⊥

，即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，

又1OB AC O = ，∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………………………8分（Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥，∴CB ⊥平面1ABB ，

∴(2,0,0)BC =-

为平面1ABB 的法向量．

∵11OD OB ⊥ ，1OD AC ⊥ ，

∴1(1,1OD =--

为平面1ABC 的法向量．

∴11cos ,2

BC OD <>= ，

∴BC 与1OD 的夹角为60 ，即二面角1B AB C --的大小为60

．………………14分

（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ?在平面1AB

B 内的射影就是1AB B ?，根据射影面积公式可得11cos AB B AB C

S S α??=

，111

AB B S AB B B ?=

??=

，111

2AB C S AC B O ?=

??=

∴111

cos 2

AB B AB C S S α??=

==，∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. 解：(1)∵16,442==a a a n >0 2=∴

n n a 2=

…………2分

∴n

a b n 32

log 2

=＝5－n ， b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 216＝log 224＝4，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列 …………5分

∴S n ＝n (9－n )2

. …………7分

(2)由(1)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n

当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n

n ＝0；

当n >9时，S n

<0. …………10分

∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n

n ＝18最大． …………13分

故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n

k 的最小值为19. …………14分

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y ……………………7分

由方程组22

22221(54)501252005

4(5)x y k x k x k y k x ?+=?+-+-=??=-?

，得

依题意2

20(1680)055

k k ?=->-

，得 …………9分当5

55<

k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则4

5252,455022

2102

221+=+=+=+k k x x x k k x x .4

520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k

k k k x k y

又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F

1204204

5251)4520(02

222-=-=+-+-

-?=?∴k k k k k k

k k k R

F …………12分 ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|

综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| …………14分

21、解：（I ）()x

x x x x x f 22

522512+-=-+='， …………2分

()0='x f ，得2

x ，或22=x ，列表：

函数)(x f 在2

x 处取得极大值2ln 87)21(-=f ， …………4分

函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………6分

（II ）方法1：())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)3

,2(1∈+x x ，

（i ）当21≤+a ，即1≤a 时，

()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数

()3,1∈?x ，()()01=>f x f 恒成立； …………8分

（ii ）当3101≥+a ，即3

≥a 时，

()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数

()3,1∈?x ，()()01=

（iii ）当31012<+

()3,1∈x 时，()x f '先取负，再取，最后取正，函数)(x f 在()3,1先递减，再递增，

而()01=f ，∴()3,1∈?x ，()()01=>f x f 不能恒成立；…………13分

综上，a 的取值范围是1≤a . ----------------------14分方法2：∵2121=?≥+

x x x x ，∴()a a x

x x f -≥--+='111

（i ）当1≤a 时，()01≥-≥'a x f ，而()a x

x x f --+='11

不恒为0，

∴函数)(x f 是单调递增函数，()3,1∈?x ，()()01=>f x f 恒成立；………8分（ii ）当1>a 时，令()x

x a x x f 1

)1(2++-='，

设01)1(2=++-x a x 两根是)(,2121x x x x <， ∵2121>+=+a x x ，121=x x ，∴2110x x <<< 当∈x ),(21x x 时，()0<'x f ，()x f 是减函数，

∴)()1()(21x f f x f <<，而()01=f ，∴)(0)(21x f x f << …………13分若32≤x ，∵()3,1∈?x ，()0>x f ，∴0)1()(2=>f x f ，不可能，

若32>x ，函数)(x f 在()3,1是减函数，()0)1(3=

综上，a 的取值范围是1≤a . …………14分

方法3：()()41,1)1(2

2-+=?++-=

'a x

x a x x f （i ）当0≤?，即13≤≤-a 时，函数()x f y =在()3,1上为增函数，

()3,1∈?x ，()()01=>f x f 恒成立；（ii ）当0>?，即3-a 时，

①若3-

()3,1∈x ，∴()01

)1(2>++-='x

x a x x f ()x f 在()3,1增函数，()3,1∈?x ，()()01=>f x f 恒成立；………… 8分

②若1>a ，由()0='x f ，得()()02

∵任意的()3,1∈x ，()0>x f 恒成立，而()01=f ，

>-+-+a a a a a 与1>a 矛盾，

()()12

112<-+++a a ，也与1>a 矛盾，

以上两式都与1>a 矛盾，对任意的()3,1∈x ，()0>x f 不能恒成立，

综上，a 的取值范围是1≤a . …………14分