高中数学函数基本性质专项讲义及练习
专题 函数基本性质
考点精要
会运用函数图像理解和研究函数的性质．
热点分析
主要考查函数的性质及运用
知识梳理
1．函数的单调性：
设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数．
如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间）
函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小．
利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则
[]()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函
数符合的关系．
此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧．
2．函数的奇偶性：
设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x D
-∈，且-=-，则这个函数叫做奇函数．设函数y=g（x）的定义域为D，如果对()()
f x f x
D内的任意一个x，都有x D
-∈，且g（－x）=g（x），则这个函数叫做偶函数．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
在奇函数与偶函数的定义中，都要求x D
-∈，这就是说，一个函数不
∈,x D
论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
此外，由奇函数定义可知，若奇函数f（x）在原点处有定义，则一定有f（0）=0，此时函数f（x）的图像一定通过原点．
研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要．如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像．
由函数奇偶性定义，可以推出如下法则：
在公共定义域上：
两个奇函数的和函数是奇函数，差函数也是奇函数；
两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数；
两个奇函数的积或商是偶函数；
两个偶函数的积或商是偶函数；
一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数．
3．单调性与奇偶性之间的关系：
奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； 例题精讲
例 1.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有
1()f x >2()f x
的是( ) A ．()f x =
1
x
B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+
例2 ．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：
命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②
Ｂ．①③
Ｃ．②
Ｄ．③
例3,.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 11x
+，那么当x ∈（－
1，0）时， f （x ） 的表达式是_____。
练习：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，
3)(x x f =，求：当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。
例4已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f
?
??的实数x 的取值范围
是
（ ）
A .()1,1-
B .()1,0
C .()()1,00,1Y -
D .()()+∞-∞-,11,Y
例5（1）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取
值范围是 ( )
（A ）（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，2
3
）
例6 . 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1
是减函数，则函数()x f
（ ）
A .在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数
B .在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数
C .在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数
D .在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 例7设()11x
f x x
+=
-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2009=
f x
( )
A ．1x
-
B ．x
C ．
1
1
x x -+ D ．
11x
x
+-
例8 求复合函数的单调性
求下列函数的单调性，并确定每一个单调区间上的单调性
（1）(1)y x x =- （2）2
1()2x x y -= （3）22log (62)y x x =+-
例9 抽象函数性质
已知函数()f x 的定义域(0,)+∞是，当1x >时()0f x >，且()()()f xy f x f y =+
（1）求(1)f
（2）证明()f x 在定义域上是增函数
（3）如果1()13f =-，求满足不等式1
()()22
f x f x -≥-的x 的取值范围。
例10 抽象函数
设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ?=+，且当0>x 时，1)(0< （2）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若1)2()(2>-?x x f x f ，求x 的范围。 练习：函数(),(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =， 求不等式1()02f x x ? ?- ?的解集。 练习 ：、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。 解析(1)证(1)(1)f x f x +=- (2)(]3 3 (2),[1,3] ()(4),3,5x x f x x x ?-∈?=?-∈?? 针对训练 1．函数1 11 y x =- - A ．在()1,-+∞内单调递增 B ．在()1,-+∞内单调递减 C ．在()1,+∞内单调递增 D ．在()1,+∞内单调递减 2．在(,0)-∞上是增函数的是 A ．12 log ()y x =-- B ．2(1)y x =-+ C ．1x y x = - D ．21y x =+ 3．函数1()f x x x =-的图像关于 A ．y 轴对称 B ．直线y= -x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y=x 对 称 4．已知函数1()lg 1x f x x -=+，若f （a ）=b ，则f （-a ）= A ．b B ．-b C ．1 b D ．1b - 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是 A ．3,y x x =-∈R B ．sin ,y x x =∈R C ． ,y x x =∈R D ．1,2x y x ?? =∈ ??? R 6．函数f （x ） = x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ） = 2，则f （-a ）的值为 A ．3 B ．0 C ．-1 D ．-2 7．设f （x ），g （x ）都是单调函数，有如下四个命题： ①若f （x ）单调增，g （x ）单调增，则()()f x g x -单调增； ②若f （x ）单调增，g （x ）单调减，则()()f x g x -单调增； ③若f （x ）单调减，g （x ）单调增，则()()f x g x -单调减； ④若f （x ）单调减，g （x ）单调减，则()()f x g x -单调减； 其中，正确命题是 A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 8．已知偶函数f （x ）在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3 f x f ??-< ??? 的x 的取值范围是 A ．12 ,33?? ?? ? B ．12 ,33????? ? C ．12 ,23?? ?? ? D ．12 ,23 ?? ??? ? 9．若f （x ）= -x 2+2ax 与g （x ）=1 a x +在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．(1,0)(0,1)-U B ．(1,0)(0,1)-U C ．（0，1） D ．（0，1] 10 函数y=2 x 的单减区间是 。 11 函数y=2(x-1)(x-3)的单增区间是 ；单减区间是 。 12 若偶函数()f x 的定义域为[,]p q ，则p q += 。 13 设32()25(0),f x ax x bx a =++-≠若f(-3)=10,则f(3）= 。 14．若函数f （x ）=（x+1）（x -a ）为偶函数，则a 的值为___________. 15．设f （x ）的图像关于原点对称，且在（0，+∞）上是增函数，f （-3）=0，则xf （x ）<0的解集为______________. 16．若函数f （x ）=log (a x +是奇函数，则a=___________. 17．已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+ _____________ 18. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是 （ ） A.)2,(-∞ B. ),2(+∞ C. ),2()2,(+∞--∞Y D.（－2，2） 19（1）若1 ()21 x f x a = +-是奇函数，则a = ． （2）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时， 4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f . 20 已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 21 例2、函数(),(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =， 求不等式1()02f x x ? ?- ?的解集 答案 例1 A 例2 C 例3 ∴f （x ）＝－f （－x ）＝－lg 11x +＝lg （1－x ）． 针对训练 1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10. (,0)0+-∞∞和（，） 11. 2+∞（，） (,2)-∞ 12 0 13 16 14．1 15．(3,0)(0,3)-U 16 ． 17．11 ,73?? ??? ? 18略 19 略 高考链接 模拟实战 1（06北京文）已知(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --?=?≥?＜， 是（-∞，+∞）上的增函数，那么 a 的取值范围是 （A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)3,352 π ?????? (D)(1,3) 2（10北京文）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+?-是 （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数 3（10北京文）给定函数①1 2 y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=， 期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 4（07北京文）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x = ． 5（11北京理）如果,0log log 2 12 1< A ．y< x<1 B ．x< y<1 C ．1< x D ．1 6.（全国）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<< 7 （10宣武模拟）(1)已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数. <1>求a ,b 的值； <2>若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. (2)．已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0，解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0。 8 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围. 答案1 D 2 A 3 B 4 1 1 5 D 6A 7 略 8略 学情分析 基础较好，对于知识灵活运用需要训练课题一次函数导入专题 学习目标与考点分析学习目标：1、对于一次函数的性质和图像的熟练运用和把握 2、理解一次函数与二元一次方程组的联系 3、理解一次函数和正比例函数的联系和区别 考点分析：1、一次函数的性质和图像的把握 2、正比例函数的性质和一次函数的区别 学习重点重点：1、一次函数性质和图像的理解 2、正比例函数图像与一次函数图像区别 学习方法讲练结合练习巩固 学习内容与过程 一、知识点梳理 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 对数函数及其性质（讲义） ?知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质： 0 1 3 log x 2 log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2 1 a ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1） y = log 3 (x - 2) ； （2） y = ； （3） y = ； （4） y = 1 + ． ln(x +1) 2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的 2 定义域是 ； （2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它 2 的定义域是 ； （3） 函数 f (x ) = log (x 2 + 6x +13) 的值域是 ． 2 3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可 能是（ ） A ． B ． C ． D ． 教学内容—正反比例函数的图像和性质知识精要 1、掌握正、反比例函数的概念； 2、掌握正、反比例函数的图象的性质； 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 热身练习 一 填空： 1、若正比例函数13 52 )1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式 是 。3y x =- 2、已知点P （1，a ）在反比例函数x k y = （k ≠0）的图像上，其中322++=m m a （m 为实数），则这个函数的图像在第 象限。一、三 3.已知函数y = (m 2 -2)32-+m m x 是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么m= ；-2 4.反比例函数4 y x =-，当x > 0时y ，这部分图象在第 象限内；当x < 0时，y ，这部分图象在第 象限内；<0,四，>0，二 5.如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x y 3 =的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于 B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。6 名称 k 图像 取值范围 与x 轴交点 与y 轴交点 增减性 正比例函数()0y kx k =≠ k>0 一、三象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而增大 K<0 二、四象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而减小 反比例函数()0k y k x = ≠ k>0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而减小 K<0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而增大 函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛 a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④ 专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 学习 目标核心素养 １．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．２．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.１．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养． ２．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养. 用奇偶性求解析式 【例１】（１）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝—x＋１，求f（x）的解析式； （２）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝错误!，求函数f（x），g（x）的解析式． [思路点拨] （１）错误!错误! 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! （２）错误!错误! 错误!错误! 错误!错误!错误! [解] （１）设x<0，则—x>0， ∴f（—x）＝—（—x）＋１＝x＋１， 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（—x）＝—f（x）＝x＋１， ∴当x<0时，f（x）＝—x—１． 又x＝0时，f（0）＝0， 所以f（x）＝错误! （２）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x）． 由f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替x得f（—x）＋g（—x）＝错误!， ∴f（x）—g（x）＝错误!，２ （１＋２）÷２，得f（x）＝错误!； （１—２）÷２，得g（x）＝错误!. 把本例（２）的条件“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”改为“f（x）是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f（x），g（x）的解析式． [解] ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x）， 又f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替上式中的x，得 f（—x）＋g（—x）＝错误!， 即f（x）—g（x）＝错误!.２ 联立１２得 f（x）＝错误!，g（x）＝错误!. 利用函数奇偶性求解析式的方法 １“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. ２要利用已知区间的解析式进行代入. ３利用f x的奇偶性写出—f x或f—x，从而解出f x. 提醒：若函数f x的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0 ＝0． 函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 函数综合练习 1 、映射、函数的定义； 2 、函数的基本性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性） ； 3、基本函数（二次函数，幂函数，指数函数，对数函数）； 4、简单函数方程 5、极限、导数的定义、性质及其应用； 映射：（1）定义域中每个元素都在值域中有象（2）定义域中每个元素只对应一个象（良好定义） 单射：:f A B →，12x x ?≠都有12()()f x f x ≠ 满射：:f A B →，,,..()y B x A s t f x y ?∈?∈= 双射：是单射又是满射 逆映射：只有在:f A B →是双射才存在f 的逆映射，1()()f x y f y x -=?= 函数：定义域和值域元素都是数值的映射。 对于函数:f A B →： 单调性：1212,,x x x x A ?<∈，都有12()()f x f x <12(()())f x f x >，那么就称函数()f x 在区间A 上是单调增（减）函数 奇偶性：如果x A ?∈，都有x A -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；如果x A ?∈，都有x A -∈， 且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数 周期性：存在非零常数T ，使得x A ?∈，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数 二次函数：2 ()f x ax bx c =++，最值：0a <时，开口向下，在2b a -处取最大值244ac b a -；0a >时，开口向 上，在2b a -处取最小值2 44ac b a -。 幂函数： ()a y x a =∈ 指数函数：(0,1)x y a a a =>≠ 定义域：，值域： + 单调性：01a <<时，单调递减；1a >时，单调 递增。 几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1 ,1,,1 = ===--。 3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞）， 值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （ N M ）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1 log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1). 5. 函数y =x +x a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[) ,a -和(] a ,0。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0. 例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=n i i a 1 2 ）·（ ∑=n i i b 1 2 ） ≥( ∑=n i i i b a 1)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。 【证明】 令f (x )= （∑=n i i a 1 2）x 2 -2( ∑=n i i i b a 1 )x + ∑=n i i b 1 2=∑=-n i i i b x a 1 2)(, 因为 ∑=n i i a 1 2>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0， 所以△=4(∑=n i i i b a 1)-4（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 12)≤0. 展开得（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≥( ∑=n i i i b a 1 )2。 等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 函数性质及数形结合 一：学生情况及其分析：上海高三学生，已复习完函数的性质，对于基本题型掌握的很好，那我就横向拓展乐，学生易于沟通（这种性格好的学生人品好啊，因为碰到了我，嘿嘿），成绩在好一点的市重点偏上，思维不是很活跃，但是易于接受。 二：教学目的：本节课的目的在于分析不同类型的函数，如何利用函数的基本性质解题，如何识别并避免问题的陷阱？学习用数形结合这种思想解题时碰到的常见的题型，以此提升学生的数形能力。（能力好重要额） 三：教学设计： 1，教学回顾：如何定义函数的奇偶性，周期性？又如何判断？ 由奇偶性或周期性如何求函数的解析式？（忘了就嘿嘿嘿嘿） 2，教学过程： 易错点的讲解：例1设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时, 2 ()97a f x x x =++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 分析：啊？又是恒成立问题，太老土了，亲，有陷阱呢？你看到了吗？ 例2已知函数 ()122015122015f x x x x x x x =+++++++-+-++-()x ∈R ， 且2(1)(21)f a a f a --=-，则满足条件的所有a 有 分析：该如何分析这个特殊函数的性质？如何解抽象不等式呢？陷阱又在哪里？ 吐槽：到处都是陷阱，数学好黑暗啊，嘿嘿，我很阴险呢 推广： 例3函数1111()=1232015 f x x x x x +++??????+++++的图像的对称中心的坐标为 。 分析：找函数的对称性有哪些常用的方法？本题结合这个特殊的形似能否开辟捷径？ 吐槽：果然，数学中有捷径，哈哈，开心 函数的周期性： 例4如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为. （1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度； （2）写出函数的表达式；研究该函数的性质 分析：是否能用实验的方法找函数的解析式？如何分析韩式的性质？如何利用周期性分析函数的性质？ 吐槽：数学也要做实验呢，想象力的攀升也要梯子额 类周期性： 例5：设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都 ?()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f x x =（ ）是“似周期函数”； ③函数2x f x =﹣（）是“似周期函数”； ④如果函数f x cos x ω=（ ）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号） 分析：在处理函数的类周期性时要做到两看，什么是两看？ 狂力吐槽：换个衣服而已，形变神不变呢？老土。 中场休息的时候又到了，，，，，，，，，，，来一个笑话打破我们平静而又严肃的课堂氛围O(∩_∩)O ： 可以随便发挥我们侃大山的本领了，尽情狂欢吧：来一首歌吧，或者来一曲舞蹈，你花前，我月下，要不私奔吧。。。。。 xOy 1PABC PABC x P ()y x P ,()y f x =(),R y f x x =∈m m 0x m ≤≤P l [](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈ 函数的性质 要求层次 重点 难点 单调性 C ①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象 ①函数单调性的证明和判断 ②简单函数单调区间的求法 奇偶性 B 简单函数奇偶性的判断和证明 ①复合函数的奇偶性判断与证明 *②抽象函数的奇偶性 周期性 B 简单函数周期性的判断和证明 ①复合函数的周期性判断与证明 *②抽象函数的周期性 板块一：函数的单调性 （一）知识内容 1.函数单调性的定义： ①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数； 当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数． ②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则 ()y f x =为x D ∈的减函数． 2.单调性的定义①的等价形式： 设[]12,,x x a b ∈，那么 ()() ()1212 0f x f x f x x x ->?-在[],a b 是增函数； ()()()1212 0f x f x f x x x - 即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x ．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等 （二）主要方法 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义 用定义法证明函数单调性的一般步骤： ①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x < ②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数； ⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法； ⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念： 如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数． ⑻函数(0,0)b y ax a b x =+>>在,,b b a a ????-∞-+∞ ??? ?????或上单调递增；在,00b b a a ????-? ??? ????或，上是单调递减． （三）典例分析 【例1】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数． 【例2】证明函数()f x x =-在定义域上是减函数． 【例3】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性． 前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶 百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。 2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质讲义 新人教A 版必修 1 一、函数的单调性 课型A 例1. 求证：y =()3,4上递增。 证明略 例2. 判断函数x x x f 1 )(+=在[)1,0-上的单调性，并证明。 单调减 证明略 例3. 求下列函数的单调区间： ① 22y x x =- 单调减区间(),1-∞ 单调增区间()1,+∞ ② y =单调减区间(),0-∞ 单调增区间()2,+∞ ③ 22y x x =- 单调减区间(),0(1,2)-∞和 单调增区间()2,(0,1)+∞和 ④ 22y x x =- 单调减区间()1,0-和()1,+∞ 单调增区间(),1-∞-和()0,1 例4. 若2()3f x x ax =-+-在(],2-∞-上递增，求a 的取值范围。 （4a ≥-） 例5．函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于 （ D ） A 10 B 9 D 6 二、函数的奇偶性 课型A 例1. 判断下列函数的奇偶性： ○1 1 22)(2++=x x x x f ； 非奇非偶函数 ○ 2 x x x f 2)(3-=； 奇函数非偶函数 ○ 3 a x f =)( （R x ∈） 当0a =时，既是奇函数又是偶函数 当0a ≠时， 是偶函数非奇函数 ○4 ???+-=)1()1()(x x x x x f . 0,0<≥x x 奇函数非偶函数 例2．已知函数53()8(2)=10f x x ax bx f =++--且，那么(2)f 等于 ( A ) A 26- B 18- C 10- D 10 例3．已知函数2()f x ax bx c =++是偶函数，那么是32()g x ax bx cx =++是（ A ） A.奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 例4. 已知2()(11)1 x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 ① 求,a b 的值 （0，0） ② 判断()f x 的单调性并证明。 解：（1）()f x 为奇函数 (0)0f ∴= (0)0,01a f a ∴= =∴= 又11(1)(1),,022f f b b b --=-∴=-∴=-+ （2）()f x 在[]1,1-上单调增。证明略 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1,1,,1 ====--。 3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞）， 值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （ N M ）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1 log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1). 5. 函数y =x +x a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[) 0,a -和 (] a ,0。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0. 例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=n i i a 1 2 ）·（ ∑=n i i b 1 2 ） ≥( ∑=n i i i b a 1 )2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。 【证明】 令f (x )= （∑=n i i a 1 2）x 2-2( ∑=n i i i b a 1 )x + ∑=n i i b 1 2=∑=-n i i i b x a 1 2)(, 因为 ∑=n i i a 1 2>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0， 所以△=4(∑=n i i i b a 1)-4（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 12)≤0. 展开得（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≥( ∑=n i i i b a 1 )2。 等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。 函数与导数 1．（1）函数f (x )＝ 的定义域是 ． 解：[2，3) (3，4)． （2）函数f (x )＝lg(x 2 －4x －21)的定义域是___________． 解：(7，＋∞) ∪(－∞，－3)． （3）函数2()f x =的定义域为 ． 解：[3,)+∞． 说明：考查函数的定义域，理解函数有意义的条件． 2．（1）若f (x )＝2x ＋3，g (x +2)= f (x )，则g (x )的表达式为________________． 解： 2x －1． （2）若一次函数y =f (x )在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为1，则f (x )的解析式为_____． 解：23x+53，或－23x+73 ． （3）已知f (x )=3x +2则 f n x f f f 个)))(((=________________． 解： 3n x +3n －1． （4）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f = ． 解： 132 ． （5）周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，圆的半径 为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式为f (x ) =_____________． 解：－(π2+2)x 2 +lx ，0 函数性质综合（讲义） ?知识点睛 一、函数的奇偶性 1.设函数y=f (x)的定义域为I，对?x∈I， （1）若_____________，则函数y=f (x)就叫做_________； （2）若_____________，则函数y=f (x)就叫做_________． 若函数y=f (x)是奇函数或者偶函数，那么我们就说函数y=f (x)具有奇偶性．说明：奇偶函数的定义域关于原点对称． 2.奇偶函数的性质 （1）奇函数图象关于_____对称，偶函数图象关于_____对称． （2）若f (x)是奇函数，则f (x)在关于原点对称的区间上单调性_________； 若f (x)是偶函数，则f (x)在关于原点对称的区间上单调性__________． （3）若奇函数的定义域I包含数0，则必有____________． 3.判断函数奇偶性的方法 （1）分析函数定义域是否关于原点对称； （2）利用函数奇偶性定义，结合题目特征，可通过赋值、变形等，找出f (-x)与f (x)满足的关系，从而判断其奇偶性． 二、复合函数 1.定义：若函数y=() f x，y=g(x)，则称函数(()) y f g x =为复合函数，其中() f x为外层函数，g(x)为内层函数． 2.复合函数定义域的求法： ①若y=() f x的定义域为[a，b]，则复合函数(()) y f g x =的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集； ②若(()) y f g x =的定义域为[a，b]，则函数y=() f x的定义域即为x∈[a，b] 时，g(x)的取值范围． 3.复合函数的单调性 口诀：同增异减． 已知函数(()) y f g x =，则求其单调区间的一般步骤如下： （1）确定定义域； （2）将复合函数(()) y f g x =分解成：() y f u =，() u g x =； （3）分别确定这两个函数的单调区间． ?精讲精练 1.下列函数：① 1 () 1 f x x = + ；② 21 () x f x x + =；③()1 f x x =+；④3 () f x x =（-1 函数性质应用（讲义） ?知识点睛 一、函数的单调性 确定函数单调性的常用方法： （1）定义法：先求出函数的定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论． （2）图象法：若函数是以图象形式给出的，或可以作出函数图象，可由图象的升、降得出它的单调性或单调区间． （3）转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增+增得增”、“减-增得减”、“同增异减”等，求得函数的单调性或单调区间． 注： （1）确定函数单调性，优先确定定义域； （2）利用定义证明单调性，注意取值的任意性． 二、函数奇偶性判断的步骤 三、函数单调性与奇偶性的常用结论 1.若() f x是奇函数，且在原点处有定义，则f (0)=0． 2.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称． 3.若() f x是奇函数，则() f x是 f x在关于原点对称的区间上单调性相同；若() 偶函数，则() f x在关于原点对称的区间上单调性相反． ?精讲精练 1. 函数|4||3| y x x =++-是（ ） A ． 奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2. 已知函数(4)0()(4)0x x x f x x x x +?=?->， B ．240b ac ->函数导入课讲义
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