数学学年论文毕业论文重积分的计算方法

重积分的计算方法

摘要：本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时介绍了一类特殊的二重积分的计算方法，并由二重积分的计算方法推广到三重积分的计算。 关键词：二重积分，三重积分，变量代换，对称法

引言：重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数()x f 推广为二元函数()y x f ,（三元函数()z y x f ,,）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一． 二重积分的计算 1．常用方法

（1） 化累次积分计算法

对于常用方法我们先看一个例子（北京师范大学，2002年）]1[ 例1． 计算二重积分??

-D

dxdy x y 2，其中D 为区域20,1≤≤≤y x

解：如图1所示D 可分为21D D

1D 在内

2x y >，在2D 内2x y <

3

4

22

22

1

21

1

11

2

2222+

=-+-=-+-=-∴?

?????????

--π

x x

D D D dy y x dx dy x y dx dxdy

y x dxdy x y dxdy x y

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：

第一步：画出积分区域D 的草图；

第二步：按区域D 和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；

第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 例2． 计算??

D

dxdy x

x

sin ，D 是由1,,0===x x y y 围成的区域

解：先画出区域D 的图形，如图2

先对y 后对x 积分，则由?

??≤≤≤≤x y x D 01

0:知

1cos sin sin sin sin 1010100+-====??????x xdx xdx x x dy dx x x dxdy x x

x D

如果先对x 后对y 积分，由于?dx x

x

sin 不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”。

更换积分次序的理论依据是什么呢？

对于给定一个二重积分()??D

d y x f σ,，若分别把它化为积分次序不同的二次

积分而得下列等式：()()()

()

?

???=x x b

a

D

dy y x f dx d y x f 21,,??σ ①

()()()

()

?

???

=y y d

c

D

dx y x f dy d y x f 21,,ψψσ ②

则显然有()()

()

()()

()

?

??

?=y y d

c

x x b

a

dx y x f dy dy y x f dx 2121,,ψψ??③

如果首先给出③式中的一个二次积分（例如左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出③式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。

例3．试更换()??

-21

1,x x

dy y x f dx 的积分次序

解：把先对y 积分更换为先对x 积分 由原累次积分的上、下限可得

()()?????=≤≤=-=≤≤=2101:21b x a x x y x x D ??，即???

??≤≤-≤≤2101x x y x

由D 的联立双边不等式可画出域D 的图形，如图3

再由图形写出先对x 的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于x 轴的箭头穿区域D ，知先对x 后对y 积分必须将D 分为1D 和2D ，其中

?????≤≤≤≤2100:1y y x D ，???

??≤≤-≤≤12

1

10:2y y x D 如图4 则()()()??

???

?--+==12

110

210

121

,,,y

y x

x

dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I

对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：

ⅰ.由原累次积分的上、下限列出表示积分域D 的联立双边不等式，例如

()()?

??≤≤≤≤b x a x y x D 21

:??

ⅱ.根据上列联立双边不等式画出区域D 的图形

ⅲ.按新的累次积分次序，列出与之相应的区域D 的联立双边不等式

()()??

?

≤≤≤≤y x y d y c D 21

:ψψ ⅳ.按3中的不等式组写出新的累次积分的表达式。 关于这方面的应用我们再看一个例子。

例4．（华中理工大学,2000年）设()x f 在],[b a 上连续，证明

()()()??

?-=b

a

b

a

x a

dx x f x b dy y f dx

证：改变积分顺序得：

()()()()()()??????

-=-==b

a

b a

b y

b a

x a

b

a

dx x f x b dy y f y b dx y f dy dy y f dx

（2） 变量替换法

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

例4．（湖北大学2002年，中南矿治学院）求??

+D

y x y

dxdy

e ，其中

(){}0,0,1|,≥≥≤+=y x y x y x D

解：令?

??==+u y u

y x ，即???=-=u y v u x

则D 变成了()()()1,,,

010|,-=???

?????

≤≤≤≤='v u y x v u v v u D ()()12

1

11

10

-=

-===???????'

+e dv e v du e dv dudv e dxdy e

v v

u D v

u D

y

x y

可以说变量替换法步骤如下： i.

若可微分的连续函数()()v u y y v u x x ,,,==把oxy 上的有限区域D 单

值唯一地映射平面ouv 上的域D '及雅哥比式()()

0,,≠=

v u D y x D I 则下之公式正确()()()()

()()

????'

??=D D

dudv v u y x v u y v u x f d y x f ,,,,,,σ ii.

设广义极坐标变换???+=+=θθ

sin cos br y y ar x x o o 将x y 平面上的有界闭区域D 一

一地变成θr 平面上有界闭区域D '，()y x f ,在D 上连续，则

()()????'

++=D o o

D

abrdrd br y ar x

f d y x f θθθσcos ,cos ,特别，当

()()1,0,0,===b a y x o o 时，公式变为：

()()????'

=D D

rdrd r r f d y x f θθθσsin ,cos ,——极坐标变换公式

计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形、扇形或者环形可以选用极坐标系。关于这方面的应用我们看下面的例子：

例5．将连续函数()y x f ,在两圆122=+y x 和 422=

+y x 之间的环形区域D 上之二重积分化为二次积分。

解：先画出域D 的图形，如图5

若用直角坐标，则需将D 分为四个区域：4321,,,D D D D 如图5所示，所以，在D 上的积分

()()()()()()()()()dy

y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dxdy

y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f x x x x x x x x D D D D D

?

??

??

??

???????????-----------------+++=+++=2

2

2

2

2

22

2

4

3

2

1

442

1

141

1

411

1

441

2

,,,,,,,,,若用极坐标，有()()????=21

20

sin ,cos ,rdr r r f d dxdy y x f D

θθθπ

显然，极坐标系下运算比较方便。 （3） 对称法

对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。

在做题时，先考虑区域和被积函数有无对称性，有时一看就知道积分为零，有时可使积分化简。否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失”，而且往往是“有失无得”。

利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为：

① 设域D 关于x 轴对称，x 轴上方部分为1D ，下方为2D ，当把()y x f ,中的x 看作常数时，若()y x f ,是y 的奇函数，则()0,=??D

dxdy y x f 。当把()y x f ,中的x

看作常数时，若()y x f ,是y 的偶函数，则()()????=1

,2,D D

dxdy y x f dxdy y x f

② 设域D 关于y 轴对称，y 轴右边的部分为1D ,左边的部分为2D ，当把()y x f ,中的y 看作常数时，若()y x f ,是x 的奇函数，则()0,=??D

dxdy y x f ；当把()

y x f ,中的y 看作常数时，若()y x f ,是x 的偶函数，则()()????=1

,2,D D

dxdy y x f dxdy y x f

我们只对第一个结论的前一部分做个简单的证明：

例6．计算重积分()()()y x f y x f dxdy y x f D

,,,,-=-??，其中D 为两种形式：1D 是由

11,0=+=-=y x y x x 和所构成；2D 是关于x

轴对称的平面凸域，其边界为

()x g y =和()x g y -=，如图6

解：

()()(

)

()()

()()()[]???????==----===------10

1

111

1111110

01,1,|

,,,1

dx dx x x F x x F dx y x F dy y x f dx dxdy y x f x

x x

x D 其中利用了当

()()y x f y

y x F ,,1=??时，

()(

)

()()()(

)()x x F x x F y x F dy y x f x

x x

x ----==------?1,1,|,,1111111，又()()y x f y x f ,,-=-()()()()()()01,1,,,1111=-----∴=-∴x x F x x F y x F y x F

()()()

()

()()()()[]00,,,,212

==--==???

???-dx dx x g x F x g x F dy y x f dx dxdy y x f b

a

b a

x g x g b

a

D

再看一个例子

例7．（武汉大学，1992年）计算下列积分（1）?-1

0ln dx x

x x a

b ，其中ab 为常数，b a <<0；

（2）??-D

y dxdy e 2

，其中D 为直线x y =与曲线3

1

x y =围成的有界区域。

解：（1）

????????++=+=+====-+b a b a b a y y b a y b a y a b a b dy y dy x y dx x dy dy x dx dx x x dx x x x 11ln 11|11|ln 1ln 1

011010101

0（2）由对称性及被积函数为关于y 的偶函数

(

)

()e

dt e

t y

t dy e

y y dx e

dy dxdy e

dxdy e

t y y y

y D y D

y 1

12221

01

2

3

1

2

2

2

2

1

2

2

=-=-===????????-----

（4） 特例

当积分区域是一矩形，被积函数可以分离成只含x 的函数和只含y 的函数相乘时二重积分可作两个定积分相乘，即

()()()()()()??????

==≤≤≤≤b

a

d c

d c

b a

d

y c b x a dx x f dy y g dy y g dx x f dxdy y g x f

根据这一性质()()()???=??? ??D

b

a dxdy y f x f dx x f 2

，其中[][]b a b a D ,,?=这是一个比较

特殊的例子，也是重积分与单积分的互换。

例8．（武汉大学，1995年）设()x f 在[]1,0上连续，证明：

()()()2

10211?????

?=-???

dx x f dxdy x f y f D

，其中D 为以()()()0,1,1,0,0,0B A 为顶点的三角区域。 证：

()()()()()()()???????≤≤≤≤-=--==??????1

01

01

01010102

10111y x dxdy y f x f dy y f dx x f y x dx x f dx x f dx x f

如图示()D D y x y x '=????

??

≤≤≤≤ 1010|,

()()()()()?????'

-+-=??????∴D D dxdy y f x f dxdy y f x f dx x f 112

1

0 令???-=-=x v y u 11，即???-=-=v

x u y 11，则()()10110,,-=--=??v u y x

D '变成()????

??

≤≤≤≤u v u v u 010|,()()()()????≤≤≤≤'-=-∴u

v u D dudv v f u f dxdy y f x f 01011

注意到二重积分的值与积分变量的记号无关，

()()()()()()??????-=-=

-∴≤≤≤≤'

D

x

y x D dxdy y f x f dxdy y f x f dxdy y f x f 11101

()()()2

102

11??????=-∴???

dx x f dxdy y f x f D

二． 三重积分

三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广，它的计算也是化为累次积分，适当地选择变量代换可使三重积分容易计算。与前面二重积分情况相同，三重积分也可以应用对称法计算，即一般地，若区域D 关于y z 平面对称，被积函数关于x 是奇函数，则三重积分必为零，类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分。

计算三重积分的一般步骤为： 1．画出空间域D 的草图；

2．根据被积函数和积分域D 选择适当的坐标和累次积分的次序，并将域D 用相

应的双边不等式组表示； 3．完成累次积分的计算。

这里，画好图形是计算的关键，因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的，于是也就顺利地写出了积分限。其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限，球坐标中定限化为平面极坐标系的定限。

可以说，三重积分的计算方法可由二重积分推广过来，不再累述。 我们有一般的，在不同坐标中域D 的表达式和相应的积分表达式引用下]2[表表示：

选择在哪种坐标系下计算三重积分，要以被积函数和积分域D 的情况这两个方面全面考虑，若仅从积分域的角度考虑，三种坐标系下的情况分别为：

三．结语

综上所述，重积分的计算的方法是有规律可循的。总体上，重积分的主要计算思路是先化重积分为累次积分，难点是积分区域的分块、积分上下限的确定、积分次序的互换以及利用变量代换是重积分简化。

参考文献：

[1]钱吉林等主编.《数学分析解题精粹》[M]，第2版，武汉：崇文书局，2003

年8月：P486-P498，P508

[2]丁家泰.《微积分解题方法（续）》[M]，北京：北京师范大学出版社，1985

年12月第一版：P382

[3]华东师范大学数学系编.《数学分析》[M]，高等教育出版社，2001年6月

第3版

[4]郝涌、卢士堂主编.《考研数学精解》[M]，华中理工大学出版社，1999年3月第1版

HEA VY TOTAL MARK COMPUTING TECHNOLOGY Abstract：This text introduce several serious computing technology of total mark, explain dual calculation of integration from tired times of calculation, variable person who replace method of total mark emphatically, introduced a kind of special dual total mark computing technology at the same time , and popularize the calculation to the triple total mark from the dual total mark computing technology.

Keyword: Dual total mark .Triple total mark .The variable replacing. Symmetrical law