泛函分析答案
泛函分析答案：
1、所有元素均为0的n ×n 矩阵
2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：
（1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)
（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T
d 2(x,y)=(21
||n
i i i x y =-∑)1/2
d 1(x,y)=1
||n
i i i x y =-∑
d p (x,y)=(1
||n
p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n
x y ≤≤-
6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作
0lim n
n x
x -->∞
=，或简单地记作x n ?x 0
7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数
（3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E
8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。
9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。
10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。
11、L 2
（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2
（a,b ）,2|()|b
a f t dt
?＜∞。
当L 2
（a,b ）中内积的定义为（f,g ）=_____
()()b
a
f t
g t dt ?(其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其
为Hilbert 空间。
★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ，若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T ，记为y=T(x)，y 为x 的像，x 为y 的原像。
13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切x ∈D(T)，使不等式||Tx||Y ≤M||x||X 的正数M 的下确界称为T 的范数，||T||=sup||Tx||/||x||,||x||≠0。直观的理解就是||x||的最大放大率。
★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T ：E ?E 1，必有T0=0，则称集合{x ∈E|Tx=0}为T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E 1的子空间。
15、如果存在一正常数M ，使得对每一个x ∈D(T)，都有||Tx||Y ≤M||x||X ，则称T 为有界算子。
无界算子：设算子T ：C 1[0,1]?C[0,1]定义为：(Tx)(t)=x '(t),则T 是线性算子，若视C 1[0,1]为C[0,1]的子空间，则T 是无界的。 16、设{T n }=L(X ，Y)，T ∈L(X ，Y)，如果对任何一个x ∈X ，均有||T n x-Tx||?0(n ?∞)，则T n 弱收敛于T 。
17、L(X ，Y)是BANACH 空间。
*18、压缩映像原理又叫BANACH 不动点定理，其具体内容如下：设X 为BANACH 空间，F 为X ?X 的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x *∈X ，满足F(x *)=x *，称x *为F 的不动点。
设集合Q ?D(F)，如果存在常数q ∈(0,1)使得对任何x ',x ''∈Q,有||F(x ')-F(x '')||≤q||x '-x ''||,称F 为Q 上的压缩算子，q 为压缩系。
压缩映像原理：设算子F 映BANACH 空间X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q ，则算子F 在Q 内存在唯一的不动点x *，若x 0为Q 内的任意点，作序列x n+1=F(x n ),n=0,1,2,…,则{x n }∈Q ，x n ?x *,而且有估计||x n -x *||≤q/(1-q)||F(x n )-F(x 0)||。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。
19、设X 是实数域上的线性赋范空间，D 是X 的线性子空间，f:D ?R ，如果f 满足：对任何α,β∈R ，x,y ∈D,f(αx+βy)=αf(x)+βf(y),则f 是D 上的一个线性泛函，或者说由X ?R 的算子为泛函。泛函f 的范数定义如下：
||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。
20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。
21、弱收敛：X 为线性赋范空间，{x n }?X ，x 0∈X ，如果对任何一个f ∈x *均有
0lim ()()n n f x f x ->∞
=，则称{x n }弱收敛于x 0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱
收敛。
22、泛函的GATEAUR 微分：设X 为线性赋范空间，x 0∈X ，f(x)的x 0及其领域
内有定义，如果对任意h ∈X ，极限：000()()
lim t f x th f x t ->+-存在，则称f(x)在x 0
处对方向h 存在GATEAUR 导数，记为0(,)f x h δ。又称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。
23、0(,)f x h δ称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。令0()(),t f x th φ=+则
'00)
()(0)
(0)lim
(,)t t f x h t
φφφδ->-==。
24、''
'
0x x d g g dt
-
= 25、应变能密度：0
()()ij
kl kl ij ij W d εεσεε=?:
:
应变余能密度：0
()ij
ij ij c ij
W d σε
σσ=
?::
其关
系如下图所示：σ 26、有限元=瑞兹法+具有局部紧支
集的分片插值函数。
27、
,,1[()](),()2
i ij i i i ij i j j i V
V
S u x W dV f u dV P u ds u u σ
πεε-
=--=+???，其中[()]u x π为系统
的总势能，()ij V
W dV ε?为应变能，后两项为外力势能，f i 为体积力分量，i P -
为给
定S σ边界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件(i i u u -
=onS u )和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u π最小。其基本的未知函数是位移场u i ，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,,1/2()ij i j j i u u ε=+。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：i i u u -
=on u S 。 推导与证明过程如下： 把Π取一阶变分：
δΠ=()ij i i i i ij i i i i V
V
s V
V s ij
W
W dV f u dV p u ds dV f u dV P u ds σ
σ
δεδδδδεδδε?--=--?????
??
其中：
,,,,,,,(1/21/2)1/21/2[()]ij ij ij ij i j j i V V V ij ij i j ij j i ij i j ij i j ij j i V
V
V
V
W
dV dV u u dV
u dV u dV u dV u u dV
δεσδεσδδεσδσδσδσδσδ?==+?=+==-???????
而,()()u
ij i j ij i j ij j i ij j i V
s
s s u dV u n ds n u ds n u ds σ
σδσδσδσδ==+????
由于在s u 上i i u u =为已知，则u
ij j i s n u ds σδ?=0所以
δΠ=,ij j i ij j i i i i i s V
V
s n u ds u dV f u dV p u ds σ
σ
σδσδδδδ---????由δΠ=0得
,0ij j i f σ+=on Ω
ij j i n p σ=on u S
即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是Π的最小值：
设正确解是u i,，其它满足位移边界条件的容许位移是u i *，则u i *=u i,+δu i ，则 εij *=εij +δεij ，由此得到：
Π*=Π+δΠ+δ2Π其中δΠ=0，δ2Π=()ij V
W dV δε?≥0，所以Π*≥Π，则极小
值即是最小值。证明完毕。
28、系统的总余能()()u
c c ij i ij j V
s W dV u n ds σσσ∏=-??，其中第一项为系统的应变
余能，第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足,0ij j i f σ+=in Ω和
ij j i n p σ=on u S 的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最
小。
其基本未知函数是应力场ij σ，对其要求为
,0ij j i f σ+=in Ω
ij j i n p σ=on u S
证明如下：
对()c σ∏取一阶变分：
()()u
ij c ij i ij j V
s ij
W dV u n ds σδσδσδσσ?∏=-??
?，其中
由高斯定理可知：
,()i ij j i ij j V
s
u dV u n ds δσδσ=?
?在边界面S σ上，ij j i n p σ=是已知的，所以
0ij j i n P δσδ==，则,()u
i ij j i ij j V s u dV u n ds δσδσ=??
同理，由于,0ij j i f σ+=，其中f I 是给定的，所以在Ω内，,ij j δσ=0。由以上推导可得：
()()u
c i i ij j s
u u n ds δσδσ∏=-?，由极值条件()c δσ∏=0，得i i u u =，在u S 上。这就说
明了
()c σ∏取得极值时的ij σ既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条
件，所以是正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值： 设外力已知边界条件下的应力分量为*ij σ，*ij ij ij σσδσ=+
**()()()()u
u
c c ij i ij j c ij ij i ij ij j V
s V
s W dV u n ds W dV u n ds
σσσσδσσδσ∏=?-=?+-+????*2()()()()c c c c σσδσδσ∏=∏+∏+∏，其中2()()0c c ij V
W dV δσδσ∏=≥?，所以
()c σ∏≤*()c σ∏，所以这个极小值是最小值。证明完毕。
29、Hellinger-Reissner 混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。 证明：构造余能泛函： 变分得：
依ij σ的对称性，得,,,1/2()i j ij i j j i ij αδσααδσ=+。则 由δ∏=0的驻值条件可得：
,,,1/2()ij j i j j i εαα=+,0ij j i f σ+=in Ω
i i βα+=0ij j i n P σ-=0on s σ i i u α-on u s
取i i u α=，i i u β=-，则余能泛函变为下面形式：
*,()()()u
c ij ij j i i i ij j ij j i i V
s s W f u dV u n ds n P u dV σ
σσσσ∏=++---???，
由以上计算过程可知，由泛函*∏的驻值条件给出的,ij i u σ必定满足平衡方程，应力应变关系，应变位移关系，外力和位移的边界条件，所以它们是正确解，是真实的应力场和位移场。可以证明，当以
u i *=u i,+δu i 和*ij ij ij σσδσ=+代入以上泛函，得**∏，**∏≥*∏，即真实的位移场和应力场使余能泛函取得最小值。