极限与连续习题课
函数、极限与连续复习与典型复习题
（一）内容
1.函数：常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。
2.极限：极限的定义，极限的四则运算，两个重要极限。无穷小的比较与等价代换。
3.连续函数：连续函数的定义和四则运算，间断点。连续函数的性质。
（二）要求
1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2.了解极限概念，会求简单极限。会用两个重要极限和等价代换定理。
3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点；理解连续函数的运算和性质。
（三）知识网络图
1.函数的极限
2.函数的连续性
（四）典型习题 1．填空题
（1）函数2
4)
2ln(1)(x
x x f -++=的定义域是 ．
解：要使函数2
4)
2ln(1)(x
x x f -++=有意义，则
??
?
??≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，解得???
??≤≤-->-≠2221x x x
从而函数
2
4)2l n (
1)(x
x x f -++=的
定
义
域
是
]
2,1()1,2(-?--
（2）函数
???>≤+=0e 02)(2x x x x f x
，则=)0(f ．
解：
=
)0(f 2
（3）函数1
322
+--=
x x x y 的间断点是 ，为 间断点．
解：函数
1
322
+--=
x x x y 的间断点是
1
-=x ,又
4)3(lim 132lim 121-=-=+---→-→x x x x x x ，故是第一类间断点中的可去间断点
（4）
=∞→x
x x 1
sin lim ．
解：
=∞→x
x x 1sin lim 11
1
sin
lim =∞→x x x
（5）当0
→x 时，无穷小量
x
x --+11是
x
的 无穷小.
解
(
)(
)
(
)
()
1112
lim 111111lim 11lim 000=-++=-++-++--+=--+→→→x
x x
x x x x x x x x x x x x 故当
→x 时，
x x --+11与x 是等价无穷小.
（6）若
2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则
=
k ．
解：24sin 44sin lim 4sin 4sin lim 00===→→k
kx kx x x k kx x x x ，
2
=k
2．单项选择题
（1）设函数
2
e
e
x
x
y +=
-，则该函数是（ ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
解：因为
y
e
e
e
e
x
y
x
x
x
x
=
+
=
+
=
-
-
-
-
-
2
2
)
(
)
(
所以函数
2
e
e x
x
y
+
=
-
是偶函数
应选B
（2）下列各函数对中，（）中的两个函数相等．
A．
2
)
(
)
(x
x
f=
，
x
x
g=
)
(
B．
2
)
(x
x
f=
，x
x
g=
) (
C．
2
ln
)
(x
x
f=
，
x
x
g ln
2
)
(=
D．
3
ln
)
(x
x
f=
，
x
x
g ln
3
)
(=
解：应选D
（3）当
→
x
时，下列变量中为无穷小量的是（）.
A．x
1
B．
x
x
sin
C．
)
1
ln(x
+
D．
2
x
x
解：应选C
（4）当
=
k
（）时，函数
?
?
?
=
≠
+
=
,
,2
e
)
(
x
k
x
x
f
x
在
=
x
处连续.
A．0 B．1 C．2D．3
解：
3
)2
(
lim
)
(
lim
)0(
=
+
=
=
=
→
→
x
x
x
e
x
f
f
k
，应选D
（5）函数
2
3
3
)
(
2+
-
-
=
x
x
x
x
f
的间断点是（）
A．
2
,1=
=x
x
B．
3
=
x
C．
3
,2
,1=
=
=x
x
x
D．无间断点
解：应选A 3．解答题
（1）4
23lim 22
1-+-→x x x x ．
解：
4
23l i m 22
1-+-→x x x x
03
)
4(lim )
23(lim 2
1
2
1
==-+-=
→→x x x x x
（2）329lim 2
2
3---→x x x x
解：329lim 2
2
3---→x x x x
2
34613lim )1)(3()3)(3(lim 33==++=+--+=→→x x x x x x x x
（3）x
x x x x 53862lim 22
-+-∞→
解：
x
x x x x 53862lim 22
-+-∞→
3253lim 862lim 53862lim 22=?
?? ??+??? ??+-=++-=∞→∞→∞→x x x x x x x x x
（4）计算极限x
x x 11lim 0--→．
解：
x
x x 11lim 0--→
)
11()
11)(11(lim
+-+---=→x x x x x
21
1
11
lim )11(lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x
（5）计算极限x
x x 4sin 1
1lim 0--→
解：
x x x 4sin 11lim 0--→ )
11(4sin )11)(11(lim
+-+---=→x x x x x
x
x
x x x x
x x 44sin )11(1lim
414sin )11(lim
00
+--=+--=→→
8
12141-
=?-=
（6）)1ln(lim x
k x x -∞→ ()0≠k
解：
k
e x k x k x
k x
k x k
k
k
x x k k x
x x
x x -==??
????????
?
???????? ??-+=??????????
????????? ??-+=-=----∞
→-?-∞→∞→∞→ln 1lim ln 1lim ln )1ln(lim )1ln(lim )(
（7）证明方程2
3=?x
x 至少有一个小于1的正根.
证：原方程可化为
23=-?x
x
设函数
2
3)(-?=x
x x f ，则其在区间
[]
10，内连续，
又
1
231)1(2230)0(1
=-?=-=-?=，f f 故
2)1()0(<-=f f ，
有根的存在性定理知至少存在一个()0)(10=∈ξξf ，使得，
即方程
2
3=?x
x 至少有一个小于1的正根
(8). 求的间断点, 并判别其类型.
解:)
1)(1(sin )1()(-++=x x x x
x x f )
1)(1(sin )1(lim
1-++-→x x x x x x 1sin 21
=x = –1 为第一类可去间断点
∞
=→)(lim 1
x f x x = 1 为第二类无穷间断点
,1)(lim 0
-=+→x f x ,
1)(lim 0
=-→x f x x = 0 为第一类跳跃间断点
机动
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结束
)
1)(()(---=x a x b
e x
f x
有无穷间断点0
=x 及可去间断点,1=x 解:为无穷间断点,0=x ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x 所以
b
e x a x x x ---→)1)((lim 0b a -=10=1
,0≠=b a 为可去间断点,1=x b
e x x x x --∴→)1(lim 1极限存在
)(lim 1
=-→b e x
x e
e b x
x ==→1
lim (9).设函数试确定常数a 及b .
机动
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结束
作业：
1.的定义域和奇偶性。
求函数x x
y +-=11ln
2．
的间断点并判断类型。
求函数)
2)(1(1-++=
x x x y
3.
)]
3
(
[
,
1
,
)
(
2
-
?
?
?
≥
-
<
=f
f
x
x
x
x
x
f求
设
4.
a
x
a
x
x
x
求若,4
)3
sin(
2
lim
2
3
=
-
+
-
→
5.
x
x
x
x
x
x2
3
2
4
lim
3
2
3
+
+
-
∞
→
求
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