论级数求和的解题策略开题报告

论级数求和的解题策略开题报告

开题报告

论级数求和的解题策略

一、选题的背景、意义

级数理论是数学研究的重要对象,它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用,而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一,也是较难解决的问题,因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外,一般级数都难以求出它的部分和,所以级数求和的方法比较灵活,技巧性也比较强,因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。

无穷级数出现的很早,往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪,无穷级数引起了当时哲学家与数学家的兴趣。17世纪微积分诞生之后,无穷级数作为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于超越函数,常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数,泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后,人们又在考虑这个问题的逆问题,即级数的求和问题[1]。

现今数学理论的学习与研究中,无穷级数也是一个有效工具,无穷级数求和更是一块重要内容,它促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试,虽然产生许多悖论,但使数学产生了很多分支,丰富了数学理论的发展。经过历史的研究与发展,结合历史上大量数学家的研究理论与所得结论。当今学者还对级数问题与级

数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究,创造性地提出了许多级数求和的策略与方法。此外,发散级数在天文、物理上的广泛应用,推动了人类发展的进步。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本课题尝试对级数求和问题策略方法及理论逻辑进行归纳梳理,并通过深入理解、构造、举例……从多方面、各角度对各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧作出大胆的研究和探索。

(一)、利用收敛定义求数项级数的和:

由级数收敛定义,若数项级数的部分数列收敛于(即),则称数项级数收敛,称为数项级数的和(即)[2]

其要点即求部分和,而求的方法有:

1、形如的数项级数可用待定系数法(即交差相消法)来求[3];

2、当求较困难时,可用先求和(为适当系数)的分项相减法(即错位相减法)来求[3];

3、利用熟悉的等差、等比数列及三角公式等来求[4]。

(二)、利用幂级数求数项级数的和:

找一个适当的幂级数,使收敛域内某一点对应的数项级数恰好为所要求的数项级数,因此可以借助幂级数的和函数求数项级数的和,

即求出幂级数的和函数,则有[5]。

(三)、利用傅里叶级数求数项级数的和:

1、将函数展开成傅里叶级数;

2、将函数经奇(偶)延拓后展开成正弦(余弦)级数,

再将某些指定点代入展开式中即可得到所要求的数项级数的和[4]。

(四)、利用递推公式求数项级数的和:

1、利用已知恒等式,如函数函数,华利斯公式等[6];

2、通过推导证明得到的一些固定的有趣的求和公式[7]。

(五)、利用微分方程求数项级数的和:

即某些数项级数的和可通过一个引进的辅助的函数项级数,来构造级数所满足的微分方程,然后解这个微分方程就可得到所要求的数项级数的和[8]。

(六)、通过求导求数项级数的和:

即可利用多项式导算子计算幂级数和数项级数的和[9]。

(七)、利用差分法求数项级数的和:

即通过介绍差分的定义及性质[10],求一般项级数和某些系数为多项式的幂级数的和[11]。

(八)、利用概率组合求数项级数的和:

即运用概率知识,构造适当的概率模型,再运用概率论的有关性质、公式、结论和数学特征,计算出所构造模型中相关事件的概率,进而推导出某些组合恒等式[12],并可对组合数公式进行深入探讨,得到新性质并通过对其恒等式变形,来求得数项级数的和[13]。

三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标

1、研究方法

本课题通过大量阅读有关文献资料,查阅、研究已有的成果,并对已有的结果进行系统地归纳总结并加以深入研究和探索推广整理,来增强我们洞察级数问题的能力,提高我们解答级数求和问题的速度与准确率。

2、研究难点

1 数学学习功底不够扎实、全面,对有些实际例子中的概念不是特别的清晰;有些不常用的知识点运用不够熟练,甚至遗忘;还有可能在研究的过程中会运用到我们所没有学习到的知识。

2所讨论的级数求和的策略与方法之间不是孤立的,往往相互渗透、共同作用才能解决问题,需要我们能熟练并灵活地掌握,并反复思考,深入挖掘其本质。

3有些级数求和公式的证明比较抽象,比较困难。

3、预期达到的目标

本课题对级数、级数收敛及级数求和有关性质、内容等进行探讨,并对一些公式及结论进行证明。从多方面、各角度,如利用收敛定义、幂级数、傅里叶级数、递推公式、微分方程、求导、差分法及概率组合等对各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧作出大胆的研究和探索,并作出较完整地呈现。在已有的学习基础上,对前人研究结果的参考学习、理解分析、归纳总结与推广探究,使在提高解题效率与准确率的同时对级数求和问题上有更开宽阔创新的思维,并做出更深一步的研究,提出更进一步的理论。

四、论文详细工作进度和安排

1、2010-11-18至2011-01-06 收集、阅读大量文献,完成文献综述,外文翻译,并整理、分析文献,对其归纳、总结、思考后进行论文构思,完成开题报告;

2、2011-02-21至2011-03-20仔细研读、分析资料,理清文章脉络,完成初稿;

3、2011-03-21至2011-04-20积极与导师交流,在导师的指导下完成第一次

修改;

4、2011-04-21至2011-05-20反复与导师交流,在导师的指导下完成第二次修改并定稿;

5、2011-05-21至2011-05-23对论文进行深入研究,弥补不足之处,最后定稿,准备论文答辩。

五、主要参考文献:

[1] [美] 莫里斯?克莱因,古今数学思想,上海科学技术出版社,2002

[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[3]康国强、华守亮,《数项级数的求和问题初探》[J],殷都学刊(自然科学版),1998年12月,第六卷:3-5

[4]于乃福,《数项级数求和法》[J],,山东纺织工学院学报,1989年3月,第四卷(第1期):75-80

[5]仲济?,《级数求和的解题策略》[J],高等数学研究,2006年5月,第九卷(第3期):36-38

[6] 郭定根,《数项级数求和的若干方法》[J],湘潭师范学院学报,1991年6月,第十二卷(第3期):76-81

[7] 汤光宋,《几类有趣分式型数列的求和公式》[J],大庆高等专科学校学报,1998年12月,第十八卷(第4期):11-15

[8] 潘天娟,《利用解微分方程求无穷级数的和》[J],金华职业技术学报,2006年2月,第六卷(第1期):89-90

[9] 刘珍儒,《一个求无穷级数和的方法》[J],陕西渭南师专

[10] 金丹丽,《级数求和的方法》[J],高等数学研究,2001年5月,第四卷(第1期):16-19

[11] 毛慧娟,《系数为多项式的幂级数求和法》[J],宁波高等专科学校,1987年,(第4期):39-43

[12]翁绍铭,《概率在组合恒等式证明与无穷级数求和中的应用》[J],天津纺织工学院学报,1996年,第十五卷(第3期):97-101

[13] 陈碧琴,《利用组合公式的性质求某些数列之和》[J],重庆师范学院学报,1994年2月,第二卷(第5期):2-5

[14] 徐望文、曾维宏,《一类级数的求和公式》[J],邵阳师专学报,1997年4月,第3期:46-49

[15] 刘小宁,《求无穷级数和的一个递推公式》[J],南充师院学报,1985年,(第2期):63-66

[16] 汤光宋、朱渭川,《某一类交错级数求和的递推公式》[J],成都大学学报自然科学版,1990年2月,47-50

[17]The College Mathematics Journal [M], September 1999, Vo30, 269-275

[18]James Stewart, Calculus Concepts and contexts [M], 2001, Vo2, 605-609

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

无穷级数求和问题的几种方法

目录 摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法 摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和 无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和 定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，记为1 n n u S ∞ ==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列 {}n S 发散，则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ，1≤q 的和 . 解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) （1）-（2）得： 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--.

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法 学生姓名刘学江 院系名称数学与软件科学学院 专业名称数学与应用数学 班级2008级01班 学号2008060122 指导教师李红梅 完成时间2012年4月30日

级数求和的常用方法 学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性， 在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法. 关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和 Common Methods of Summing of Series Abstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series

高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1运用公式法 很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式 应当熟记: L 1 123n n(n 2 1) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1 111 L 11 1 22232n2 还要记住一些正整数的幕和公式： 2 2 2 2 1 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6 小3 小3 3 1 2 “八2 1 2 3 n n (n 1) 4 例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n. (1) 所以 2 由S n 32n n ,可得a n 16 时,T n=S n 17时， T n T n 求S n 1 33 2n, a n 0 16，所以: 32n a1 (a1 S]6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (S n S n 32n n2 32n 2 (n 1) a n a? S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 a n) (n (n 1,2,L 17,且n N ) ,16)

k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a k

S n (12 3 n)(n 1) (12 22 32 n 2) 1 1 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 ：n(n 1)(n 2) 6 答案：S n n 2. 答案：S n n 3n . (1) 求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n . 答案： （1） 2 n 1 n n a n 3 ； (2) S n 2 . 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数 列，S n 表示a n 的前n 项和. (1)求 a n 及 S n ； 2 （2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通 项公式及其前n 项和T n . 答案：（1） a n 2n 1,S n n 2 ； （2） b n 22n1 ,T n 2 （4n 1）. 3 2倒序相加法 事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法 ? 例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为： 1 2 4 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 3 3 3 3 3 3 高考题1 （2014年高考浙江卷文科第 19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n . 高考题2 （2014年高考四川卷理科第 19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n . 咼考题3 （2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法 级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和 等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22n n a a n n s na d +-=+= ），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ） 此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法 此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和 等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =， 当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

级数求和

级数求和的常用方法 摘要 级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法. 关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法

Summation of series method in common use Abstract Progression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions. Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案： 练习题2的前n 项和为____ 答案： 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法（经典讲解） 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

级数求和的常用方法.docx

1.7 方程式法 (3) 1.8 原级数转化为子序列求和 (3) 1.9 数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10 化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11 三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12 构造函数计算级数和 (5) 1.13 级数讨论其子序列 (5) 1.14 裂项法求级数和 (6) 1.15 裂项+分拆组合法 (7) 1.16 夹逼法求解级数和 (7) 2 函数项级数求和 (8) 2.1 方程式法 (8) 2.2 积分型级数求和 (8) 2.3 逐项求导求级数和 (9) 2.4 逐项积分求级数和 (9) 2.5 将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6 利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7 三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8 利用三角公式化简级数 (12) 2.9 针对2.7 的延伸 (12) 2.10 添加项处理系数 (12) 2.11 应用留数定理计算级数和 (13) 2.12 利用Beta 函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法 级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性? 1数项级数求和 1.1等差级数求和 等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. s=naι n(^d= n(ai,其中a1为首项，d为公差 12 2 证明：s=a∣ +a2+...+a n①，s=a n+...+a2+a1② ①+②得：2s=(a a n)+ a2+a n-1 +...+(a n+a1) 因为等差级数a1■ a n=...=a n+a1 所以S = n(a1? an)此证明可导出一个方法“首尾相加法”见 1.2. 2 1.2首尾相加法 此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1：求C n l■ 3c1■ 5C n... (2n ? 1)c：. 解：C0■ 3C n ■ 5c2... ■ (2n 1)c∩，s = (2n? 1)c：^ ...5C n '3c∩' C n ,两式相加得： 2s=(2n 2)(C∩ ...c2C n C∩^(Π 1) 2n 1,即： c0 3c1 5c∏ ... (2Π 1)C∏=(Π 1)2n. 1.3等比级数求和 等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q=1，s ^na j当q ≠ 1，s=a(I L),其中印为首项，q为公比. 1-q 证明：当q=1 ,易得s=na1， 当q ≠ 1, s=a1 +a1q1+...+a1q n4①，qs=a1q+a1q2+...+a1q n②， ①-②得(^q)^a^a I q n.可以导出一种方法“错位相减”见下 1.4

级数求和的若干种方法

本科生毕业论文 ( 2013 届 ) 题目：级数求和的若干种方法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：学号： 指导教师：职称（学位）：副教授 合作导师：职称（学位）： 完成时间：2013 年 5 月 20 日成绩：

学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人（签名）： 年月日

目录 中文摘要 (1) 外文摘要 (2) 1.引言 (3) 2．关于级数问题的介绍 (3) 2.1常数项级数的概念及基本性质 (3) 2.2收敛判别法 (4) 2.2.1 利用收敛定义判别 (4) 2.2.2 特殊级数收敛判别 (4) 2.2.3 利用绝对收敛定理判别 (5) 2.3幂级数的收敛域 (5) 2.3.1幂级数及其相关概念 (5) 2.3.2幂级数的收敛半径及收敛域的求法 (6) 2.4幂级数的性质 (6) 3.级数求和的方法 (6) 3.1利用级数定义求和的几种方法 (7) 3.1.1利用等差数列求和公式求级数和 (7) 3.1.2利用等比数列求和公式求级数和 (7) 3.1.3 利用错位相减法求级数和 (8) 3.1.4利用裂项相消法求级数和 (9) 3.1.5利用待定系数法求级数和 (10) 3.2 幂级数求和的几种方法 (11) 3.2.1利用幂级数的性质求级数和 (11) 3.2.2利用微分方程的转化求级数和 (13) 3.3利用幂级数求和的几种方法 (14) 3.3.1构造级数再利用一致收敛级数的性质求级数和 (14) 3.3.2利用傅里叶级数求级数和 (14) 3.4 利用概率方法求级数和 (16) 4．结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

级数求和的常用方法 (2)

1、7方程式法 (3) 1、8原级数转化为子序列求与 (3) 1、9数项级数化为函数项级数求与 (3) 1、10化数项级数为积分函数求原级数与 (4) 1、11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1、12构造函数计算级数与 (5) 1、13级数讨论其子序列 (5) 1、14裂项法求级数与 (6) 1、15裂项+分拆组合法 (7) 1、16夹逼法求解级数与 (7) 2函数项级数求与 (8) 2、1方程式法 (8) 2、2积分型级数求与 (8) 2、3逐项求导求级数与 (9) 2、4逐项积分求级数与 (9) 2、5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2、6利用傅里叶级数求级数与 (10) 2、7三角级数对应复数求级数与 (11) 2、8利用三角公式化简级数 (12) 2、9针对2、7的延伸 (12) 2、10添加项处理系数 (12) 2、11应用留数定理计算级数与 (13) 2、12利用Beta函数求级数与 (14)

参考文献 (15)

级数求与的常用方法 级数要首先考虑敛散性,但本文以级数求与为中心,故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题、 由于无穷级数求与就是个无穷问题,我们只能得到一个n →∞的极限与、加之级数能求与的本身就困难,故本文只做一些特殊情况的讨论,而无级数求与的一般通用方法,各种方法主要以例题形式给出,以期达到较高的事实性、 1数项级数求与 1、1等差级数求与 等差级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公差,并运用公式可求与、 11((1)22 n n a a n n s na d +-=+=）,其中1a 为首项,d 为公差 证明:12=++...+n s a a a ①,21s=+...++n a a a ② ①+②得:()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1、2、 1、2首尾相加法 此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同,便化为一简易级数求与、 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++、 解:01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++,210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++,两式相加 得:21012(22)(...)(1)2 n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?,即: 01 235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+、 1、3等比级数求与 等比级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公比并运用公式可求与、 当q =1,1s na =;当q ≠1,1(1)1n a q s q -=-,其中1a 为首项,q 为公比、 证明:当q =1,易得1s na =, 当q ≠1,11111=++...+n s a a q a q - ①, 2111=++...+n qs a q a q a q ②, ①-②得11(1)n q s a a q -=-、可以导出一种方法“错位相减”见下1、4

数列求和方法归纳

数列求和 一、直接求和法（或公式法） 掌握一些常见的数列的前n 项和：123+++……+n= (1) 2 n n +，1+3+5+……+(2n-1)=2n 2 2 2 2 123+++……+n =(1)(21) 6 n n n ++，3333123+++……+n = 2 (1)2n n +?? ???? 等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+． 解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++ +． 由等差数列求和公式，得原式50(3199) 50502 ?+= =． 变式练习：已知3 log 1 log 23-= x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解：1－n 21 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2 求222 2 2 2222222123101102938101++++++++的和． 解：设222 2 2 222 2222123101102938101 S =++++++++ 则222 2 22222222109811012938 101 S =+++ +++++． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，． 三、裂项相消法 常见的拆项公式有： 1 ()n n k =+111()k n n k -+ ， =1k ，

1(21)(21)n n =-+111 ()22121 n n --+，等. 例3 已知2221 12(1)(21)6 n n n n ++ +=++， 求222222222 35721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和． 解：22221216 112(1) (1)(21)6 n n n a n n n n n n ++=== ++++++， 11 161223(1)111116122311611ln .1 n S n n n n n n ??∴=++ +????+???????? =-+-++ - ? ???+???? ??? ?=- ?+??=+ 小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即 1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法. 变式练习：求数列 311?，421?，5 31 ?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S. 解：∵ )2(1+n n =2 1 1(21+-n n ） S n =??????+-+???+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4 21 22143+-+-n n 四、错位相减法 源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{} n b