近代数学小波计算题答案
2．计算下列分形维数：
（1）康托尔集合（the Cantor set）
l o g l o g2
0.631
l o g l o g3
s
m
D
c
=-=≈
（2）科赫曲线（Koch）
log4
1.262
log3
s
D=-≈
（3）谢尔平斯基（Sierpinski）地毯、垫片、海绵
地毯：
log log8
1.893
log log3
f
D
β
κ
==≈
垫片:
log log3
1.585
log log2
f
D
β
κ
==≈
海绵：
log log20
2.763
log log3
f
D
β
κ
==≈
（4）阿波罗尼斯垫圆：
解：不在此圆内部的点形成一个面积为零的集合，可以说它多于一条线但少于一个面，因此它的分形维数
（5）皮亚诺曲线：
log ln9
2
1ln3
log()
s
N
D
β
===
1．求按下列各图所示方法生成的分形图的分维
初始元：
生成元：
（a）（b）（c）
(a)
log ln8
1.5
1ln4
log()
s
N
D
β
==≈
(b)
log ln5
1.465
1ln3
log()
s
N
D
β
==≈
(c)
log ln5
1.465
1ln3
log()
s
N
D
β
==≈
2、计算康托尔三分集相似维、Hausdorff 维 解：相似维：log ln 2
0.63111log()ln
3s N D β=
=≈
Hausdorff 维：log log 20.631log log 3
f D βκ=
=≈ 3、计算不规则分形盒维数（只计算右下端）
ε=1/10 ()N ε=N(1/10)
()ln ln 54ln 54
1.732
1ln ln10ln 10B N D εε=-
=-=≈
二、求下面一维16点离散信号Haar 小波2级分解与重构计算过程及结果，并与Matlab 编程计算结果比较。
x=[ 3 7 8 5 6 5 9 8 3 7 8 5 13 3 9]
解： Haar 小波对应的尺度函数为1
t 0 1 0{)(≤≤=其它t ?
低通滤波器系数)(0k h :
?
??===?--02/1)()()(),()(*
,1,10R k
k dt t t t t k h ???? 其它，==k k 10 )(0k h ={1,1,0,0，…….0}/2
)(0k h -={0,0,0,0,……0,1,1}/2={1,1}/2
由0h 求高通滤波系数1h
??
?
??-=--=02
/12
/1)1()1()(01k h k h k
其它
===k k k 10
2/}0,.......0,0,1,1{)(1-=k h
2/}1,1{2/}1,0,...,0,0{)(1-=-=-k h 1 级尺度系数
2
12,9]/,13,6,4,6,7,11,10,1511,11,14,1[10,15,13, )
(*)()(001=-=k c k h k C
抽偶 2/]12,4,13,10,17,11,13,10[= 2 级尺度系数
2
/]16,2823,23[ 6,12]/227,23,17,1[23,24,28, )
(*)()(102==-=抽偶k c k h k c 1 级小波系数
2
]/,-2,0,-6,9,-4,-1,3,41,1,-4,1,5[-4,-1,3,- )
(*)()(011=-=k c k h k d
抽偶 2/]6,2,3,4,1,1,3,4[----= 2 级小波系数
2]/2
,-3,9,-8,1[-3,2,-6,7 )
(*)()(112=-=k c k h k d
抽偶2/]8,3,6,3[ ----= 重构：（逐级重构） 2/]8,3,6,3[)(2----=k d
2/]8,0,3,0,6,0,3,0[----=??→?插值器
2
/]16,0,23,0,28,0,23,0[2
/]16,23,28,23[)(插值器
2=????→?=k c
2
,24]/23420,26,8[20,26,22, 22/]8,0,3,0,6,0,3,0[*]1,1[2]/2,0,23,0,16[0,23,0,28*[1,1] )
(*)()(*)()(21201=-----+=+=k d k h k c k h k c
2
/]6,0,2,0,3,0,4,0,1,0,1,0,3,0,4,0[2
/]6,2,3,4,1,1,3,4[)(1----=??→?----=插值器
k d
2
2/]24,0,8,0,26,0,20,0,34,0,22,0,26,0,20,0[2
2/]24,8,26,20,34,22,26.20[)(1=??→?=插值器
k c
9]
3 13 5 8 7 3 8 9 5 6 5 8 7 [3 2,0,-6]/2-4,0,3,0,-0,1,0,1,0,[0,-4,0,3,*[1,-1] /4,0,8,0,24],0,20,0,26,0,22,0,34[0,20,0,26*[1,1] )
(*)()(*)()(11100=+=+=k d k h k c k h k c
一、已知)(t ?（尺度函数）求小波函数)(t ψ
???=0
1)(t ?
其它
210≤≤t
解：1）???=0
1
)(t ?
其它
21
0≤≤t 易知，
{})(n t -?关于n 为一正交归一基.
2）求n h
()
?∞
--==
,1)2()(2),(dt n t t t t h n n ????
其中，???=-0
1)2(n t ?
()其它2
/2/12/n t n +≤≤
当0=n 时，???=0
1)2(t ?
其它4
/10≤≤t
当1=n 时，???=-0
1)12(t ?
其它
4
/32/1≤≤t
故当0=n 时，?
??=-01
)2().(n t t ?? 其它0=n
当0=n 时，???=-0
1
)2().(n t t ??
其它
4
/10≤≤t
故?
??=-=?022/1)2().(2dt n t t h n ?? 其它0
=n
3）求n g ?
?
?=-=0
22/1)1(n n
n h g
=n 4）求)()()(0,10,1t g t g t n
n
--==
∑??
ψ
?
=?=0
21
)2(222/1t ? 其它
4
/10≤≤t
1
)
(t ?t
)
(t ψ(?