高考数学二十二个必考问题讲解
必考问题11 数列的综合应用问题
1．(2012·湖北)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |.
其中属于“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )． A ．①② B ．③④ C ．①③
D ．②④
答案： C [设等比数列{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2，{|a n |}的公比为|q |，其
余的数列不是等比数列．]
2．(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )．
A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0
D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列
答案：C [A 、B 、D 均正确，对于C ，若首项为－1，d ＝2时就不成立．] 3．(2010·辽宁)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n 的最小值为( )．
A.17
2 B.212 C ．10
D ．21
答案：B [在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2得，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝(2＋2n －2)(n －1)2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n ＋33
n －1，又n ∈N *，n ≥1.∴当n ＝6时，
a n n 有最小值212
.] 4．(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.
解析 ∵a n ＝n cos n π
2＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝6，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋
a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝6，k ∈N ，故S 2 012＝503×6＝3 018.
答案 3 018
1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇． 2．解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题具有综合性强、立意新、角度活、难度大的特点．
1．数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握，为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中对解数列试题的能力考察特点，掌握相关的应对策略，以提高解决数列问题的能力．
2．近几年高考中一些难题均是以高等数学的某些知识为背景而用初等数学的语言表述的试题．这就启示我们在复习备考时，要在高等数学与初等数学的衔接点上多下工夫，要提高将陌生问题转化、化归为熟知问题的能力．复习时要抓住主流综合，同时做到不忽视冷门、新型综合.
必备知识
在数列求和时，为了证明的需要，需合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有：
(1)1k 2<1k 2－1＝12????1
k －1－1k ＋1； (2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ＋1； (3)2(n ＋1－n )<
1
n
<2(n －n －1)； (4)利用(1＋x )n 的展开式进行放缩．
数列是特殊的函数，是定义在正整数集上的一列函数值．通项公式及求和公式揭示了项和项数的依赖关系的本质属性．用“函数与方程”的思想解决数列中的综合问题，通常有如下情形：
(1)用等差数列中的公差为“斜率”的意义沟通关系解题； (2)用等差数列的前n 项和为项数n 的二次函数解题；
(3)用函数观点认识数列的通项，用函数单调性的定义研究数列的增减性解决最值问题；
(4)通项公式求解中方程思想的应用；
(5)应用问题中方程思想的应用．
必备方法
1．解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．
2．解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．
数列与新背景、新定义的综合问题
该类问题出题背景广、新颖，解题的关键是读懂题意，有效地将信息转化，能较好地考查学生分析、解决问题的能力和知识的迁移能力、以客观题或解答题的形式出现，属于低中档题．
【例1】? 在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n )，….如果n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→
＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．
[审题视点] [听课记录]
[审题视点] 由P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k )可求解．
解析 P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k )，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→
＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为
2＋23＋25＋…＋22n －1＝
2(1－4n )1－4
＝2
3(4n －1)． 答案 2
3
(4n －1)
解决数列与新背景、新定义的综合问题，可通过对新数表、图象、新定义的
分析、探究，将问题转化为等差(比)数列的问题．
【突破训练1】 (2012·东北三校二模)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝
S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →＝( )．
A ．2 011
B ．－2 011
C ．0
D ．1
答案： A [设S n ＝An 2＋Bn ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)A ＋B ，由S 21＝S 4 000，知4 021 A ＋B ＝0，所以a 2 011＝0，OP →·OQ →＝2 011＋a n ×a 2 011＝2 011，故选A.]
数列与函数的综合问题
由于数列与函数的紧密联系，近几年高考在数列与函数的综合处命题有加强的趋势，常考查以函数为背景的数列问题，该类问题的知识综合性比较强，能很好地考查逻辑推理能力
和运算求解能力．需掌握与函数、函数性质等相关方面的知识，难度较大．
【例2】? (2012·陕西五校联考)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7. (1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；
(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . [审题视点] [听课记录]
[审题视点] (1)配方可求顶点的纵坐标，再用定义可证；(2)由b n ＝|a n |知分类求和． (1)证明 ∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，∴a n ＝3n －8，∴a n ＋
1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，∴数列{a n }为等差数列．
(2)解 由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，
S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 2
2.
当n ≥3时，b n ＝3n －8，
S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋[1＋4＋…＋(3n －8)] ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]
2
＝3n 2－13n ＋282
，
∴S n
＝???
13n －3n 2
2
，1≤n ≤2.3n 2
－13n ＋28
2
，n ≥3.
, 解决此类问题时要注意把握以下两点：
(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．
【突破训练2】 (2012·潍坊二模)已知函数f (x )＝(x －1)2，数列{a n }是各项均不为0的等差数列，点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上；数列{b n }满足b n ＝34
n －
1.
(1)求a n ；
(2)若数列{c n }满足c n ＝a n
4n －1·b n
，求数列{c n }的前n 项和．
解 (1)因为点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上，所以a 2n ＝S 2n －1. 令n ＝1，n ＝2，得????? a 21＝S 1，a 22＝S 3，即?????
a 21＝a 1， ①
(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ， ②
由①知a 1＝0或a 1＝1，∵a 1≠0，∴a 1＝1.代入②解得d ＝－1或d ＝2，又d ＝－1时，a 2＝0不合题意，∴d ＝－1(舍去)，∴d ＝2.即a n ＝2n －1.
(2)由(1)得c n ＝a n
4n －1·b n ＝2n －14n －1·
34n －1＝2n －13
n －1.
令T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，
则T n ＝130＋331＋5
32＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①
13T n ＝131＋332＋5
33＋…＋2n －33
n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋233＋…＋2
3n －1－2n －13n
＝1＋23·1－13n －1
1－13－2n －13n ＝2－1
3n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n .
所以T n ＝3－n ＋1
3
n －1.
数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问题是高考的热点，常考查：①以数列为载体，比较两项的大小或证明不等式；②以数列为载体，利用不等式恒成立求参数．在解答时需要我们抓住本质，进
行合理变形、求和，再结合与不等式有关的知识求解．试题难度较大．
【例3】? (2011·广东)设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1
a n －1＋n －1(n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n ＋
1＋1. [审题视点] [听课记录]
[审题视点] (1)对所给递推关系式变形(取倒数)后构造等比数列求解． (2)利用基本不等式放缩． (1)解 由a 1＝b ＞0，
知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1＞0，n a n ＝1b ＋1b n －1
a n －1.
令A n ＝n a n ，A 1＝1
b
.
当n ≥2时，A n ＝1b ＋1b A n －1＝1b ＋…＋1b n －1＋1b n －1A 1＝1b ＋…＋1b n －1＋1
b n .
①当b ≠1时，A n ＝1b 1－1b n 1－1b
＝b n －1
b n (b －1)；
②当b ＝1时，A n ＝n .所以a n ＝?????
nb n
(b －1)b n －1，b ≠1.1，b ＝1
(2)证明 当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n (b －1)b n －1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1
＋1)b n －1b －1.
因为(b
n ＋1
＋1)b n －1b －1
＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －
2＋…＋1＝b n ????b n ＋1b n ＋????b n －1＋1b n －
1＋…＋????b ＋1b ＞b n (2＋2＋…＋2)＝2nb n ，所以2a n ＝2nb n
(b －1)b n －1
＜1＋b n ＋1. 当b ＝1,2a n ＝2＝b n ＋
1＋1. 综上所述，2a n ≤b n ＋1＋1.
与数列有关的不等式证明常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用
函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列＋不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩．
【突破训练3】 (2012·日照一模)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，a 3是a 1，a 7的等比中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n 为数列????
??1a n a n ＋1的前n 项和，若T n ≤1
λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最
大值．
解 (1)设公差为d ，由已知得，
?
????
4a 1＋6d ＝14，
(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1. (2)∵
1a n a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1(n ＋1)－1
(n ＋2)
， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2
＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2)
， ∵T n ≤1λa n ＋1，∴n 2(n ＋2)≤1λ(n ＋2)，
即λ≤2(n ＋2)2n ＝2n ＋4n
＋4，
又2n ＋4
n
＋4≥2×(4＋4)＝16，∴λ的最大值为16.
数列与函数的“巧妙”对接
纵观2012年高考，有多份试卷以数列与函数的综合题为压轴题，有些大题还穿插了导数来研究函数的工具作用，既考查了函数的知识，又考查了数列的知识，试题综合性强，分步解答，有利于高校选拔优秀的考生，是一种非常热门的题型，预计2013年高考仍将在此命题．
【示例】? (2012·天津)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0. (1)求a 的值；
(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值；
(3)证明：∑i ＝1
n
2
2i
－1－ln(2n ＋1)＜2(n ∈N *)． [满分解答] (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)． f ′(x )＝1－
1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a
. 由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a ＞－a .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－a,1－a )
1－a (1－a ，＋∞)
f ′(x ) －
0 ＋
f (x )
极小值
因此，f ( 1.(4分) (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0， 故k ≤0不合题意．
当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2， 即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.
g ′(x )＝x
x ＋1－2kx ＝－x [2kx －(1－2k )]x ＋1.
令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝
1－2k
2k
＞－1. ①当k ≥1
2时，1－2k 2k ≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调
递减．从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立．
故k ≥1
2
符合题意．
②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈? ????0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在?
????
0，1－2k 2k 内单调递增．因此当取x 0∈?
????0，1－2k 2k 时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20
不成立．
故0＜k ＜1
2不合题意．
综上，k 的最小值为1
2
.(8分)
(3)当n ＝1时，不等式左边＝2－ln 3＜2＝右边，所以不等式成立．
当n ≥2时，∑i ＝1
n
f ? ????22i －1＝∑i ＝1n ??????22i －1－ln ? ????1＋22i －1＝∑i ＝1n 2
2i －1－∑i ＝1n [ln(2i ＋1)－ln(2i －1)]＝∑i ＝1
n
2
2i －1－ln(2n ＋1)．
在(2)中取k ＝12，得f (x )≤x 2
2
(x ≥0)，
从而f ? ????22i －1≤2(2i －1)2＜2
(2i －3)(2i －1)
(i ∈N *，i ≥2)， 所以有∑i ＝1n
22i －1－ln(2n ＋1)＝∑i ＝1n f ? ????22i －1＝f (2)＋∑i ＝2n f ? ????22i －1＜2－ln 3＋∑i ＝2
n
2(2i －3)(2i －1)＝2－ln 3＋∑i ＝2
n
? ????12i －3－12i －1＝2－ln 3＋1－1
2n －1＜2. 综上，∑i ＝1
n
2
2i －1－ln(2n ＋1)＜2，n ∈N *.(14分)
老师叮咛：本题第(1)问应用导数研究函数的单调性、极值，难度较小，属于送分题；第(2)问属于含参函数的恒成立求参数范围问题，需构造新函数，再利用导数研究新函数的单调性、极值与最值等.其中，需对k 进行分类讨论，对k 的每个范围利用分析法求得适合题意的k 的范围；第(3)问考查了考生赋值、数列的求和、放缩法证明不等式等知识.其中，推导
是联系数列与函数的纽带.再借用第(2)问的结果可得
f (x )≤x 22.从而f ? ????22i －1≤2(2i －1)2＜? ??
??
12i －3－12i －1.为后面利用放缩法证明不等式打下基础. 【试一试】 已知函数f (x )＝1－a
x －ln x (a 为实常数)．
(1)若函数f (x )在区间(0,2)上无极值，求实数a 的取值范围； (2)讨论函数g (x )＝f (x )－2x 的单调性；
(3)已知n ∈N *且n ≥3，求证：ln n ＋13＜13＋14＋15＋…＋1
n .
(1)解 f ′(x )＝a x 2－1x ＝a －x
x
2.
当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在(0,2)上无极值； 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＜a ；由f ′(x )＜0，得x ＞a ，即函数f (x )在(0，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，要使函数f (x )在(0,2)上无极值，只要a ≥2即可．
故所求的实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)解 g (x )＝f (x )－2x ＝1－a
x －l n x －2x ，
g ′(x )＝a x 2－1
x －2＝－2x 2＋x －a x 2.
令k (x )＝2x 2＋x －a ，则Δ＝1＋8a .
当Δ＜0，即a ＜－1
8时，k (x )＞0恒成立，即g ′(x )＜0恒成立，此时函数g (x )在(0，＋
∞)上单调递减；
当Δ＝0，即a ＝－18时，只有在x ＝－1
4时，k (x )＝0，故k (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，
即g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，此时函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；
当Δ＞0，即a ＞－1
8时，方程k (x )＝0的两个实数根是x 1＝－1－1＋8a 4＜0，x 2＝
－1＋1＋8a
4，若1＋8a ≤1，即a ≤0，则x 2≤0，此时，k (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即g ′(x )
＜0在(0，＋∞)上恒成立，此时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；若1＋8a ＞1，则x 2＞0，此时在(0，x 2)上k (x )＜0，g ′(x )＞0，在(x 2，＋∞)上k (x )＞0，g ′(x )＜0，故函数g (x )在(0，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减．
综上所述：当a ≤0时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞0时，函数g (x )在
? ????0，－1＋1＋8a 4上单调递增，在? ??
??－1＋1＋8a 4，＋∞上单调递减．
(3)证明 构造函数h (x )＝l n (1＋x )－x ，则h ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当x ＞0时，h ′(x )
＜0，故函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (0)＝0，即不等式l n (1＋x )＜x 对任意正实数x 恒成立．
令x ＝1n ，得l n n ＋1n ＜1n ，即l n (n ＋1)－l n n ＜1
n
，
所以l n n ＋13＝l n (n ＋1)－l n 3＝l n n ＋1n ＋l n n n －1＋…＋l n 43＜13＋14＋15＋…＋1n .
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高三数学解析几何专题
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
【高考宝典】高考数学解答题常考公式及答题模板
高考数学解答题常考公式及答题模板 题型一：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === （R 是AB C ?外接圆的半径） 变式①：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③： C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理：???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式：???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理：?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^） 5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 利用以上关系和诱导公式可得公式：??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇： 2 π 的奇数倍 偶： 2 π 的偶数倍
高中物理公式大全.doc
高中物理公式大全 一、力学 1、胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料 有关) 2、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受 到的地球引力) 3 、求F 1、F 2 两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围：? F1－F2 ?≤ F≤ F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体，所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力的公式： (1) 滑动摩擦力： f= μ F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N无关. (2) 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O≤ f静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关)
说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= ρgV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h— 卫星到天体表面的高度） a 、万有引力=向心力 G Mm R h m () + = 2 V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π b、在地球表面附近，重力=万有引力 mg = G Mm R2 g = G M R2 c、第一宇宙速度 mg = m V R 2 V=gR GM R =/ 8、库仑力：F=K22 1 r q q (适用条件：真空中，两点电荷之间的作用力) 9、电场力：F=Eq (F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反) 10、磁场力： （1）洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。 公式：f=qVB (B⊥V) 方向--左手定则 （2）安培力：磁场对电流的作用力。
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
2020高考数学专题复习-解析几何专题
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】
高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高考物理必备公式大全
高考必背物理公式 质点运动 1.匀速直线运动：------t s v = ---vt s = v 表示速度，s 表示位移，t 表示时间。 2.变速直线运动：------t v s = 其中：s 表示位移，v 表示平均速度，t 表示时间。 3.匀变速直线运------基本公式：t v v a t 0-= t v s = 2 0t v v v += 导出公式：2021at t v s += 2 022v v as t -= t v v s t 2 += t v v 中中>+=2 v v 2t 2 0s 纸 带 法 ：2 aT s =? 2 )(T N M S S a N M --= 2T 两侧中S v v t == 4.平抛运动：沿V 0方向 t v S x 0= 0v v x = 0=x a 0=x F y x t t = 沿垂直于V 0方向（竖直）---2 2 1gt S y = ---gt v y = ---g a y = ---mg F y = 各量方向------位移：θφtan 21 2tan 0===v gt S S x y ------速度：0tan v gt v v x y ==θ 其余量的求法：---位移：4 2220 224 1t g t v S S S y x +=+= ---速度：222022t g v v v v y x +=+= ---时间：g h t 2= 5.匀速率圆周运动： ---基本公式：---运动快慢---线速度：t s v = 其中：s 为t 时间内通过的弧长。 --转动快慢---角速度：t φ ω= 其中：φ为t 时间内转过的圆心角。 ---周期：f T 12= = ω π v r ?=π2 r v =ω ---向心力：心心ma v m r f m r T m r v m r m F =??=====ωππω2222 22 44 ---向心加速度：m F r f r T r v r a 心心=====2222 22 44ππωv ?=ω 力的表达式 1.重力---mg G =---不考虑地球自转的情况下 ，重力与万有引力相等2 R GMm mg = 2.弹力---不明显的形变---用动力学方程求解； 明显的形变---在弹性限度以内，满足胡克定律：x k f ??-= 3.摩擦力---静摩擦力---max 0f f ≤< 最大静摩擦力：N s F f μ=m a x 其中：s μ为最大静摩擦因数。 ---滑动摩擦力---N F f μ= 其中：μ为动摩擦因数，F N 为正压力。 4.力的合成和分解 ------合力的大小：θcos 2212221F F F F F ++=其中：θ为F 1与F 2的夹角； ------合力的方向： 6.核力：组成原子核的核子之间的作用力。 强力、短程力 7.电场力：------库仑力：2 2 1r Q kQ F = ------电场力：Eq F = 8.安培力：---当为有效长度均匀其中时l B l I B F I B ,,??=⊥;当0//=F I B 时。
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