离散数学作业答案完整版
离散数学作业答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
离散数学集合论部分形成性考核书面作
业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数
理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题
目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识
点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地
完成集合论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答
过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界
面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。
一、填空题
1．设集合{1,2,3},{1,2}
==，则P(A)-
A B
P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A?
B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．
2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，
则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ．
4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系
R＝}
∈
y
x∈
y
<
>
=
{B
,
,
x
,
2
y
A
x
那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}
5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
称性．
7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．
8．设A={1, 2}上的二元关系为R={
包为 {<1,1>,<2,2>} ．
9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含
<1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．
10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>} ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R ={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系． 解：（1）错误。R 不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R 。
（2）错误。R 不具有对称的关系，因为<2,1>不属于R 。
2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的” 是否成立？并说明理由． 解：成立。
因为R 1和 R 2是A 上的自反关系，即I A ?R 1，I A ?R 2。 由逆关系定义和I A ?R 1，得I A ? R 1-1；
由I A ?R 1，I A ?R 2，得I A ? R 1∪R 2，I A ? R 1?R 2。
所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1?R 2是自反的。
3．若偏序集的哈斯图如图一所示，
则集合A 的最大元为a ，最小元不存在． 解：错误。
集合A 的最大元不存在，a 是极大元。 4．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f 是否构成函数
f ：B A →，并说明理由．
(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；
(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．
解：（1）不构成函数。因为对于3属于A ，在B 中没有元素与之对应。
（2）不构成函数。因为对于4属于A ，在B 中没有元素与之对应。 （3）构成函数。因为A 中任意一个元素都有A 中唯一的元素相对应。 三、计算题
1．设}4,2{},5,2,1{},4,1{},5,4,3,2,1{====C B A E ，求： (1) (A ?B )?~C ； (2) (A ?B )- (B ?A ) (3) P (A )－P (C )； (4) A ?B ． 解：（1）(A?B)?~C={1}?}5,3,1{}5,3,1{=
（2）(A ?B )- (B ?A )={1，2,4,5}-{1}={2,4,5}
（3）}}4,2{},4{},2{,{}}4,1{},4{},1{,{)()(φφ-=-C P A P }}4,1{},1{{= （4）A?B =(A?B)－（A?B ）=}5,4,2{}1{}5,4,2,1{=-
2．设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算 （1）（A ?B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ． 解：（1）A?B ={{1},{2}}
（2）A ∩B ={1,2}
（3）A ×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}
3．设A ={1，2，3，4，5}，R ={
S=空集 R?S=空集
? ? ? ? a b c d 图一 ? ? ? g
e f h
?
S?R=空集
R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>}
S-1 =空集
r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}
4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图；
(3) 求出集合B的最大元、最小元．
解
(1)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,
6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}
(3)集合B没有最大元，最小元是2
四、证明题
1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
证明：设，若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C，
即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．
即x∈A?B 且 x∈A?C ，
即 x∈T=(A?B) ? (A?C)，
所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)．
反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B 且 x∈A?C，
即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，
即x∈A或x∈B?C，
即x∈A? (B?C)，
所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C)．
因此．A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
2．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，
也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以S?T．
反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C，
即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T?S．
因此T=S．
3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A?B = A?C，且A≠?，则B = C．证明：（1）对于任意
必有
（2）同理，对于任意
必有
由（1）（2）得B=C
4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．
证明：若R与S是集合A上的自反关系，则任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,
从而＜x,x＞∈R∩S,注意x是A的任意元素，所以R∩S也是集合A上的自反关系．