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上册数学压轴题培优测试卷

一、压轴题 1．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ；定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ；（1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2

y x

在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．

（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，

T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范

围，

（3）已知直线21211k k y x k k --=

+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??

??+-+?

+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．

3．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．

（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；

（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）；

（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．4．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）

（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.

（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

5．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣1

x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，

以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作

CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．

（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、EC、EF、FC，且EC EF

（1）求证：AEF BCE

∽；

（2）若23

AC ，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF

△的外接圆圆心之间的距离？

7．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝3

，OB＝8．

（1）求OA、AB的长；

（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜

t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．

①当t为何值时，点Q与点D重合？

②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．

8．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．

（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．

（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．

（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．

9．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．

（1）求证：四边形AGDH为菱形；

（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；

（3）连结OF，CG．

①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；

②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．

10．如图1,已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D 的坐标为(?3，3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0

(0y ax x c a =-

+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1

y x =

-经过点,B C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是

t ．

①当PCM ?是直角三角形时，求点P 的坐标；

②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．

12．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．

①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．

②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）12；（2）53；（3）202．【解析】【分析】

（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.

（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.

（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点

N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】

（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，

135BAC ∠=，

180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，

BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ， BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，

BD AD ∴=，

在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，

222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，

42AB =

2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，

6AC =，

641222

ABC S AC BD ∴=?=??=．

（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，

D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ， PD PQ ∴=，

PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，

点P 为AB 上的动点，

PC PD CQ ∴+≥，

∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，

点C 为半圆AB 的中点，

90COB ∴∠=，

90BOD COD COB ∠+∠=∠=，

903033

BOD COB ∴∠=∠=?=，

10AB =，

10522

OD AB ∴=

=?=，在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，

155

,222DH OD QH DH ∴==∴==，

222553522OH OD DH ??∴=-=-=

???

，由作图知，四边形OMQH 为矩形，

553,22

OM QH MQ OH ∴==

， 515

522

CM OM OC ∴=+=+

=， 2

15535322CQ CM MQ ????∴=+=+= ? ? ?????

，

PC PD ∴+的最小值为53．

（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交

OB 于点F ，

PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，

,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，

．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，

SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，

∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，

45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，

454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．

扇形AOB 的半径为20，

20OS ON OP ∴===，

在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=

PE EF FP ∴++的长度的最小值为202

【点睛】

本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.

2．（1）22+；（2）63103t ≤≤-或103165-≤≤-3）

5m ≤-

或0m ≥ 【解析】【分析】（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；

（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；

（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可．【详解】

解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线

1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，

∵ 直线：y x b =-+与H

相交于点P ， ∴2

x b x

-+=

，即220x bx -+=，只有一个解， ∴24120b ?=-??=，解得22b =， ∴22y x =-+，

联立222

y x y x ?=-+??=??

，解得22x y ?=??=??，即(

)

2,2P ，

∴2PM OM ==

，且点P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ，

∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2， ∵直线1l ：2y x =--，

∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-， ∴A(－2，0)，B(0，－2)， ∴OA=OB=2，又∵OQ 平分∠AOB ， ∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，

∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离， ∵OA=OB ，

∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=?， ∴AQ=OQ ，

∴在Rt AOQ 中，OA=2，则OQ=2，

∴22PQ OP OQ =+=+，即()1,22min D H l =+；

（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，

则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=?，则3

FT =， ∴610FT ≤≤，又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤，

解得63103t ≤≤103165-≤≤-；（3）∵直线21211k k y x k k --=

+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??

??+-+?+，

∴把点P 代入得：

211121

1184184k k a b c a b c k k --??+-+=++ ?

--??

，整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，

∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++??--+-=---?，化简得22480

1a b c c +-+=??=?

，

∴1

b a =-+，

又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：1

y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，

∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，

∴点E 一定在直线28y x =+上运动，

情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +， ∴(),28m m F ---，

把点F 代入182y x =-

+得：18282m m +=--，解得：325

m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，

∴点E 要沿直线向下运动，即325

m ≤-

；

情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，

把点E 代入182y x =-

+得：1

8282

m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，

综上所述，

m≤-或0

m≥．

【点睛】

本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．

3．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．

【解析】

【分析】

（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；

（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝

∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋

角”∠CPD的度数＝CD的度数；

（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD

＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝1

∠COD＝60°，结合圆的直径

为26可得出CD＝133，由△PCD的周长为24+133，可得出DF＝24，过点O作

OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．

【详解】

（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠DPC是直径AB的回旋角．

（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：

如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．

∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，

∴∠APE＝∠APD．

∵圆是轴对称图形，

∴∠E＝∠D．

∵OE＝OC，

∴∠E＝∠C，

∴∠D＝∠C．

由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，

∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．

（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．

同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．

∵直径AB的“回旋角”为120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PFC是等边三角形，

∴∠CFD＝60°．

连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，

∴CD＝2DG，∠DOG＝1

∠COD＝60°，

∵AB=26，

∴OC=13，

∴CG=

∴CD＝2×

＝

∵△PCD的周长为24+，

∴PD+PC+CD＝24+，

∴PD+PC＝DF＝24．

过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝1

DF＝12．

在Rt△OHD中，OH5

=,在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝2OH＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；

②当点P在半径OB上时，

同①的方法，可得：BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．

综上所述，AP的长为：3或23．

【点睛】

此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP的长度由点P所在的位置决定，因此必须分情况讨论.

4．（1）4；（2）t为4s，20

s，

s时，⊙P与⊙Q外切．

【解析】

试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；

（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．

试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．

答：t为4时，四边形APQD为矩形

（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．

①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；

②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；

③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，

⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=20

（s）；

④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，

解得t=28

（s），

∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要

20s，而28

＜11，

∴当t为4s，20

s，

s时，⊙P与⊙Q外切．

考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．

5．（1）AP+PQ的最小值为4；（2）存在，M点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．【解析】

【分析】

（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90?，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45?，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45?，所以∠OEF ＝45?，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．

（2）由直线l 与直线AC 成45?可知∠AMN ＝45?，由直线AC 解析式可设M 点坐标为（x ，1

x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标．

【详解】

解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，

在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90?，AC ＝BC ， ∵CE ⊥x 轴，

∴∠ACK +∠ECB ＝90?，∠ECB +∠CBE ＝90?， ∴∠ACK ＝∠CBE 在△AKC 和△CEB 中，

AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠??

∠=∠??=?

， △AKC ≌△CEB （AAS ） ∴AK ＝CE ，CK ＝BE ， ∵四边形AOEK 是矩形， ∴AO ＝EK ＝BE ，由直线l ：y ＝﹣1

x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）

∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4）， ∵∠CDB ＝∠CEB ＝90?， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆， ∵CD CD =，∠CBA ＝45?， ∴∠CED ＝45?， ∴FE 平分∠CEO ，

过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ． ∴PH ＝PQ ，

∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ， ∴OE ＝4， ∴AP +PQ ≥4， ∴AP +PQ 的最小值为4．

（2）∵A 点坐标为（0，2），C 点坐标为（4，4），设直线AC 解析式为：y ＝kx+b

把（0，2

），（4，4）代入得

k b

解得

2 k

?=?

∴直线AC解析式为：y＝1

x+，

设M点坐标为（x，1

x+），N坐标为（0，y）．

∵MN∥AB，∠CAB＝45?，

∴∠CMN＝45?，

△CMN为等腰直角三角形有两种情况：

Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90?，MN＝CN．

同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．

∴

x y

-=-

+-=

，解得：

，

∴M点坐标为（﹣12，﹣4）

Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90?，MN＝CN．

过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．

∴

244

x y

-=-

+-=

，解得：

，

∴M点坐标为（12，8）

综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．

【点睛】

本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K 字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题． 6．（1）详见解析；（2）23）12

【解析】【分析】

（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=?，再根据同角的余角相等，得到

AFE BEC =∠∠，即可证明相似；

（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；

（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度. 【详解】

（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=?， ∴90AEF AFE ∠+∠=?， ∵EC EF ⊥， ∴90FEC ∠=?， ∴90AEF BEC ∠+∠=?， ∴AFE BEC =∠∠， ∴AEF BCE ∽；

（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴22,2AB AE BE AD AF ===； ∵AEF BCE ∽， ∴

AE AF

BC BE

=， ∴222AB BC =，

在Rt △ABC 中，由勾股定理得，

222AB BC AC +=，

∴2

122

AB AB +

=，解得：22AB =；（3）如图：

∵△ABC 是直角三角形，

∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处，同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处， ∴线段MN 为△ACF 的中位线， ∴11

24MN AF AD =

=，由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴2

AD AB =， ∴22122882

MN AB ===. 【点睛】

本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 7．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）3011；（3）0

（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝

，OB ＝8，即可求解；

（2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解；（3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．【详解】

解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝3

，OB ＝8， ∴

OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10；（2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，

∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ， ∴△ACD ∽△ABO ，∴AC AD AB AO = ，即： 2,106

t AD

= ∴AD ＝

t ，当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴

66,5t t += 30.11

t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°， ∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ， ∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ， ∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC

AB AO

= 即：

62106t t -= ，18

.13

t ∴= ∴当18

013

t <≤

时，圆P 与QC 只有一个交点，当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11

t = ∴

511

t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点，故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或

511

t <≤. 【点睛】

本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．

8．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）

AH ﹣1+1．【解析】【分析】

（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形