生物统计学课后习题答案(第三版)
第一章统计数据的收集与整理1.1 算术平均数是怎样计算的？为什么要计算平均数？
答：算数平均数由下式计算：n y
y
n
i
i
∑
=
=1
，含义为将全部观测值相加再被观测值的个数
除，所得之商称为算术平均数。计算算数平均数的目的，是用平均数表示样本数据的集中点，或是说是样本数据的代表。
1.2 既然方差和标准差都是衡量数据变异程度的，有了方差为什么还要计算标准差？
答：标准差的单位与数据的原始单位一致，能更直观地反映数据地离散程度。
1.3 标准差是描述数据变异程度的量，变异系数也是描述数据变异程度的量，两者之间有什么不同？
答：变异系数可以说是用平均数标准化了的标准差。在比较两个平均数不同的样本时所得结果更可靠。
1.4 完整地描述一组数据需要哪几个特征数？
答：平均数、标准差、偏斜度和峭度。
1.5 下表是我国青年男子体重（kg）。由于测量精度的要求，从表面上看像是离散型数据，不要忘记，体重是通过度量得到的，属于连续型数据。根据表中所给出的数据编制频数分布表。
66 69 64 65 64 66 68 65 62 64 69 61 61 68 66 57 66 69 66 65 70 64 58 67 66 66 67 66 66 62 66 66 64 62 62 65 64 65 66 72 60 66 65 61 61 66 67 62 65 65 61 64 62 64 65 62 65 68 68 65 67 68 62 63 70 65 64 65 62 66 62 63 68 65 68 57 67 66 68 63 64 66 68 64 63 60 64 69 65 66 67 67 67 65 67 67 66 68 64 67 59 66 65 63 56 66 63 63 66 67 63 70 67 70 62 64 72 69 67 67 66 68 64 65 71 61 63 61 64 64 67 69 70 66 64 65 64 63 70 64 62 69 70 68 65 63 65 66 64 68 69 65 63 67 63 70 65 68 67 69 66 65 67 66 74 64 69 65 64 65 65 68 67 65 65 66 67 72 65 67 62 67 71 69 65 65 75 62 69 68 68 65 63 66 66 65 62 61 68 65 64 67 66 64 60 61 68 67 63 59 65 60 64 63 69 62 71 69 60 63 59 67 61 68 69 66 64 69 65 68 67 64 64 66 69 73 68 60 60 63 38 62 67 65 65 69 65 67 65 72 66 67 64 61 64 66 63 63 66 66 66 63 65 63 67 68 66 62 63 61 66 61 63 68 65 66 69 64 66 70 69 70 63 64 65 64 67 67 65 66 62 61 65 65 60 63 65 62 66 64
答：首先建立一个外部数据文件，名称和路径为：E:\data\exer1-5e.dat。所用的SAS程序和计算结果如下：
proc format;
value hfmt
56-57='56-57' 58-59='58-59' 60-61='60-61'
62-63='62-63' 64-65='64-65' 66-67='66-67'
68-69='68-69' 70-71='70-71' 72-73='72-73'
74-75='74-75';
run;
data weight;
infile 'E:\data\exer1-5e.dat';
input bw @@;
run;
proc freq;
table bw;
format bw hfmt.;
run;
The SAS System
Cumulative Cumulative
BW Frequency Percent Frequency Percent
-----------------------------------------------------
56-57 3 1.0 3 1.0
58-59 4 1.3 7 2.3
60-61 22 7.3 29 9.7
62-63 46 15.3 75 25.0
64-65 83 27.7 158 52.7
66-67 77 25.7 235 78.3
68-69 45 15.0 280 93.3
70-71 13 4.3 293 97.7
72-73 5 1.7 298 99.3
74-75 2 0.7 300 100.0
1.6 将上述我国男青年体重看作一个有限总体，用随机数字表从该总体中随机抽出含量为10的两个样本，分别计算它们的平均数和标准差并进行比较。它们的平均数相等吗？标准差相等吗？能够解释为什么吗？
答：用means过程计算，两个样本分别称为1y和2y，结果见下表：
The SAS System
Variable N Mean Std Dev
----------------------------------------
Y1 10 64.5000000 3.5039660
Y2 10 63.9000000 3.1780497
----------------------------------------
随机抽出的两个样本，它们的平均数和标准差都不相等。因为样本平均数和标准差都是统计量，统计量有自己的分布，很难得到平均数和标准差都相等的两个样本。
1.7 从一个有限总体中采用非放回式抽样，所得到的样本是简单的随机样本吗？为什么？本课程要求的样本都是随机样本，应当采用哪种抽样方法，才能获得一随机样本？
答：不是简单的随机样本。从一个有限总体中以非放回式抽样方法抽样，在前后两次抽样之间不是相互独立的，后一次的抽样结果与前一次抽样的结果有关联，因此不是随机样本。应采用随机抽样的方法抽取样本，具体说应当采用放回式抽样。
1.8 证明
()()
∑∑
==
±
='
-
=
'
-'
n
i
n
i
i
i
i
i
C
y
y
y
y
y
y
11
2
2,。
其中
若用C
y
y i
i
=
'
或i
i
Cy
y=
'
编码时，前式是否仍然相等？
答：（1）令 C y y i i ±='
则 C y y ±=' 平均数特性之③。
()()()[]
()
∑∑∑===-=±-±='-'n
i i n i i n
i i y y C y C y y y 1
2
12
12
（2） 令 C y y i
i =' 则
C y
y =
' 平均数特性之②。
()
()2
1
2
2
112
C y y C y C y
y y n
i i n
i i n
i i
∑∑∑===-=
?
?? ??-='-'
用第二种编码方式编码结果，两式不再相等。
1.9 有一个样本：n y y y ,,,21 ，设B 为其中任意一个数值。证明只有当y B =时，
()
∑=-n
i B y 1
2
最小。这是平均数的一个重要特性，在后面讲到一元线型回归时还会用到
该特性。
答：令 ()∑-=2B y p ， 为求使p 达最小之B ，令()
02
=?-?∑B B y
则 ()y
n y B B y ==
=-∑∑02 。
1.10 检测菌肥的功效，在施有菌肥的土壤中种植小麦，成苗后测量苗高，共100株，数据如下[1]：
10.0 9.3 7.2 9.1 8.5 8.0 10.5 10.6 9.6 10.1 7.0 6.7 9.5 7.8 10.5 7.9 8.1 9.6 7.6 9.4 10.0 7.5 7.2 5.0 7.3 8.7 7.1 6.1 5.2 6.8 10.0 9.9
7.5
4.5 7.6 7.0 9.7 6.2 8.0 6.9 8.3
8.6 10.0
4.8
4.9
7.0
8.3
8.4
7.8
7.5
6.6 10.0 6.5 9.
5 8.5 11.0 9.7 6.
6 10.0 5.0
6.5 8.0 8.4 8.
3 7.
4 7.
4
8.1 7.7 7.5 7.1
7.8 7.6 8.6 6.
0 7.0 6.
4
6.7 6.3 6.4 11.0
10.5 7.8 5.0 8.
0 7.0 7.
4
5.2
6.7 9.0 8.6
4.6 6.9 3.5 6.
2 9.7 6.
4
5.8
6.4 9.3 6.4
编制苗高的频数分布表，绘制频数分布图，并计算出该样本的四个特征数。
答：首先建立一个外部数据文件，名称和路径为：E:\data\exr1-10e.dat。SAS程序及结果如下：
options nodate;
proc format;
value hfmt
3.5-
4.4='3.5-4.4' 4.5-
5.4='4.5-5.4' 5.5-
6.4='5.5-6.4'
6.5-
7.4='6.5-7.4' 7.5-
8.4='7.5-8.4' 8.5-
9.4='8.5-9.4'
9.5-10.4='9.5-10.4' 10.5-11.4='10.5-11.4';
run;
data wheat;
infile 'E:\data\exr1-10e.dat';
input height @@;
run;
proc freq;
table height;
format height hfmt.;
run;
proc capability graphics noprint;
var height;
histogram/vscale=count;
inset mean var skewness kurtosis;
run;
The SAS System
The FREQ Procedure
Cumulative Cumulative
height Frequency Percent Frequency Percent ---------------------------------------------------------------------
3.5-
4.4 1 1.00 1 1.00
4.5-
5.4 9 9.00 10 10.00
5.5-
6.4 11 11.00 21 21.00
6.5-
7.4 23 23.00 44 44.00
7.5-8.4 24 24.00 68 68.00
8.5-9.4 11 11.00 79 79.00
9.5-10.4 15 15.00 94 94.00
10.5-11.4 6 6.00 100 100.00
1.11 北太平洋宽吻海豚羟丁酸脱氢酶（HDBH）数据的接收范围频数表[2]如下：（略作调整）
HDBH数据的接收范围
频数
/(U·L-1)
<214 1
<245.909 1 3
<277.818 2 11
<309.727 3 19
<341.636 4 26
<373.545 5 22
<405.454 5 11
<437.363 6 13
<469.272 7 6
<501.181 8 3
<533.090 9 2
根据上表中的数据作出直方图。
答：以表中第一列所给出的数值为组界，直方图如下：
1.12 灵长类手掌和脚掌可以握物一侧的皮肤表面都有突起的皮肤纹嵴。纹嵴有许多特
征，这些特征在胚胎形成之后是终生不变的。人类手指尖的纹型，大致可以分为弓、箕和斗三种类型。在手指第一节的基部可以找到一个点，从该点纹嵴向三个方向辐射，这个点称为三叉点。弓形纹没有三叉点，箕形纹有一个三叉点，斗形纹有两个三叉点，记录从三叉点到箕或斗中心的纹嵴数目称为纹嵴数（finger ridge count, FRC）。将双手十个指尖的全部箕形纹的纹嵴数和/或斗形纹两个纹嵴数中较大者相加，称为总纹嵴数（total finger ridge count, TFRC）。下表给出了大理白族人群总纹嵴数的频数分布[3]：
TFRC分组中值频数
11~30 20 2
31~50 40 1
51~70 60 8
71~90 80 29
91~110 100 54
111~130 120 63
131~150 140 68
151~170 160 51
171~190 180 18
191~210 200 6
首先判断数据的类型，然后绘出样本频数分布图，计算样本的四个特征数并描述样本分布形态。
答：总纹脊数属计数数据。
计数数据的频数分布图为柱状图，频数分布图如下：
样本特征数（以TFRC的中值计算）SAS程序：
options nodate;
data tfrc;
do i=1 to 10; input y @@;
input n @@;
do j=1 to n;
output;
end;
end;
cards;
20 2
40 1
60 8
80 29
100 54
120 63
140 68
160 51
180 18
200 6
;
run;
proc means mean std skewness kurtosis;
var y;
run;
结果见下表：
The SAS System
Analysis Variable : Y
Mean Std Dev Skewness Kurtosis
------------------------------------------------------
126.5333333 32.8366112 -0.2056527 -0.0325058
------------------------------------------------------从频数分布图可以看出，该分布的众数在第七组，即总纹脊数的中值为140的那一组。分布不对称，平均数略小于众数，有些负偏。偏斜度为-0.2056527，偏斜的程度不是很明显，基本上还可以认为是对称的，峭度几乎为零。
1.13 海南粗榧叶长度的频数分布[4]：
叶长度/mm 中值频数
2.0~2.2 2.1 390
2.2~2.4 2.3 1 434
2.4~2.6 2.5 2 643
2.6~2.8 2.7 3 546
2.8~
3.0 2.9 5 692
3.0~3.2 3.1 5 187
3.2~3.4 3.3 4 333
3.4~3.6 3.5 2 767
3.6~3.8 3.7 1 677
3.8~
4.0 3.9 1 137
nag
4.0~4.2 4.1 667
4.2~4.4 4.3 346
4.4~4.6 4.5 181
绘出频数分布图，并计算偏斜度和峭度。
答：表中第一列所给出的数值为组限，下图为海南粗榧叶长度的频数分布图。
计算偏斜度和峭度的SAS程序和计算结果如下：
options nodate;
data length;
do i=1 to 13; input y @@;
input n @@;
do j=1 to n;
output;
end;
end;
cards;
2.1 390
2.3 1434
2.5 2643
2.7 3546
2.9 5692
3.1 5187
3.3 4333
3.5 2767
3.7 1677
3.9 1137
4.1 667
4.3 346
4.5 181
;
run;
proc means n skewness kurtosis;
var y;
run;
The SAS System
Analysis Variable : Y
n Skewness Kurtosis
---------------------------------
30000 0.4106458 0.0587006
---------------------------------
样本含量n＝30000，是一个很大的样本，样本的偏斜度和峭度都已经很可靠了。偏斜度为0.41，有一个明显的正偏。
1.14 马边河贝氏高原鳅繁殖群体体重分布如下[5]：
体质量/g 中值雌鱼雄鱼
2.00~
3.00 2.50 1 4
3.00~
4.00 3.50 6 7
4.00~
5.00 4.50 13 11
5.00~
6.00 5.50 30 25
6.00~
7.00 6.50 25 25
7.00~8.00 7.50 16 23
8.00~9.00 8.50 21 17
9.00~10.00 9.50 18 16
10.00~11.00 10.50 12 4
11.00~12.00 11.50 3
12.00~13.00 12.50 2
首先判断数据的类型，然后分别绘制雌鱼和雄鱼的频数分布图，计算样本平均数、标准差、偏斜度和峭度并比较两者的变异程度。
答：鱼的体重为度量数据，表中第一列所给出的数值为组限。在下面的分布图中雌鱼和雄鱼的分布绘在了同一张图上，以不同的颜色表示。
计算统计量的SAS程序与前面的例题类似，这里不再给出，只给出结果。
雌鱼：
The SAS System
Analysis Variable : Y
N Mean Std Dev Skewness Kurtosis
-----------------------------------------------------------
147 7.2414966 2.1456820 0.2318337 -0.6758677
-----------------------------------------------------------
雄鱼：
The SAS System
Analysis Variable : Y
N Mean Std Dev Skewness Kurtosis
-----------------------------------------------------------
132 6.7803030 1.9233971 -0.1322816 -0.5510332
-----------------------------------------------------------
直观地看，雄鱼的平均体重低于雌鱼。雌鱼有一正偏，雄鱼有一负偏。因此，相对来说雌鱼低体重者较多，雄鱼高体重者较多。但两者都有很明显的负峭度，说明“曲线”较平坦，两
尾翘得较高。
1.15 黄胸鼠体重的频数分布[6]：
组界/g 频数
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 总数169 绘制频数分布图，从图形上看分布是对称的吗，说明什么问题？ 答：下面是频数分布图： 从上图可见，图形不是对称的，有一些正偏。说明在该黄雄鼠群体中，低体重者分布数量，高于高体重者的数量。另外，似乎峭度也有些低。 1.16 25名患者入院后最初的白细胞数量（×103）[7]如下表： 8 5 12 4 11 6 8 7 7 12 7 3 11 14 11 9 6 6 5 6 10 14 4 5 5 计算白细胞数量的平均数、方差和标准差。 答：用means过程计算，程序不再给出，只给出运行结果。 The SAS System Analysis Variable : Y N Mean Variance Std Dev ------------------------------------------- 25 7.8400000 10.3066667 3.2103998 -------------------------------------------- 1.17 细胞珠蛋白基因（CYGB）可能是非小细胞肺癌（NSCLC）的抑制基因之一。一个研究小组研究了该基因的表达、启动子甲基化和等位基因不平衡状态等，以便发现它与肿瘤发病间的关联。下面列出了其中15名患者的基因表达（肿瘤患者/正常对照，T/N），肿瘤患者与正常对照甲基化指数差（MtI T-MtI N）[8]： 样本号T/N MtI T-MtI N 357 0.014 0.419 370 0.019 0.017 367 0.035 0.105 316 0.044 0.333 369 0.054 0.170 358 0.084 0.246 303 0.111 0.242 314 0.135 0.364 308 0.236 0.051 310 0.253 0.520 341 0.264 0.200 348 0.315 0.103 323 0.359 0.167 360 0.422 0.176 336 0.442 0.037 计算以上两项指标的平均数和标准差并计算两者的变异系数，这两个变异系数可以比较吗？为什么？ 答：记T/N为1y，MtI T-MtI N为2y，用means过程计算，SAS运行的结果见下表： The SAS System Variable N Mean Std Dev CV ------------------------------------------------------ Y1 15 0.1858000 0.1505624 81.0346471 Y2 15 0.2100000 0.1465274 69.7749634 ------------------------------------------------------ 两个变异系数是可以比较的，因为它们的标准差都是用平均数标准化了的，已经不存在不同单位的影响了。 第二章概率和概率分布 2.1做这样一个试验，取一枚五分硬币，将图案面称为A，文字面称为B。上抛硬币，观察落下后是A向上还是B向上。重复10次为一组，记下A向上的次数，共做10组。再以100次为一组，1 000次为一组，各做10组，分别统计出A的频率，验证2.1.3的内容。 答：在这里用二项分布随机数模拟一个抽样试验，与同学们所做的抽样试验并不冲突。 以变量Y表示图向上的次数，n表示重复的次数，m表示组数，每次落下后图向上的概率φ＝1/2。SAS程序如下，该程序应运行3次，第一次n＝10，第二次n＝100，第三次n＝1000。 options nodate; data value; n=10; m=10; phi=1/2; do i=1 to m; retain seed 3053177; do j=1 to n; y=ranbin(seed,n,phi); output; end; end; data disv; set value; by i; if first.i then sumy=0; sumy+y; meany=sumy/n; py=meany/n; if last.i then output; keep n m phi meany py; run; proc print; title 'binomial distribution: n=10 m=10'; run; proc means mean; var meany py; title 'binomial distribution: n=10 m=10'; run; 以下的三个表是程序运行的结果。表的第一部分为每一个组之Y的平均结果，包括平均的频数和平均的频率，共10组。表的第二部分为10组数据的平均数。从结果中可以看出，随着样本含量的加大，样本的频率围绕0.5做平均幅度越来越小的波动，最后稳定于0.5。 binomial distribution: n=10 m=10 OBS N M PHI MEANY PY 1 10 10 0.5 5.7 0.57 2 10 10 0.5 4.5 0.45 3 10 10 0.5 5.1 0.51 4 10 10 0. 5 6.1 0.61 5 10 10 0.5 6.1 0.61 6 10 10 0.5 4.3 0.43 7 10 10 0.5 5.6 0.56 8 10 10 0.5 4.7 0.47 9 10 10 0.5 5.2 0.52 10 10 10 0.5 5.6 0.56 binomial distribution: n=10 m=10 Variable Mean ---------------------- MEANY 5.2900000 PY 0.5290000 ---------------------- binomial distribution: n=100 m=10 OBS N M PHI MEANY PY 1 100 10 0.5 49.71 0.4971 2 100 10 0.5 49.58 0.4958 3 100 10 0.5 50.37 0.5037 4 100 10 0. 5 50.11 0.5011 5 100 10 0.5 49.70 0.4970 6 100 10 0.5 50.04 0.5004 7 100 10 0.5 49.20 0.4920 8 100 10 0.5 49.74 0.4974 9 100 10 0.5 49.37 0.4937 10 100 10 0.5 49.86 0.4986 binomial distribution: n=100 m=10 Variable Mean ---------------------- MEANY 49.7680000 PY 0.4976800 ---------------------- binomial distribution: n=1000 m=10 OBS N M PHI MEANY PY 1 1000 10 0.5 499.278 0.49928 2 1000 10 0.5 499.679 0.49968 3 1000 10 0.5 499.108 0.49911 4 1000 10 0. 5 500.04 6 0.50005 5 1000 10 0.5 499.81 7 0.49982 6 1000 10 0.5 499.236 0.49924 7 1000 10 0.5 499.531 0.49953 8 1000 10 0.5 499.936 0.49994 9 1000 10 0.5 500.011 0.50001 10 1000 10 0.5 500.304 0.50030 binomial distribution: n=1000 m=10 Variable Mean ---------------------- MEANY 499.6946000 PY 0.4996946 ---------------------- 2.2 每个人的一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X 染色体来自外祖父的概率是多少？来自祖父的概率呢？ 答： （1）设A 为一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的事件，则 ()41 211211= ???=A P （2）设B 为男性的X 染色体来自外祖父的事件，则 ()21211=? =B P （3）设C 为男性的X 染色体来自祖父的事件，则 ()0=C P 2.3 假如父母的基因型分别为I A i 和I B i 。他们的两个孩子都是A 型血的概率是多少？他们生两个O 型血女孩的概率是多少？ 答：父： () ()21 ==A 配子配子i P I P 母： () ()21= =B 配子配子i P I P ()()()() ()()()()()() 1612114 =??? ??====A A A A A A A i P I P i P I P i I P i I P P P P 型血型血型血子女两名 () ()()() ()()()()()()64 1212 1 2121 2121 2126 =??? ??====O O O i P i P i P i P i i P i i P P P P 型血型血型血女儿两名 2.4 白化病是一种隐性遗传病，当隐性基因纯合时（aa ）即发病。已知杂合子（Aa ）在群体中的频率为1 / 70，问一对夫妻生出一名白化病患儿的概率是多少？假如妻子是白化病患者，她生出白化病患儿的概率又是多少？ 答：（1）已知 ()()4170 1 = ?= Aa Aa aa P Aa P 所以 ()()()()()() 60019141701701= ??? ????? ????? ??=?=??=?Aa Aa aa P Aa P Aa P Aa Aa aa P Aa Aa P aa Aa Aa P 且生一名 （2）已知 ()()21 701= ?=Aa aa aa P Aa P 所以 () ()()()()() ()140 1217011= ? ?? ????? ??=?=??=?Aa aa aa P Aa P aa P Aa aa aa P Aa aa P aa Aa aa P 且生一名 2.5 在图2－3中，III 1为Aa 个体，a 在群体中的频率极低，可排除a 多于一次进入该系谱的可能性，问III 2亦为a 的携带者的概率是多少？ 答：设：事件A ：III 1含a ， 事件B ：II 2含a ， 事件C ：I 3含a ， 事件D ：II 2含a ， 事件E ：III 2含a ， 事件C ’：I 4含a ， 图 2－3 ()()()()()21 2111 = ??? ??===A B P A P AB P A P ()()()()()()()()()161 212121218 1 2121214 1 2121= ??? ????? ????? ????? ??=== ??? ????? ????? ??=== ??? ????? ??==D ABC E P ABCD P ABCDE P ABC D P ABC P ABCD P AB C P AB P ABC P 同理可得： ()()()161 21212121'''= ??? ????? ????? ????? ??==D ABC E P D ABC P DE ABC P 故III 2含a 总的概率为： 81161161=+= P 2.6 一个杂合子AaBb 自交，子代基因型中有哪些基本事件？可举出哪些事件？各事件 的概率是多少？ 答：1．共有16种基因型，为16个基本事件。 AABB AAbB aABB aAbB AABb AAbb aABb aAbb AaBB AabB aaBB aabB AaBb Aabb aaBb aabb 2．可举出的事件及其概率： A 1： 包含四个显性基因 = {AAB B } ()1611= A P A 2： 包含三个显性基因 = {AABb, AAbB, AaBB, aAB B } ()164 2= A P A 3： 至少包含三个显性基因 = { AABb, AAbB, AaBB, aABB, AAB B } ()1653= A P A 4： 包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaB B } ()1664= A P A 5： 至少包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaB B AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB } ()16115= A P A 6： 包含两个不同的显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAb B } ()1646= A P A 7： 包含两个相同的显性基因 = {AAbb, aaB B } ()1627= A P ? 2.7 一对表型正常的夫妻共有四名子女，其中第一个是隐性遗传病患者。问其余三名表型正常的子女是隐性基因携带者的概率是多少？ 答：样本空间W = {AA, Aa, aA } ()32 = 隐性基因携带者P 2.8 自毁容貌综合征是一种X 连锁隐性遗传病，图2－4是一个自毁容貌综合征患者 的家系图。该家系中III 2的两位舅父患有该病， III 2想知道她的儿子患该病的概率是多少？（提示：用Bayes 定理计算II 5在已生四名正常男孩的条件下是携带者的条件概率） 答：若IV 1是患者，III 2必定是携带者，II 5 亦必定是携带者。已知II 2和II 3为患者，说明I 2为杂合子，这时II 5可能是显性纯合子也可能是杂合子。称II 5是杂合子这一事件为A 1，II 5是显性纯合子这一事件为A 2，则： ()()212 121= = A P A P 设II 5生4名正常男孩的事件为事件B ，则II 5为杂合子的条件下，生4名正常男孩 （III3至III 6）的概率为： ()161214 1= ??? ??=A B P II 5为显性纯合子的条件下，生4名正常男孩的概率为： () 12=A B P 将以上各概率代入Bayes 公式，可以得出在已生4名正常男孩条件下，II 5为杂合子的概率： ()()() ()()()() ()17 112116121161212211111=??? ??+??? ????? ????? ????? ??= += A B P A P A B P A P A B P A P B A P 由此得出III 2为杂合子的概率： P （III 2为杂合子）34121171= ??? ????? ??= 以及III 2的儿子（IV 1）为受累者的概率： P （IV 1为患者）% 47.168121341≈=??? ????? ??= 2.9 Huntington 舞蹈病是一种由显性基因引起的遗传病，发病年龄较迟，图2－5为一 Huntington 舞蹈病的家系图。III 1的外祖父I 1患有该病，III 1现已25岁，其母II 2已43岁，均无发病迹象。已知43岁以前发病的占64%，25岁以前发病的占8%，问III 1将发病的概率是多少？（提示：用Bayes 定理先求出II 2尚未发病但为杂合子的条件概率） 答：根据以上资料可以得出： II 2为杂合子的概率 ()211= A P II 2为正常纯合子的概率 ()212= A P II 2为杂合子，但尚未发病的概率 () 64.011-=A B P = 0.36 II 2为正常纯合子，但尚未发病的概率 ()12=A B P 图 2－5 因此，II 2尚未发病但为杂合子的概率 ()()() ()()()() 26 .00.15.036.05.036 .05.02211111=?+??= += A B P A P A B P A P A B P A P B A P III 1为杂合子的概率 ()13.0226 .03== A P III 1为正常纯合子的概率 ()87.013.014=-=A P III 1为杂合子，但尚未发病的概率 () 92.008.013=-=A B P III 1为正常纯合子，但尚未发病的概率 () 14=A B P 因此，III 1尚未发病，但为杂合子的概率 ()()() ()()()() 12 .00.187.092.013.092 .013.04433333=?+??= += A B P A P A B P A P A B P A P B A P 所以，III 1为该病患者的概率为12%。 2.10 一实验动物养殖中心，将每30只动物装在一个笼子中，已知其中有6只动物体重不合格。购买者从每一笼子中随机抽出2只称重，若都合格则接受这批动物，否则拒绝。问： （1）检查第一只时就不合格的概率？ （2）第一只合格，第二只不合格的概率？ （3）接受这批动物的概率？ 答：（1）设A 为第一只不合格的事件，则 ()306 = A P （2）设 B 为第二只不合格的事件，则 () 296 = A B P （3）接受这批动物的概率 ()() ? ?? ????? ??=29233024A B P A P 2.11 一名精神科医生听取6名研究对象对近期所做梦的叙述，得知其中有3名为忧郁症患者，3名是健康者，现从6名研究对象中选出3名，问： （1）一共有多少种配合？ （2）每一种配合的概率？ （3）选出3名忧郁症患者的概率？ （4）至少选出两名忧郁症患者的概率？ 答：（1） 20!3!3! 63 6== C （2）201 （3）201415263= ?? （4） 21 3 60 3331323=+C C C C C 2.12 图2－6为包含两个平行亚系统的一个组合系统。每一个亚系统有两个连续控制单元，只要有一个亚系统可正常工作，则整个系统即可正常运行。每一单元 失灵的概率为0.1，且各单元之间都是独立的。问： （1）全系统可正常运行的概率？ （2）只有一个亚系统失灵的概率？图2－6 （3）系统不能正常运转的概率？ 答：（1）P（全系统可正常运行）= 0.94 + 0.93 × 0.1 × 4 + 0.92 × 0.12 × 2 = 0.963 9（2）P（只有一个亚系统失灵）= 0.92 × 0.12 ×2 + 0.93 × 0.1 × 4 = 0.307 8 （3）P（系统不能正常运转）= 0.14 + 0.13 × 0.9 × 4 + 0.12 × 0.92 × 4 = 0.036 1 或= 1 – 0.963 9 = 0.036 1 2.13 做医学研究需购买大鼠，根据研究的不同需要，可能购买A，B，C，D四个品系中的任何品系。实验室需预算下一年度在购买大鼠上的开支，下表给出每一品系50只大鼠的售价及其被利用的概率： 品系每50只的售价/元被利用的概率 A 500.00 0.1 B 750.00 0.4 C 875.00 0.3 D 100.00 0.2 问：（1）设Y为每50只大鼠的售价，期望售价是多少？ （2）方差是多少？ 答：（1） ()() ∑= ? + ? + ? + ? = = x y y p Y E5. 632 10 2 100 10 3 875 10 4 750 10 1 500 （2） ()() []2 2 2Y E Y E- = σ 25 . 631 81 5. 632 10 2 100 10 3 875 10 4 750 10 1 5002 2 2 2 2 = - ? ? ? ? ? ? + ? + ? + ? = 2.14Y为垂钓者在一小时内钓上的鱼数，其概率分布如下表： y 0 1 2 3 4 5 6 p(y) 0.001 0.010 0.060 0.185 0.324 0.302 0.118 问：（1）期望一小时内钓到的鱼数？ （2）它们的方差？ 答： ()= Y E0 × 0.001 + 1 × 0.010 + 2 × 0.060 + 3 × 0.185 + 4 × 0.324 + 5 × 0.302 + 6 × 0.118= 4.2 σ2 = 02 ×0.001 + 12 ×0.010 + 22 ×0.060 + 32 ×0.185 + 42 ×0.324 + 52 ×0.302 + 62 ×0.118 – 4.22 = 1.257 2.15一农场主租用一块河滩地，若无洪水，年终可望获利20 000元。若出现洪灾，他将赔掉12 000元（租地费、种子、肥料、人工费等）。根据常年经验，出现洪灾的概率为0.4。问：（1）农场主期望赢利？ （2）保险公司应允若投保1 000元，将补偿因洪灾所造成的损失，农场主是否买这一保险？ （3）你认为保险公司收取的保险金是太多还是太少？ 答：（1）未投保的期望赢利：E （X ）= 20 000 × 0.6 + (12 000) × 0.4 = 7 200（元） （2）投保后的期望赢利：E （X ）= (20 000 – 1 000) × 0.6 + (?1 000) × 0.4 = 11 000（元）。 当然要买这一保险。 （3）保险公司期望获利：E （X ）= 1000 × 0.6 + (?12000 + 1000) × 0.4 = ?3800（元） 收取保险金太少。 第三章 几种常见的概率分布律 3.1 有4对相互独立的等位基因自由组合，问有3个显性基因和5个隐性基因的组合有多少种？每种的概率是多少？这一类型总的概率是多少？ 答：代入二项分布概率函数，这里φ=1/2。 ()75218.02565621562121!5!3!838 3 5 == ??? ??=??? ??? ?? ??=p 结论：共有56种，每种的概率为0.003 906 25(1/256 )，这一类型总的概率为 0.218 75。 3.2 5对相互独立的等位基因间自由组合，表型共有多少种？它们的比如何？ 答：（1） 5 4322345 5 414143541431041431041435434143? ?? ??+??? ????? ??+??? ????? ??+??? ????? ??+??? ????? ??+?? ? ??=?? ? ??+ 表型共有1+5+10+10+5+1 = 32种。 （2） ()()()()()()6 976000.0024114165 014.0024 1354143589 087.002419 104143107 263.0024127 104143105 395.0024181 5414353 237.002412434355 43 2 2 3 4 5 541322314==??? ??==?=??? ????? ??==?=??? ????? ??==?=??? ????? ??==?=??? ????? ??===??? ??=隐隐显隐显隐显隐显显P P P P P P 它们的比为：243∶81(×5)∶27(×10)∶9(×10)∶3(×5)∶1 。