f (t 2 )
t 1 2 1 t 2 2 1
(t 1 t 2 )(t 1t 2 1)
t 1
t 2
t 1 t 2
∴f ( t)在 [3,
) 上单调递增， x 2 10
33 1 10
x
2
9 f (3)
3
3
例 2 已知实数 a, b, c ，满足 a + b + c = 0 和 abc = 2 ，求证： a, b, c 中至少有一个不小于 2 证明：（构造方程法 ）由题设显然
a, b, c 中必有一个正数，不妨设 a > 0 ，
b c a
2
则
2 即 b, c 是二次方程 x 2 ax
0的两个实根
bc a
a
∴
a 2 8 0
a ≥ 2
a
例 3 求证：
1
sec 2 tan 3 (
k
, k Z ) 3 sec 2
tan
2
sec 2
tan
，
证明：（构造方程法 ）设 y
tan
sec 2
则( y 1)tan 2 + (y + 1)tan + ( y 1)=0 当 y = 1 时，命题显然成立
当 y 1 时，△ = (y + 1) 2
4(y 1)2 = (3y 1)(y
3)≥ 0，∴
1 y 3
3
综上所述，原不等式成立
（此法也称判别式法）
例 5 已知 0 < a < 1 ， 0 < b < 1 ，求证：
a 2
b 2 (a 1)2 b 2 a 2 (b 1) 2 (a 1) 2 (b 1)2
2 2
证明：（构造图形法） 构造单位正方形， O 是正方形内一点
O 到 AD, AB 的距离为 a, b ，
D
a E
1-a
C 则|AO| + |BO| + |CO | + |DO |≥ |AC| + |B
D |
1-b
1-b a 2 b 2 (a 1) 2 b 2 其中 |AO|
，|BO| ，
F
H
O |CO| ( a 1) 2 (b 1)2 ，|DO |
a 2 (
b 1) 2
b b
又|AC| |BD|
2
A a G
1-a B
∴ a 2 b 2 (a 1)2
b 2
a 2 (
b 1) 2
(a 1) 2 (b 1)2
2 2
练习
1 x 2
x 1 3
1．
x 2
x 1
3
（构造函数法） 令 y
x 2
x 1 ，则 (y 1)x 2 + ( y + 1)x + (y 1)=0
x 2
x 1
用△法，分情况讨论
2．已知关于 x 的不等式 (a 2 1) x 2
( a 1) x 1 < 0 ( a R)，对任意实数 x 恒成立，求证：
5 a 1
3
2
a 2 1 0
讨论
分 a
1=0和
3．若 x > 0, y > 0, x + y = 1，则
x
1 y
1 25
x y
4
（构造函数法） 左边
x y 1
xy
1
y
x
xy
2
xy
xy
x 2
1
令 t = xy ，则 0
t
y
2
4
f (t) t 1 在 (0, 1
] 上单调递减
∴ f (t)
f ( 1
) 17
t 4
4
4
4．若0 a 1
( k 2, k N * ) ，且a2< a b，则b
k
1
k
1 1
1
1
（构造函数法）令
f (a) a a 2，又0 a ，f (a) 在(0, ) 上单调递增
k 2 2
b a a 2 f ( 1
) 1 1 k 1 k 1 1
k k k2 k 2 k 2 1 k 1 D b F a-b
5．记f ( x) 1 x 2 ， a > b > 0 ，则 | f (a) f ( b) | < | a b|
1
（构造图形法）构造矩形 ABCD , F在CD上，
A
使|AB| = a, |DF | = b, |AD | = 1, 则 |AC| |AF| < |CF| a 6．若 x, y, z > 0，则x2 y 2 xy y 2 z2 yz z2 x 2 zx
（构造图形法）作 AOB = BOC = COA = 120 , 设 |OA| = x, |OB| = y, |OC| = z 则由余弦定理|AC|＝x2 y2 xy z
|BC | ＝y 2 z 2 yz ,|CA|＝z 2 x 2 zx A x
O
y
B
因为 |AC+ ||BC |>|CA |，所以x 2 y 2 xy + y2 z2 yz > z2 x2 zx ，∴
C 1 B
C
不等式证明的基本方法
'、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到
判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.
不等式证明的基本方法
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1
推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．
经典不等式证明的基本方法
不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当且仅当时，等号成立。 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。
证明不等式的种方法
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<
证明不等式的基本方法(20200920095256)
12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ；
证明不等式的基本方法-比较法
第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：
不等式的常见证明方法
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。 解：设函数x x x x f ln 1)(+-=，则易证0)(≥x f ，即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立， 令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中，分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中，分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加，得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。
数列不等式证明的几种方法
数列不等式证明的几种方法 一、巧妙构造，利用数列的单调性 例1. 对任意自然数n，求证：。 证明：构造数列 。 所以，即为单调递增数列。 所以，即 。 点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。 二、放缩自然，顺理成章 例2. 已知函数，数列的首项，以后每项按如下方 式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行。 求证：当时： （1）；
（2）。 证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。 又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。（2）因为函数 ， 所以，即，因此 ； 又因为。 令，且。 所以 因此， 所以
三、导数引入 例3. 求证： 证明：令，且当时，，所以 。要证明原不等式，只须证 。 设， 所以。 令， 所以。 设， 所以上为增函数 所以，即
所以 同理可证 所以。对上式中的n分别取1，2，3，…， ，得。 四、裂项求和 例4. 设是数列的前n项和，且 （1）求数列的首项，及通项； （2）设，证明。 解：（1）首项（过程略）。 （2）证明：将， 得，
则 点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的 五、独辟蹊径，灵活变通 独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。 例5. 已知函数。设数列，数列满足 （1）求证：； （2）求证：。 证明：（1）证法1：由 令，则只须证；易知，只须证。 由分析法：
。 因为，， 所以，得证。 证法2：由于的两个不动点为。又，所以 所以 所以 ， 由上可求得， 因此只需证， 即证：
证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)
证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用 不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用． 1 利用构造法证明不等式 “所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”) 52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想 方法常有以下几种形式： 1.1 构造函数证明不等式 构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式． 1.1.1 利用判别式 在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法． 例1 设R z y x ∈,,，证明0)(32 2 ≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令2 2 2 33)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2 2 2 2 )(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=?知0≤?，所以0)(≥x f ． 故0)(322 ≥+++++z y x z y xy x 恒成立． 对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2 )(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤?，从而即可得出所需证的不等式． 例2 设+ ∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证 614141414<+++++++d c b a )18](2[P ． 证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2
