高三数学第二轮复习教案 不等式的问题 人教版
高三数学第二轮复习教案不等式问题的题型与方法三
（3课时）
一、考试内容
不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式
二、考试要求
1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三、复习目标
1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；
5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．四、双基透视
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问
题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
8．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利
用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40
作答。 五、注意事项
1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 六、范例分析
b)∈M ，且对M 中的其它元素(c ，d)，总有c ≥a ，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其它
元素(c ，d)，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当1≤y ≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．
说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其
数学实质．即求集合M 中的元素满足关系式
例2．解关于x 的不等式： ()09
22
>≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当()???≤--≥??
?≤-≥≥0
299292
22a ax x a
x a a x x a
x a x 即时，不等式可转化为
a b
x a 17
3+≤
≤∴ ???≥+-
2992)(2
22a ax x a
x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]??
????+?-∞<≤≤∴a a a
a
x a a x 6173,323,(3
23故不等式的解集为或。
例3． 己知三个不等式：①x
x -<-542 ②
12
32
2
≥+-+x x x ③0122<-+mx x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；
(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。 解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C 。 解①得A=（-1，3）；解②得B=][[)3,2()1,0B A ,4,2()1,0?=?∴?
（1） 因同时满足①、②的x 值也满足③，A ?B ?C 设12)(2++=mx x x f ，由)(x f 的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即
可满足317
173010)3(0)0(-≤∴???≤+<-??
?≤
（2） 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，]4,1(,-=???∴B A B A C 而因 此]0124,1(2=-+∴-?mx x C 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
???
?
?
?
??
?
<-<-≤≤-≥+=≥-=-4411431,0314)4(01)1(m m m f m f 解之得 说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2
+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．
例4.已知对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a ≥5．
分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0)．①
顶点式．f(x)=a(x-x 0)2
+f(x 0)(a ≠0)．这里(x 0，f(x 0))是二次函数的顶点，x 0=-
))、(x
2，f(x
2
))、(x
3
，f(x
3
))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由
证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x
1)(x-x
2
)，a∈N．
依题意知：0＜x
1＜1，0＜x
2
＜1，且x
1
≠x
2
．于是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax2-a(x
1+x
2
)x+ax
1
x
2
为整系数二次三项式，
所以f(0)=ax
1x
2
、f(1)=a·(1-x
1
)(1-x
2
)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．
从而 f(0)·f(1)≥1．①另一方面，
且由x
1≠x
2
知等号不同时成立，所以
由①、②得，a
2
＞16．又a∈N，所以a≥5．
说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．
例5.设等差数列{a
n
}的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？
分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．
解:设等差数列{a
n
}的公差为d，由Sm=Sn得
ak≥0，且ak+1＜0．
(k∈N)．
说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，①
所以 3≤3f(-1)≤6．②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b ，8≤4a ≤12，-3≤-2b ≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
例7．(2002 江苏)己知2)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x f R x b
≤≤∈>证明：都有时，若对任意当
（2）时当1
>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）时，当10≤
证明：（1）依题意，对任意R x ∈，都有b
a b a x b x f x f 4)2()(.1)(2
2+--=≤ .20,0,14)2(2
b a b a b
a b a f ≤∴>>≤=∴
（2）充分性：[]x x x b bx ax x b a b --≥-∈-≥>)(:,1,0,1,122可推出对任意
[]可知对任意又即,1,0,2,1;1,12∈≤>-≥--≥-≥x b a b bx ax x
1
,1)1
(12)2(222max 222≤-=?-?=-≤-≤-bx ax b
b b b bx x b bx x b bx ax 即1)(1≤≤-∴x f
必要性：对任意[]1)1(,1)(,1)(,1,0-≥∴-≥∴≤∈f x f x f x
b a b b a b
a
21,2,11≤≤-≤∴≤-故即
[]b a b x f x 211)(,1,0,≤≤-≤∈的充要条件是对任意综上
（3）[]1)(,1,0,10,02-≥-≥-=∈≤<>b bx ax x f x b a 对任意时 即1,1,1)1(1)(;1)(+≤≤-≤≤-≥b a b a f x f x f 即即知又由
而当b
b b b x b bx x b bx ax x f b a 4)1()21()1()(,12
22
2
+++--=-+≤-=+≤时 1
21
,10>+∴≤ b b []1)(11,)1(,1,02≤∴=-+=∴x f x bx x b y 时取得最大值故在是增函数上在 []11)(,1,0,10,0+≤≤∈≤<>∴b a x f x b a 的充要条件是对任意时当 例8．若a ＞0，b ＞0，a3+b3=2．求证a+b ≤2，ab ≤1． 分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b ≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”． 证法一 (作差比较法) 因为a ＞0，b ＞0，a3+b3=2，所以 (a ＋b)3-23=a 3+b 3+3a 2b+3ab 2-8=3a 2b+3ab 2 -6 ()1 11,1101;11≤?? ? ??≤<<∴>-≥∴-≥-b f x f b b b a b a 知由又即 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0， 即 (a+b)3≤23． 证法二(平均值不等式—综合法) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 所以a+b≤2，ab≤1． 说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮． 证法三(构造方程) 设a，b为方程x2-mx+n=0的两根．则 因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．① 因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以 所以a+b≤2． 由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1． 说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点． 证法四(恰当的配凑) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)， 于是有6≥3ab(a+b)，从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3， 所以a+b≤2．(以下略) 即a+b≤2．(以下略) 证法六(反证法) 假设a+b＞2，则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab ＞2ab ， 所以ab ＜1． ② 于是①与②矛盾，故a+b ≤2．(以下略) 说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法． 例9．设函数f(x)=ax 2 +bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相 分析：因为x ∈R ，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x 0)2 +f(x0)． 证明：由题意知，a ≠0．设f(x)=a(x-x 0)2 +f(x 0)，则 又二次方程ax 2 +bx+c=±x 无实根，故 Δ1=(b+1)2 -4ac ＜0， Δ2=(b-1)2 -4ac ＜0． 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac ＜0，即2b 2 +2-8ac ＜0，即 b 2-4a c ＜-1，所以|b 2 -4ac|＞1． 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径． 例10．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车 x 万辆。 由题意得)06 .0(94.006.094.011x a x a x a a n n n n -=- +=++即 万辆 过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606 .3,,06.0)94 .0130 30(,6006 .094.0)06.030(1 1≤≤∞→?-+≤≤+- =--x a n n n x a x x a n n n n n 例11．已知奇函数）上是增函数， ，）上有定义，在（，（），在（∞+∞+?∞-000)(x f 又,0)1(=f 知函数集合],2 ,0[,2cos sin )(2π θθθθ∈-+=m m g {}{} N M g f m N g m M ?<=<=求恒有恒有,0))((,0)(θθ 分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 022cos , 12cos sin ]2 01)(1)(0)()1(0)((0)(0)1()1(0)1(0)0)(22<+-+--<-+∈- ?-< θθθθθθ也即），即，（（即的条件是满足得又由）上也是增函数。，在（（）上是增函数，，在（奇数函数解 令10,22)],1,0[,cos 2≤≤+-+-=∈=t m mt t t t t （又设则δθ 要使内的最大值小于零，在必须使]10[)(,0)(t t δδ< 10 当φδδ∈? ? ?<+-<+-==< 22404882 0, 4 88)(,2012022 2max 0 ≤<- ? ???+-≤≤+-=≤≤≤≤m m m m m m t m m 得解不等式组时即当δ 30 当???<<+->+-=>>2 012,1)(212max m m m m t m m 得解不等式组时，即δ 综上：{ }2 24->=?m m N M 例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ （2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ （半个椭圆的面积公式为s= ,4 lh π 柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646.27=本题结果均精确到0.1米） 分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P （11，4.5） 椭圆方程为：122 22=+b y a x 将b=h=6与点P 坐标代入椭圆方程得 3.337 7882,7744≈=== a l a 此时故隧道拱宽约为33.3米 2)由椭圆方程15.411122 222222=+=+b a b y a x 得 4 .6,1.31222 9,2112 15.411,2992499,5.41125.41122222222≈=≈===∴==≥==∴≥∴??≥+b h a l b a b a s ab lh s ab ab b a 此时最小时有当πππ 故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小 . 例13．已知n ∈N ，n ＞1．求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解． 则 说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决． 例14．已知函数1 2 2)(2-+-=x x x x f ()[]() .2211)2(-≥+-+n n n x f x f x 是正实数，求证： 设 分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本 思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。 证明：（1）tx tx tx f x x x f 1 )1(11)1()(2+=+∴-+-= ,21 211)1(=?≥+=+=+∴tx tx tx tx tx tx tx f 当且仅当1=tx 时，上式取等号。 2)1(,110,10>+∴≠∴<<< 2222222222 2)(2)(2)(2(x t x t x t x t x t x t x t x t s -++=-++--++=-++= 44;44,22<=≤≤=≥x s x t t s x t 时当时当 () 1,10,10)1(+<-++≤< )1()1(2+<-+++<≤-++∴tx f x t x t tx f x t x t 即 （2）1=n 时，结论显然成立 当2≥n 时，[].....11)1()1()1()1(222 11+?+?=+-+ =+-+--x x C x x C x x x x x f x f n n n n n n n n n 21 4242211122211......11----------?+?+++=?+?+n n n n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x C x x C ?? ????++++++=-------)1(....)1()1(21221 442221n n n n n n n n n n x x C x x C x x C [] 22...)...(22 112 1121-=+++=+++?≥--n n n n n n n n n C C C C C C 例15．（2001年全国理）己知n m i n m i <≤<1,,是正整数，且 （1）i n i i m i A m A n <证明： （2）()()m n m n +>+11证明： 证明：（1）m i m m m m m m m m A i m m m A m i i i m i m 1...... 21),1)......(1.(,1+--?-?=+--=≤<有对于 同理有对整数由于,1,......,2,1,1......21-=<+--?-?=i k n m n i n n n n n n n n A i i n i m i i n i i i m i i n A n A m m A n A m k m n k n >>∴->-即, （2）由二项式定理有i m i i n i m i i m i m n i i n i n A n A m C n n C m m >=+= +∑∑==知由)1(,)1(,)1(0 )1(! ,!),1(n m i C n c m i A C i A C n m i i m i i n i i m i m i n i n <≤<>∴==<≤<而 因此 0,,1,1 1 2 2>====>∑∑==i n i m n m i m i o m o o n o i m i i n i C m mn nC mC C n C m C n C m 又 ∑∑==+>+>∴≤ i m n i m i n i i n i n m C n C m n i m 0 )1()1()(即。 七、强化训练 1．已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ） A ． 73 B ．8 3 C ．2 D ． 3 2．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--= 是减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≤1 B ．a <2 C ．1 D ．a ≤1或a ≥2 3． 解关于x 的不等式 3 22---x x x a ＞0 4．求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2 +bx+a 2 -1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且 6．（2002北京文）数列{} n x 由下列条件确定：* +∈??? ? ??+=>=N n x a x x a x n n n ,21,011 （1）证明：对于a x n n ≥ ≥总有,2, （2）证明：对于1,2+≥≥n n x x n 总有． 7．设P=(log 2x)2 +(t-2)log 2x-t+1，若t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值，试求x 的变化 范围． 8．已知数列{}{}n n n n n n b s a s n a a 的等差中项，数列 与是且项和为前的通项为2,,中， b 1=1，点P （b n ,b n+1）在直线x-y+2=0上。 Ⅰ）求数列{}{}n n n n b a b a ,的通项公式、 Ⅱ）设{}n b 的前n 项和为B n, 试比较 的大小与21 ...1121n B B B +++。 Ⅲ）设T n = 的最小值求恒成立若对一切正整数c Z c c T n a b a b a b n n n ,)(,, (22) 11∈<+++ 八、参考答案 1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 2．解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数2 2x x a ++的判别式440a ?=-≥，从而1a ≤；命题q 为真时，5212a a ->?<。 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题。 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1 3．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为()()()013<+--x x a x 和比较a 与1-及3的大小，定出分类方法。 解：原不等式化为：()()()013<+--x x a x （1） 当1-≤a 时，由图1知不等式的解集为} {31<<- 31231<<-<≤<-x a x x a 或知不等式的解集为时，由图 （3） 当{} a x x x a <<-<>3133或知不等式的解集为时，由图 4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通． 解(1) 由题意可知，a ＞0且-1，2是方程ax 2 +bx+a 2-1≤0的根，所以 (3)由题意知，2是方程ax 2 +bx+a 2 -1=0的根，所以 4a+2b+a 2 -1=0． ① 又{2}是不等式ax 2+bx+a 2 -1≤0的解集，所以 (4)由题意知，a=0．b ＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以 a=0，b=-1． 说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。 5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。 解：设x a t =，原不等式化为t a y t t y t t a t -=>-=>->-2212),0(1)0(1设，在同一坐标系中作出两函数图象 ,21y y > 故（1）当[),010,10,10+∞∈∴≤<≤<< （2） )2 2log ,222(log 22222 21,,212 2 2 2 2 2 ,12 a a a x a a t a a a a t t a t a a a -+--∈∴-+<<--∴ -±= -=-<<得解方程如右图时当 （3）当2≥ a 时，原不等式的解集为φ 综上所述，当)1,0(∈a 时，解集为[+∞,0）；当)2,1(∈a 时，解集为 [ ),2);2 22log ,222(log 2 2+∞∈ -+--a a a a a 当时，解集为φ。 6．证明：（1）)()(21,0)(2 1 0111*∈=?≥+=>+ =>=++N n a x a x x a x x x x a x x a x n n n n n n n n n 从而知及 成立时当a x n n ≥≥∴2 （2）当2≥n 时，)(21),(21,011n n n n n n n n x x a x x x a x x a x -=-∴+= >≥ ++ =成立时12 ,2.021+≥≥∴≤-?n n n n x x n x x a 7．分析：要求x 的变化范围，显然要依题设条件寻找含x 的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右式含两个字母x 、t ，t 是在给定区间内变化的，而求的是x 的取值范围，能想到什么？ 解：设P=f(t)=(log 2x-1)t+log 22x-2log 2x+1．因为 P=f(t)在top 直角坐标系内是一直线，所以t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值的充要条件 解得log2x ＞3或log2x ＜-1． 说明：改变看问题的角度，构造关于t 的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题． 8．分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解：Ⅰ）12,2-==n b a n n n Ⅱ)B n =1+3+5+…+(2n -1)=n 2 2 1...11212)1 11(...)3121()211(1).1(1..32121111...3121111...1122222211<+++∴<-=--++-+-+=-++?+?+ <++++=+++∴ n n B B B n n n n n n B B B Ⅲ)T n = n n 2 2 (2523211) 22-++++① 14322 12...25232121+-++++=n n T n ② ①-②得133221 222...2221212121+--+++++=n n n n T 32122132<---=∴-n n n n T 又21637 272423214324 >=+++=T 3=<∴c c Tn 的最小值整数满足条件。 专题1 函数的性质及应用（2） 高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。 考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它 醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称 函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。 定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。 定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称 特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析 例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右 平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 （-2，2） ． 例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中 （1） 当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2） 求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。 （2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤ 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 数列（第二轮复习） 1.等差(比)数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列. 2.通项公式 等差 a n =a 1+(n-1)d ，等比a n =a 1q n -1 3.等差(比)中项 如果在a 、b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差(比)数列，则A 叫a 、b 的等差(比)中项．A ＝(a+b)/2或A ＝±ab 4.重要性质： m+n=p+q ? a m ·a n ＝a p ·a q (等比数列)a m +a n ＝a p +a q (等差数列) (m 、n 、p 、q ∈N*) 特别地 m+n=2p ? a m +a n ＝2a p (等差数列) a m ·a n ＝a p 2 (等比数列) 5.等差数列前n 项和 等比数列前n 项和 6.如果某个数列前n 项和为Sn ，则 7.差数列前n 项和的最值 （1）若a1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由 ???≥≥+0a 0a 1 n n （2）若a1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由 ???≤≤+0a 0a 1 n n 8．求数列的前n 项和S n ，重点应掌握以下几种方法： （1）.倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. （2）.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法. （3）.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法. （4）.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差， ()()???≥-==-2111n S S n S a n n n ()()d n n na n a a S n n 2 1211-+=+=()() ()?????≠--==111111q q q a q na S n n 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 高三数学专题精练：不等式 一、选择题（10小题，每题5分） 1.设x ，y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0， b>0）的值是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 3 11 D. 4 2.若不等式组034 34x x y x y ≥??+≥??+≤? 所表示的平面区域被直线4 3 y kx =+分为面积 相等的两部分，则k 的值是（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 3.“”是“ 且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、若不等式f （x ）＝2ax x c --＞0的解集{}|21x x -<<，则函数y ＝f （－x ）的图象为（ ） 5.设,x y 满足24, 1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ （A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最 B 大值 6.已知D 是由不等式组20 30 x y x y -≥?? +≥?，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 7.设变量x ，y 满足约束条件：3 123x y x y x y +≥?? -≥-??-≤? .则目标函数z=2x+3y 的最 小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 8.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示 的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 39.不等式对任意x 实数恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ． (,1][4,) -∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞ C ．[1,2] D ．(,1][2,)-∞+∞ 10.已知0,0a b >>，则112ab a b ++ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 二、填空题（5个题，每题4分） 11.若0x >，则2x x +的最小值为. 2313x x a a +--≤- 高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下 不等式选讲 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案 自主学习导引 真题感悟 1．(xx ·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A 2．(xx·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于 A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．1 解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2| 12＋3 2 ＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2 －d 2 ＝222 －12 ＝2 3. 答案 B 考题分析 圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点． 网络构建 高频考点突破 考点一：直线方程及位置关系问题 【例1】(xx·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2： 2x＋ay－2a－1＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定． [规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合， 所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件． [答案] C 【规律总结】 直线与直线位置关系的判断方法 (1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2?k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2. (2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2?k1·k2＝－1；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直． 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 1、（02京皖春1）不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1} B ．｛x ｜0＜x ＜３} C ．｛x ｜0＜x ＜1} D ．｛x ｜－1＜x ＜３} 2、（01河南广东1）不等式 3 1 --x x >0的解集为（ ） A ．{x |x <1} B ．{x |x >3} C ．{x |x <1或x >3} D ．{x |1 高三数学第二轮复习教案 第7讲 概率与统计问题的题型与方法（三） 七、强化训练和参考答案 1．随机变量ξ的的分布列如下，则m =（D ） A ． 31 B ．21 C ．61 D ．4 1 2．设随机变量ξ服从二项分布B （6，2 1 ），则P （ξ=3）= （A ） A ．165 B ．16 3 C ．85 D ．83 3．从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设ξ为这3支签的号码之中最大的一个，则ξ的的数学期望为（B ） A ．5 B ．5.25 C ．5.8 D ．4.6 4．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P （ξ≥1）等于（Ｄ） A ．0.9163 B ．0.0081 C ．0.0756 D ．0.9919 5．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是（C ） A ．与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最大 B ．与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最小 C ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等 D ．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关 6．一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（D ） A ．分层抽样 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．系统抽样法 7．当一个样本的容量不大时，我们估计总体的标准差σ的常用量是（C ） A ．s B ．s 2 C ．s * D ．s *2 8．从总体中抽一个样本，2、3、4、8、7、6，则样本平均数为x =（B ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．6.5 9．从总体中抽一个样本，3、7、4、6、5，则样本方差s *2为（B ） A ．2 B ．2.5 C ．5 D ．3 10．下面哪有个数不为总体特征数的是（B ） A ．总体平均数 B ．总体方差 C ．总体标准差 D ．总体样本 11．为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查，这种抽样方法称为（C ） A ．简单随机抽样 B ．随机数表法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 12．已知n 个数据为x 1，x 2，…，x n ，那么])()()[(1 1 22221x x x x x x n n -++-+--Λ是指（D ） A ．s B ．s * C ．s 2 D ．s *2 13．总体方差σ2的的估计量为（B ） A ．x B ．s 2 C ．s D ．s * 14．已知容量为40的样本方差s 2=3.9，那么s *=（B ） A ．4 B ．2 C ． 2 D ．1 15．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的数学期望为（B ） A ．20 B ．10 C ．5 D ．15 16．某一计算机网络，有几个终端，每个终端在一天中使用的概率p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为（B ） A ．np （1-p ） B ．np C ．n D ．p （1- p ） 17．下列说法正确的是：（D ） A ．甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样 B ．期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好 C ．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习情况甲班比乙班好 D ．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习情况甲班比乙班好 18．某射击运动员射击所得环数ξ的分布列如图所示，则P （ξ=8）= （D ） 不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为｛x | -3 1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为｛x|—K x< 5｝，求实数a的值； ⑵在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1，解不等式f(x)_3 ；(2)如果- x R , f(x) —2，求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 高三数学二轮专题复习教案――数列 高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 １．数列的概念及表示方法 （１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法． （３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分 为单调数列、摆动数列和常数列． （４）n a 与n S 的关系： 11(1)(2) n n n S n a S S n -=?=? -?≥． 2．等差数列和等比数列的比较 （１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -* =+-=∈N ，，． （４）性质 等差数列的主要性质： ①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若m n p q +=+，则 () m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别 地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=． ③ ()() n m a a n m d m n *-=-∈N ，． ④232k k k k k S S S S S --，，，… 成等差数列． 等比数列的主要性质： ①单调性：当1001 a q ??>?时，为递增数列； 当 101a q ?，， ，或 1001 a q >?? <高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)
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