八年级初二数学 数学二次根式试题及解析

八年级初二数学 数学二次根式试题及解析

一、选择题

1．计算3

2782

-?的结果是（ ） A ．3

B ．3-

C ．23

D ．53

2．下列计算正确的是（ ） A ．235+=

B ．422-=

C ．8＝42

D ．236?=

3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5

B ．

13

C ．10

D ．27

4．下列各式计算正确的是（ ） A ．

1

222

= B ．362÷=

C ．2(3)3=

D ．222()-=-

5．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A ．2a

B ．－a

C ．3a

D ．a

6．给出下列结论：①101+在3和4之间；②1x +中x 的取值范围是1x ≥-；③81的平方根是3；④31255--=-；⑤515

28

->．其中正确的个数为（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7．已知1200722007n n x ?=?- ???

，n 是大于1的自然数，那么()21n x x -+的值是

（ ）. A ．

1

2007

B ．1

2007

-

C ．()

1

12007

n

- D ．()

1

12007

n

-- 8．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+=

B ．2

236=（）

C ．824+=

D ．236?=

10．若75与最简二次根式1m +是同类二次根式，则m 的值为（ ） A ．7

B ．11

C ．2

D ．1 11．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A ．1-

B ．4x

C ．24a -

D ．2a 12．下列计算正确的是（ ） A ．234265+= B ．842=

C ．2733

÷=

D ．2(3)3-=-

二、填空题

13．已知a ，b 是正整数，且满足1515

2()a b

+是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．

14．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．

⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为

234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；

⑵根据以上规律写出n a 的表达式．

15．222a a

++-1的最小值是______．

16．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：

若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______． 17．使式子

32

x

x -+有意义的x 的取值范围是______． 18．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 191262_____．

20．化简(32)(322)+-的结果为_________.

三、解答题

21．阅读材料，回答问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a a a =，

)

21

211=a a 2121互为有理化因式．

（1）231的有理化因式是 ；

（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

323

3333

==?， (

)(

)

2

53

53

521538215

41553

53

53

++++==

==--+3

23

+进行分母有理化． （3）利用所需知识判断：若25

a =

+，25b =a b ，的关系是 ． （4）直接写结果：)

20201213220202019=+++ ．

【答案】（1）231；（2）743-；（3）互为相反数；（4）2019 【分析】

（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；

（2

）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；

（3

）将a=

（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．

【详解】

解：（1

）∵(

)()

1111

=，

∴1

的有理化因式是1；

（2

2

243

7

43

--

==-

-

（3

）∵2

a===，2

b=-

，

∴a和b互为相反数；

（4

）)1 ++

?

=)

1

1

?

=)

11

=20201

-

=2019，

故原式的值为2019.

【点睛】

本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计

算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．

22．先阅读下列解答过程，然后再解答：

,

a b，使a b

m

+=，ab n

=

，使得22

m

+

=

=

)

a b

==>

7,12

m n

=

=，由于437,4

312

+=?=，

即：22

7

+=，

=

2

===+。

问题：

① __________=___________=；

② （请写出计算过程）

【答案】（112；（22. 【分析】

a 的形式化简后就可以得出结论

了． 【详解】

解：（1

=

1=

2；

（2

2

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．

23．先化简，再求值：24211326x x x x -+?

?-÷

?++??

，其中1x =.

. 【分析】

根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】

原式=2

2

1(1)12(3)

232(3)3(1)

1x x x x x x x x x ---+????÷=?= ? ?+++--????. 将21x =+代入原式得22

= 【点睛】

此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.

24．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．

（1） 的解法是错误的；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】

试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；

（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()

2

3a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.

25．阅读下列材料，然后回答问题： 3

3+135

33

333?22(31)2(31)313+1(3+1)(31)(3)1?-?-==-- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.

3+122(3)(3+1)(3313+13+13+13+1

===.

（1）请用其中一种方法化简1511

-；

（2）化简：

++++

3+15+37+5

99+97

.

【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】

(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；

（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==

；

（2）原式=+

++…

=﹣1+﹣

+﹣

+…

﹣

=

﹣1

=3

﹣1

【点睛】

本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.

26．计算（118831)31)?； （2）1(123)622

【答案】（122+；（2）2. 【解析】

分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算. 详解：（1)

18831

31+；

＝()322231- 22 ；

（2）原式＝(2233622

?, ＝3362＝3322? ＝922＝2

点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的

也可先化简，再相乘，灵活对待．

27．

一样的式子，其实我

3

==

==

，

1

===；以上这种化简的步骤叫做分母有理

化

还可以用以下方法化简：

2

2

111

1

===

-

=

（1

2

）化简：

2n

++

+

【答案】（1

-2

.

【解析】

试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．

（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．

试题解析：（1）

==

===

（2）原式

2n

+++

=

.

考点：分母有理化．

28．

（1

|5

-+；

（2）已知实数a、

b、c满足|3|

a+=，求2

(b a

+的值．

【答案】（1）5；（2）4

【分析】

（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；

（2）先根据二次根式有意义的条件确定b的值，再根据非负数的和的意义确定a，c的值，然后再计算代数式的值即可．

【详解】

解：（15-+

5)

=+

5

=+

5

=

（2）由题意可知：

50 50 b

b

-≥?

?

-≥?

,

解得5

b=

由此可化简原式得，30

a+=

30

a

∴+=，20

c-=

3

a

∴=-，2

c=

22

((534

b a

∴+=--=

【点睛】

可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．

29．计算下列各题：

（1

（2）2

-．

【答案】（1）2）2

--

【分析】

（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；

（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．

【详解】

解：（1）原式==；

（2）原式22(5

=--+

525

=---

2

=--

【点睛】

本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．

30．计算：

（1）13?+-? ?

?

（2）

)()

2

2

21+．

【答案】（1）6-；（2）12-【分析】

（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值． 【详解】

解：（1）原式＝1(23??

＝-?

＝??

＝6-；

（2）原式＝3﹣4+12﹣

＝12﹣． 【点睛】

此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

先计算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可． 【详解】

原式

=

故选：A．

【点睛】

本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

2．D

解析：D

【分析】

直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．

【详解】

解：A

B

=，故此选项不合题意；

2

C，故此选项不合题意；

D=

故选：D．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．C

解析：C

【分析】

化简得到结果，即可做出判断．

【详解】

解：A

B，不是最简二次根式；

C是最简二次根式；

D

故选：C．

【点睛】

本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．4．C

解析：C

【分析】

根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】

2

，故选项A错误；

=

2

，故选项B错误；

C. 2

3

=，故选项C正确；

2

=，故选项D错误；

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．A

解析：A

【分析】

根据二次根式的定义，直接判断得结论．

【详解】

A A正确；

B、0

a

C是三次根式，故C错误；

D、0

a

故选：A．

【点睛】

a≥)是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．

6．A

解析：A

【分析】

答．

【详解】

解：①3104

<<，

415

∴<<，

故①错误；

x的取值范围是1

x≥-，故②正确；

9=，9的平方根是3±，故③错误；

④5=，故④错误；

58=

，(2

29<，

5

08

-<58<，故⑤错误； 综上所述：正确的有②，共1个， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

令a =

112x a a ??=

- ???

112a a ??=+ ???，2007n a =，进而得到

x

【详解】

令a =

112x a a ??=

- ???

112a a ??=+ ???，2007n a =，

∴x 1111122a a a a a ????--+=- ? ?????，∴原式=111()(1)(1)2007

n n n

n a a -=-=-． 故选C ． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据等腰直角△ABC 被直线a 和b 所截的图形分为三种情况讨论：①当0≤x ≤1时，y 是BM +BD ；②当1＜x ≤2时，y 是CP +CQ +MN ；当2＜x ≤3时，y ＝AN +AF ，分别用x 表示出这三种情况下y 的函数式，然后对照选项进行选择． 【详解】

①当0≤x ≤1时，如图1所示．

此时BM ＝x ，则DM ＝x ，在Rt △BMD 中，利用勾股定理得BD x ，

所以等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ＝BM +BD ）x ，是

一次函数，当x ＝1时，B 点到达N 点，y +1；

②当1＜x≤2时，如图2所示，

△CPQ是直角三角形，

此时y＝CP+CQ+MN＝2+1．

即当1＜x≤2时，y的值不变是2+1．

③当2＜x≤3时，如图3所示，

此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF＝2（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣2）x+3+32，是一次函数，当x＝3时，y＝0．

综上所述只有D答案符合要求．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y与x 的函数式．

9．D

解析：D

【分析】

根据二次根式的运算法则一一判断即可．

【详解】

A

B、错误，212

（；

=

C==

D==

故选：D．

【点睛】

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型．

10．C

解析：C

【分析】

几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.

【详解】

解=m=7时==，故A错误；当m=11

时==B错误；当m=1

时=故D错误；

当m=2时=故C正确；

故选择C.

【点睛】

本题考查了同类二次根式的定义.

11．D

解析：D

【分析】

根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．

【详解】

解:A,不是二次根式；

B x＜0时无意义,不一定是二次根式；

C在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；

D a2≥0,一定是二次根式；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．12．C

解析：C

【分析】

根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定．【详解】

A、A错误；

B=B错误；

C3

=，故选项C正确；

=，故选项D错误；

D3

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．二、填空题

13．7

【解析】

解：∵=+，∴a、b的值为15，60，135，240，540．

①当a=15，b=15时，即=4；

②当a=60，b=60时，即=2；

③当a=15，b=60时，即=3；

④当a=60

解析：7

【解析】

解：∵2，∴a、b的值为15，60，135，240，540．

①当a=15，b=15时，即2=4；

②当a=60，b=60时，即2=2；

③当a=15，b=60时，即2=3；

④当a=60，b=15时，即2=3；

⑤当a=240，b=240时，即2=1；

⑥当a=135，b=540时，即2=1；

⑦当a=540，b=135时，即2=1；

故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．

所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对．故答案为：7．

点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．

14．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．

∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，

解析：（1）a2，a3＝2，a4＝；（2）a n n为正整数）．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．

∴在Rt△ABC中，AC

AE＝2，EH＝，…，

即a2a3＝2，a4＝

（2）a

n n为正整数）．

15．0

【解析】

【分析】

先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。

【详解】

解：-1

=-1

∵最小值为：1，

∴-1的最小值是0．

故答案为：0．

【点睛】

本题考查了二次根式求最小

【解析】 【分析】

1，再和1作差，即可求解。

【详解】

=

1，

的最小值是0． 故答案为：0． 【点睛】

本题考查了二次根式求最小值，其中运用完全平方公式，化简原式寻找求最小值的思路是解答本题的关键。

16．（17,6） 【解析】

观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.

∵这组数据中最大的数：， ∴是这组数据中的第102个数. ∵每一行排列了6个数，而 ∴是第1

解析：（17,6） 【解析】

的积，

.

∵

这组数据中最大的数： ∴102个数.

∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴

17行第6个数，

∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.

点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到

大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是

所在的列数.

【分析】

根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】 由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】

本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分

解析：3x ≤且2x ≠- 【分析】

根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】

由题意得：20

30x x +≠??-≥?

，

解得3x ≤且2x ≠-， 故答案为：3x ≤且2x ≠-． 【点睛】

本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．

18．【详解】

若的整数部分为a ，小数部分为b ， ∴a=1，b=， ∴a -b==1． 故答案为1．

解析：【详解】

a ，小数部分为

b ， ∴a =1，b 1，

∴

-b 1)=1．

故答案为1．

19．6 【分析】

利用二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】 ＝

＝ ＝6， 故答案为6． 【点睛】

本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．

解析：6 【分析】

==进行计算即可． 【详解】

＝6， 故答案为6． 【点睛】

本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．

20．1 【分析】

根据平方差公式进行计算即可. 【详解】 原式=. 故答案为：1. 【点睛】

本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.

解析：1 【分析】

根据平方差公式进行计算即可. 【详解】

原式=(2

2

3981-=-=.

故答案为：1. 【点睛】

本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.

三、解答题