必修一基本初等函数(I )测试题
姓名:_______________班级:_______________考号:_______________
一、选择题
1、已知函数,若函数
有四个零点,则实数的取值范围为( )
A .
B .
C .
D .
2、若函数在(,)上既是奇函数又是增函数,则函数
的图象是 ( )
3、D 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(-x),当0≤x ≤1时,f(x)=x 2
,则
f(2015)= ( ) A.-1 B.1 C.0 D.20152
4、已知函数
为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点,则实
数的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
5、下图可能是下列哪个函数的图象( )
.
.
.
.
6、已知
,,
,则的大小关系是()
A
. B
. C . D .
7、设
,,
,则的大小关系是
A. B. C. D.
8、下列函数中值域为(0,)的是()
A. B. C. D.
9、
已知函数为自然对数的底数)
与的图象上存在关于轴对称的点,则实
数的取值范围是()
A
.B .C .D .
10、已知函数,若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
11、已知函数
的最小值为()
A.6 B.8 C.9 D.12
12、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=那么的值是( )
A. B.- C. D.-
13、下列函数中,反函数是其自身的函数
为
A. B.
C. D.
14、对于函数
,令集合,则集合M为
A.空集 B.实数集 C.单元素集 D.二元素集
15、函数y=定义域是
A. B. C. D.
二、填空题
16、函数为奇函数,则实数 .
17
、设函数
,给出下列四个命题:①函数
为偶函数;②若
其中,
则
;③函数
在
上为单调增函数;④若
,则
。则正确命题的序号
是 ..
18、若,则定义域为 .
19
、若方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是
20、
定义函数,
若存在常数
,
对于任意,
存在唯一的
,使得
,
则称函数
在
上的“均值”为
,已知
,则函数
在
上的
“均值”为 .
21、在R+上定义一种运算“*”:对于、R+,有*=,
则方程*=的解是= 。
22、 .
对于任意实数,符号[]表示的整数部分,即[]是不超过的最大整数,例如[2]=2;[]=2;[]=,
这个函数[
]
叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用,那么
的值为
三、简答题
23、函数(为常数)的图象过点.
(1)求的值;
(2)函数在区间上有意义,求实数的取值范围;
(3)讨论关于的方程(为常数)的正根的个数.
24、已知函数.
(I )求函数在上的最大值、最小值;
(II )求证:在区间上,函数的图象在函数图象的下方。
25、已知函数,其中常数满足
(1)若,判断函数的单调性;
(2)若,求时的的取值范围.
26、已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对于任意正实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在最小的正常数,使得:当时,对于任意正实数,不等式恒成立?给
出你的结论,并说明结论的合理性.
27、已知函数
(1)证明:在上为增函数; (2)证明:方程=0没有负数根。
28、
已知函数
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若函数
的图像在点处的切线的倾斜角为45°,那么实数m
在什么范围取值时,函数
在区间内总存在极值?
(Ⅲ)求证:.
四、综合题
(每空?分,共?分)
29、已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数的最小
值为h(a).
(1)求h(a)的解析式;
(2)是否存在实数m,n同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域
为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
30、利用自然对数的底数(…)
构建三个基本初等函数. 探究发现,
它们具有以下结论:三个函数的图像形成的图形(如图)具有“对称美”;图形中阴影区的面积为1等
.
是函数图像的交点.
(Ⅰ)根据图形回答下列问题:①写出图形的一条对称轴方程;②说出阴影区的面积;
③写出的坐标.
(Ⅱ)设
,证明:对任意的正实数
,都有.
31、定义在R上的函数满足,当时,
且
(1)求的值.
(2)比较与的大小
参考答案
一、选择题
1、C
2、C
3、 A
4、B
5、C
6、D
7、D
8、D
【解析】解:因为函数的值域,一般要根据函数的定义域和单调性得到,因此可以满足题意的为选D.选项A不能取到1,选项B能取到0,选项C中,大于等于1,。
9、B
10、D
11、B
12、D
13、D
14、D
15、C
二、填空题
16、-1 因为函数为奇函数,所以,
即
17、①②③④
18、
19、
20、1007
21、
22、857
三、简答题
23、(1);(2);(3)3个.
【解析】
试题分析:(1)依题意直接代入得;(2)将代入得,
要使其在区间上有意义,只需满足对恒成立,得,令
,先确定在上的单调性(可利用求导,也可利用定义),再求在上的最小
值,即可得到实数的取值范围;(3)求方程(为常数)的正根的个数,可以转化为求函数
与图像交点个数,其中的图像和的大小有关,所以要分,,三种情况讨论,详见解析.
试题解析:(1)依题意有. 3分
(2)由(1)得,则在区间上有意义,即对
恒成立,得,令,先证其单调递增:
法1∵在上恒成立,故在递增,
法2:任取,则
因为,则,故在递增,则,得. 8分
(3)结合图象有:
①当时,正根的个数为0;
如图一
②当时,正根的个数为1;
如图二
③当时,正根的个数为2;
如图三 13分
考点:(1)待定系数法;(2)导数的应用及恒成立问题;(3)函数图像.
24、解答(I)∵f (x)=∴当x时,f (x)>0,
∴在上是增函数,
故,. ------7分
(II)设,则,
∵时,∴,故在上是减函数.
又,故在上,,即,
∴函数的图象在函数的图象的下方. ---------14分
25、解:解:⑴当时,任意,
则
∵,,
∴,函数在上是增函数。当时,同理函数在上是减函数。
⑵
当时,,则;
当时,,则。
26、
解:⑴令,得.当时,;当时,.所以函数
在上单调递减,在上单调递增. (3分)
⑵由于,所以.构造函数,则令
,得.当时,;当时,.所以函数
在点处取得最小值,即.
因此所求的的取值范围是. (7分)
⑶结论:这样的最小正常数存在. 解释如下:
.
构造函数,则问题就是要求恒成立. (9分)
对于求导得 .
令,则,显然是减函数.
又,所以函数在上是增函数,在上是减函数,而
,
,.
所以函数在区间和上各有一个零点,令为
和,并且有: 在
区间和上,
即
;在区间
上,
即. 从而可知函数
在区间和上单调递减,在区间上单调递增.
,当
时,
;当
时,
. 还有
是函数的极大值,也是最大值.
题目要找的,理由是:
当时,对于任意非零正数,,而在上单调递减,所以一
定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明
;
当时,取,显然且,题目所要求的不等式不恒成立,说
明
不能比
小.
综合可知,题目所要寻求的最小正常数就是,即存在最小正常数,当时,对于任意正实数,
不等式
恒成立. (12分)
( 注意:对于和的存在性也可以如下处理:
令,即. 作出基本函数和的图像,借助于它们的图像有
两个交点很容易知道方程有两个正实数根和,且,(实际上),可知
函数在区间和上单调递减,在区间上单调递增.,当时,;
当时,. 还有是函数的极大值,也是最大值. )
27、证明:(1)设,
,
,在上为增函数。
(2)设,则,
由=0,必须,则,与矛盾。
所以方程=0没有负数根。-
(解法二:设,则,,则,
故方程=0没有负数根。)
28、(Ⅰ)
2分
当时,的单调增区间为,减区间为; 3分
当时,的单调增区间为,减区间为. 4分
(Ⅱ)函数的图像在点处的切线的倾斜角为
,于是,. 6分
7分
要使函数在区间内总存在极值.
只需,即得,
当时,函数在区间内总存在极值 9分
(Ⅲ)令,此时, 10分
由(Ⅰ)知在上单调递增,
当时,,即
对一切都成立. 12分
于是 13分
.
四、综合题
29、解:(1)由f(x)=x,x∈[-1,1],知f(x)∈,令t=f(x)∈记g(x)=y=t2-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有:
①当a≤时,g(x)的最小值h(a)=-,
②当a≥3时,g(x)的最小值h(a)=12-6a,