根据图形去绝对值符号
根据图形去绝对值符号
1. 如图，观察表示a，b的点在数轴上的位置，化简|b+2|+|a﹣2|等于（
）
A．a+b B．a﹣b﹣4 C．﹣a﹣b D．b﹣a+4
2．a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a﹣b|+|b﹣c|=．
3．有理数a、b在数轴上的位置如图，化简：|a|+|b|﹣|a+b|=．
4．数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：|a|﹣
|b|+|c|=．
5．已知有理数a，b在数轴上的位置如图：化简：|a|+|b|﹣|b﹣a|=．
6．如图，数轴上点A表示的数的绝对值
是，它的相反数是．
7．计算：已知a、b、c表示有理数，在数轴上表示的点如图所示，根据数轴给定的数据化去|b|+|a﹣
b|+|b﹣c|+|c|的绝对值=．
8．已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图，化简|a|﹣|b|=，|c﹣b|+|c+a|=．
9．若a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a﹣c|﹣|b+c|﹣|b﹣a|=．
10．已知a、b、c在数轴上的位置如图，试化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|的结果为．
11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，式子
|a|+|b|+|a+b|+|b﹣c|化简结果为．
12．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则化简|c ﹣a|+|a+b|﹣|b﹣c|的值为．
13．已知a、b在数轴上的位置如图，化简：
|a﹣2|+|b+3|﹣|a﹣b|=．
14．a，b，c三个数在数轴上的位置如图，化简
|a﹣b|﹣|a+c|+|c﹣b|=．
15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b+c|=．
16．已知有理数a、b、c在数轴的对应位置如图，则|a﹣1|+|a﹣c|+|a﹣b|可化简为．
17．观察有理数a、b、c在数轴上的位置并去绝对值：
（1）|a|；
（2）|c﹣b|+|a﹣b|．
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18．已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，化简|b ﹣a|+|a+b|．
19．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，化简|b|﹣|a|．
20．如图，数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，你能去掉绝对值符号并合并同类项吗？ |c|﹣|c+b|+|a ﹣
c|+|b+a|
21．已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图：
（1）比较a ﹣b 与a+b 的大小； （2）化简|b ﹣a|+|a+b|． 22．有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，其位置如图，试化简：|a+b|+|c ﹣a|﹣|b+c|．
23．已知a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图．化简|a|﹣|a+b|+a -c +|b ﹣c|﹣|b|．
24．如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：
b
a
b -a -
b -a --．
25．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|．
26．如图，有理数x ，y 在数轴上的位置如图，试化简|y ﹣x|﹣3|y+1|﹣|x|．
27．已知有理数a ，b ，c 表示在数轴上的位置如图，化简：|b ﹣a|﹣2|b+c|﹣|c ﹣a|．
28．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．
化简：|a+b|﹣|b+1|﹣|a ﹣c|﹣|c ﹣1|．
29．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：|a+b ﹣c|﹣|c ﹣a|+|b|．
30．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简： |c ﹣b|+|a+b|﹣|a ﹣c|．
去绝对值符号的几种常用方法精编版
去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每 带绝对值符号的运算 在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ； 当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)； 当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。（都是大的数a减去小的数b ） 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 去掉绝对值符号的几种题型 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 1、设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 2、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。 （A）（B）（C）（D） 3、（1）已知，化简的结果是。 （2）已知，化简的结果是。 （3）已知，化简的结果是。 4、已知a、b、c、d满足且，那么 5.如何解含有多个绝对值符号的方程 题目 解方程 |1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*） 这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法. 设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b == -++><，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +?<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()() i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.” 例1 见题（*） 解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-= 可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡. 故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数. 例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是: (A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多. (上海市1984年初中数学竞赛题) 解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2 f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1 (1)6,()0,(2)0.2 f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122 x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =. 故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数. 例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=. （华东师大《数学教学》1984年第5期p9） 去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 带绝对值符号的运算 在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样 定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正 数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 整式中去绝对值号 对于||x ，当0x >>时，||x x =；当0x =>时，||0x =；当0x <<时，||x x =-。即： (0)||0 (0)(0) x x x x x x >??==??-??-==??-- ∴原式＝ 变式训练 1、已知x ＜﹣1，（1）化简22x －－；（2）化简222x －－－ 2、已知﹣2≤x ＜3，化简1 312 x x －－＋ 题型二、利用数形结合的方法化简绝对值 根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值的意义去掉绝对值的符号。 例题：（1）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ﹣﹣ （2）已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a b a b a ﹣﹣＋＋﹣＋ 要点提示：1．零点的左边都是负数，右边都是正数； 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数； 3．离原点远的点表示的数的绝对值较大； 4．在一个数的前面添加一个负号就可以得到这个数的相反数。 变式训练： 1．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ＋＋a b ﹣ 2．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：b c b a ﹣﹣＋ 题型三、零点分段讨论法 例题：化简224x x －－＋ 分析：本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x －2、x ＋4的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论。 解：令x －2＝0得零点：x ＝2 ；令x ＋4＝0得零点：x ＝﹣4 ，把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当x ≥2时， ②当﹣4≤x ＜2时， ③当x ＜﹣4时， 综上所述， 归纳总结：虽然x －2、x ＋4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的 去绝对值符号的几种常用方法 周健良 绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢下面介绍几种去绝对值符号的常用方法. 一、用绝对值的定义 例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值. 分析 由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号. 解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2. 例2 计算|2131-|+|3141-|+|4151-|+…+|91101-| 解 原式=10191514141313121-+???+-+-+-5 210121=-=. 评析 绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数. 二、用绝对值的性质 例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值. 解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4. ①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7； ②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1； ③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1； ④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7. 例4 已知|a-1|+|ab-2|=0, 求()()()()()()2006200612211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值. 解 ∵|a-1|+|ab-2|=0, ∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2. ∴原式=200820071541431321211?+???+?+?+?+? =2008120071514141313121211-+???+-+-+-+-=2008 2007200811=-. 评析 互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可去绝对值符号. 三、用数形结合 例5 数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|a|+|b|. 解 由图示可得：b ＜0，c ＞a ＞0，∴a+c ＞0. 原式= a+c-a+（-b ）= c-b. 评析 在数轴上，有关的点所对应的数的符号一目了然，并且知道其到原 中间量法比较大小 我们学习了指、对数函数的增减性，并可利用这一性质比较两个指（对）数的大小.而对于不同底且不 同幂（真数）的两指（对）数的大小比较，不能直接利用指、对数性质来解.下面给同学们介绍一种方法——中间量法. 例1．比较315 3 )4 3()54(与-的大小. 解：由指数函数x x y y )43 ()54 (==与都是减函数知： .)4 3()54(,1)43()43(,1)54()54(3132031032 --∴== 例2．比较4.05.09.08.0与两数的大小. 解一：考查指数函数x y 9.0=与幂函数5.0x y =，根据这二函数的单调性，引入中间量.9.05.0 ∵;9.09.0,19.004.05.0 ∴ 又∵.9.08.0,9.08.00,05.05.05.0 ∴ ∴,9.09.08.04.05.05.0 即有.9.08.04.05.0 解二：引入中间量.8.04.0 ∵4.05.08.08.0,18.00 ∴； 又∵.9.08 .0,9.08.00,04.04.04.0 ∴ ∴.9.08.0.9.08.08.04.05.04.04.05.0 即有 注：对于不同底且不同幂的指数βαy x 与的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这二数 的大小.这二新数是.α βy x 或 例3．比较1.2log 2log 31.3与两数的大小. 解一：考查对数函数x y 1.3log =，根据对数函数的性质，引入中间量1.2log 1.3. . 1.2log 2log ,1.2log 1.2log 2log ,1.2log 1.2log ,1.3log 3log 0,3 log 11.2log ,1.3log 11.2log ,1.2log 2log 31.331.31.331.31.21.21.231.21.31.31.3 ∴∴∴==又而 解二：引入中间量2log 3（留给同学们练习）. 注：对于n m b a log log 与的两个对数的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这二数的 大小关系.这两个新数是.log log n m a b 或 带绝对值符号的运算 一、要理解数a 的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a 的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a 的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a 本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a 的绝对值。从数a 的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a 是一个负数时，怎样去表示a 的相反数（可表示为“-a ”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a ︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a 的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a ︱=a (性质 1：正数的绝对值是它本身；当a=0 时︱a ︱=0 (性质 2：0的绝对值是0 ； 当 a<0 时；︱a ︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身；当 a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b =0 (性质 2：0的绝对值是0 ； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数。 3、对于形如︱a-b ︱的一类问题 同样，仍然要把a-b 看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a 与b 的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b ︱=（a-b ）= a-b，︱b-a ︱=（a-b ）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 去掉绝对值符号练习题 完成时间：40min 一．选择题 1．已知|2﹣x|=4，则x的值是 2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a 4．已知关于x的方程mx+2=2的解满足方程|x ﹣|=0，则m的值为 2005 |x||4x|23﹣x ） 6.2.5含绝对值符号的一元一次方程 参考答案与试题解析 一．选择题 1．已知|2﹣x|=4，则x的值是 2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a 4．已知关于x的方程mx+2=2的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为 例1求下列各数的绝对值： －38； 0.15 ； a； 3b； a－2； a－b． 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论． 解：｜－38｜＝38；｜＋0.15｜＝0.15； ∵a＜0，∴｜a｜＝－a； ∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b； ∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－＝2－a； 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论． 例2判断下列各式是否正确： ｜－a｜＝｜a｜； －｜a｜＝｜－a｜； 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b； 若a＝b，则｜a｜＝｜b｜； 若｜a｜＞｜b｜，则a＞b； 若a＞b，则｜a｜＞｜b｜； 绝对值知识点及练习 1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。 （2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实数a的绝对值是：|a| ①a为正数时，|a|=a(不变) ②a为0时，|a|=0 ③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值) 任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。 2、实数的绝对值具有以下性质： (1)|a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数); (2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等); (3)-|a|小于等于a小于等于|a|; (4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b; (5)|a·b|=|a|·|b|; (6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0); (7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立; (8)|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立; (9)a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。 特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0； （2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数； （3）0是绝对值最小的有理数。 3、利用绝对值比较大小 (1)利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 比较的具体步骤： ①先求两个负数的绝对值； ②比较绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断． (2)几个有理数的大小比较 ①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小． ②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较． 4、利用绝对值解决实际问题 绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类： (1)判断物体或产品质量的好坏 可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法： ①求每个数的绝对值； ②比较所求绝对值的大小； ③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断． (2)利用绝对值求距离 如何去掉绝对值符号 在中学阶段，有不少学生做含有绝对值符号的题时，总感到力不从心，主要原因是同学们对绝对值认识不足．那么，如何去掉绝对值符号呢？这要从绝对值的构型谈起．绝对值符号可大致存在于以下三种构型里． A：代数式型． 1．单个型：绝对值符号里只有一个数(可设为a)．则有三种情况： (1)如a＞0，则｜a｜＝a (2)如a＜0，则｜a｜＝－a (3)如a＝0，则｜a｜＝0 例1：求5，－5，0的绝对值． 解：｜5｜＝5； ｜－5｜＝－(－5)＝5； ｜0｜＝0 2．多个型：绝对值符号里是几个数的代数和形式(设为a－b)，则同样有以下三种情况： (1)如a－b＞0，则｜a－b｜＝a－b (2)如a－b＜0，则｜a－b｜＝－(a－b)＝b－a (3)如a－b＝0，则｜a－b｜＝0 说明：解这类题，实际上可用公式表示成：｜正数｜＝正数；｜负数｜＝－(负数)；｜零｜＝零． B：方程型 1．在题中出现一个绝对值符号． 解：由条件可建立起下列两个方程： (1)x＋3＝0，得x＝－3 2．在题中出现多个绝对值符号． 例4：已知｜2x＋y｜＋｜x－ y｜＝0，求x、y． 解：由条件可建立方程组： 得x＝0，y＝0 说明：解这类题，我们实际上只要把绝对值符号去掉后，建立方程或方程组(不再含绝对值符号)，即可求得所要求的答案． C：不等式型： (1)其式小于某一实数． 例5：｜x－1｜＜3 解：原不等式去掉绝对值符号后可化为： －3＜x－1＜3 ∴－2＜x＜4 (2)其式大于某一实数． 例6：｜x－2｜＞4 解：原不等式去掉绝对值符号后可化为：x－2＞4或x－2＜－4 得：x＞6或x＜－2 说明：解这类题，我们只要记住口诀“小于夹中间，大于走两边”即可．根据以上例题的解法，相信同学们一定掌握了去绝对值符号的方法． 1.如图，观察表示a, b的点在数轴上的位置，化 7 .计算：已知a、b、c表示有理数，在数轴上表 示的点如图所示，根据数轴给定的数据化去|b|+|a -b|+|b - c|+|c| 的绝对值= ______________ . A . a+b B . a - b - 4 C. - a - b D . b - a+4 2 . a, b , c在数轴上的位置如图，化简|a - b|+|b -c|= ____________ . 3 5 0 c 8 .已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图，化简|a| - |b|= ___________ ,|c - b|+|c+a|= ____________ . --- *---- *---- *----- ?--- a h 0 c 3 .有理数a、b在数轴上的位置如图，化简：|a|+|b| 9 .若a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a - c| -|b+c| - |b - a|= _____________ a b fl c一 4 .数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：|a| - |b|+|c|= ___________ . —| ------------- 1------ 1--------- 1------ > c o b a 10.已知a、b、c在数轴上的位置如图，试化简: |a - b|+|b - c| - |c - a| 的结果为______________ . __ 1 _________ I __ 1 _______ 1 __ c Qa J丁 精品文档 根据图形去绝对值符号 f 1A -3 -2 -10I 2 5 .已知有理数a, b在数轴上的位置如图：化简: |a|+|b| - |b - a|= _____________ 6.如图，数轴上点A表示的数的绝对值 是 ____________ ，它的相反数是______________ 11 .有理数a、b、c在数轴上的位置如图，式子 |a|+|b|+|a+b|+|b - c|化简结果为 _____________ . ??. ? a Q b c 12 .有理数a、b、c在数轴上位置如图，则化简|c -a|+|a+b| - |b - c| 的值为_____________ . ------ b c 0a -|a+b|= _____________ 随意编辑 含有绝对值符号的式子的化简 生活中，遇到同一件事，在不同情况下要采用不同的方法去处理.一道数学题由于已知条件不同，解决的办法也不同.这就是我们常说的具体事情具体分析. 我们经常遇到的含绝对值符号的式子的化简就必须对式中的取值分类讨论，进行分析，根据不同情况得出不同结果. 看以下例题：化简 ︱2+x ︱—︱x -3︱. ★ 分析★ 解这类题的第一步要求解式中字母的特殊值（又叫零点值，即令2+x =0和x -3=0），并把它表示在数轴上.当2+x =0时，2-=x ；当x -3=0时，3=x ）.把2-=x ，3=x 表示在数轴上，就把数轴分成了三部分，如下图 从图中可以看出，这三部分是x ≤—2， —2＜x ＜3， x ≥3. 化简 ︱2+x ︱—︱x -3︱就要根据x 的取值的三种不同情况分类讨论，进行化简. ① 当x ≤—2时，2+x ≤0，则︱2+x ︱=—（2+x ），x -3＞0，则︱x -3︱=x -3，于是︱2+x ︱—︱x -3︱=—（2+x ）—（x -3）=—5. ② 当—2＜x ＜3时，︱2+x ︱=2+x ，︱x -3︱=x -3，于是︱2+x ︱—︱x -3︱=（2+x ）—（x -3）=12-x . ③ 当x ≥3时，︱2+x ︱=2+x ，︱x -3︱=—（x -3），于是︱2+x ︱—︱ x -3︱=2+x —〔—（x -3） 〕=5. 根据以上解题过程，解含有绝对值符号的式子一般步骤可归纳如下：第一步.找到式中未知数的零点值（特殊点）；第二步.八得到的零点值分别表示在同一数轴上，把数轴分成了若干个区间；按数轴上x 取值的不同区间进行分类讨论，去掉原式中各项的绝对值符号；第四步.把绝对值符号去掉以后，合并同类项，化简得出最后结果.含有绝对值符号的式子的化简，题型可以有不同的变化，但解题思路、解题步骤大致如此. 你明白了上述方法和步骤了吗?如果懂得了,掌握了,请你设计几个题,自己解出来,巩固这部分知识. 含有绝对值符号的函数的性质 1、已知不等式| |2 2x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是_______. 2、若关于x 的不等式||22a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是_______. 3、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 4、设常数R ∈a ，以方程20112||=?+x a x 的根的可能个数为元素的集合 =A _______. 5、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______. 6、对任意的120x x <<，若函数1 ()f x a x x b x =-+的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴）， 试写出a 、b 应满足的条件 . 7、已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m n <， 且()()f m f n =，若()f x 在区间2 ,m n ????上的最大值为则m =________,n =_________. 8、设,,a b R ∈且1b ≠.若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则 ,a b 应满足的条件是_______. 9、关于x 的方程092 2 =-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a _______. 10、若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. 11、定义在R 上的函数()f x 的图像过点(6,2)M -和(2,6)N -，且对任意正实数k ，有()()f x k f x +<成立，则当不等式|()2|4f x t -+<的解集为(4,4)-时，则实数t 的值为_______.如何化简绝对值
初中数学难点去绝对值符号
七上 去掉绝对值符号的几种题型
如何解含有多个绝对值符号的方程
去绝对值符号的几种常用方法
带绝对值符号的运算
去绝对值符号的几种常用方法
整式中去绝对值号
初一数学绝对值的化简
去绝对值符号的几种常用方法
高一数学-去绝对值符号的三种方法 精品
带绝对值符号的运算解读
去掉绝对值符号练习题
绝对值知识点及练习
如何去掉绝对值符号
根据图形去绝对值符号
含有绝对值符号的式子的化简生活中
含有绝对值符号的函数的性质