2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷(一)

2016-2017学年高一下学期期末考试数学模拟试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）

A．B．﹣C．D．﹣

2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）

A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）

A．10 B．20 C．25 D．30

4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．

5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）

A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列

C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列

6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）

A．B．C．D．

7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）

A．0 B．1 C．D．

8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）

A．64 B．32 C．16 D．8

二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）

9．已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．

10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为，=．

11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l1⊥l2，则a=．

12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．

13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．

15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有

成立，那么实数λ的最小值为．

三．解答题（本大题共5小题，共74分．）

16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．

（I）求角B的值；

（II）若，求sinC的值．

17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．

（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；

（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．

18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．

（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．

19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．

（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．

（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；

（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．D 2．A． 3．A．4．B．5．B．6．C．7．D．8．B．

二、填空题

9．答案为：﹣3，，．10．答案为：60°，

11．答案为：2；2或﹣1 12．答案为：；．13．答案为：﹣8．14．答案为：a≤﹣或a≥．

15．答案为：2．

三．解答题

16．解：（I）∵．

由正弦定理得，sinBsinA=，

∵sinA≠0，即tanB=，

由于0＜B＜π，所以B=．

（II）cosA=，

因为sinA＞0，故sinA=，

所以sinC=sin（A+）==．

17．（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，

令，

解得：，

则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；

（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，

∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），

设直线l1解析式为y=kx+b，

把两点坐标代入得：，

解得：，

则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．

18．解：由题意得：

=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，

（1）因为S n=2n2+n①，所以S n

﹣1

=4n﹣1（n≥2）；

所以①﹣②得：a n=S n﹣S n

﹣1

当n=1时，a1=S1=3；

所以a n=4n﹣1，n∈N*，

又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，

所以=8，

所以q=2，

所以b n=2n﹣1；

（2）由（1）可知a n b n=（4n﹣1）2n﹣1，

所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，

2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，

所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，T n=5+（4n﹣5）×2n．

19．解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣

=sin2x﹣﹣

=sin2x﹣cos2x﹣1

=sin（2x﹣）﹣1．…

∵﹣≤x≤，

∴，

∴，

从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．

则f（x）的最小值是，最大值是0．…

（2），则，

∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，

∴，解得C=．…

∵向量与向量共线，

∴sinB=2sinA，

由正弦定理得，b=2a①

由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②

由①②解得a=1，b=2．…

20．解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，

则=a1（a1+6d），

a1d=2d2，∵d≠0

∴a1=2d．…

又∵a2=3，

∴a1+d=3，

∴a1=2，d=1…

∴a n=n+1．…（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…

∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）

=2n+．…

（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，则c n

﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…

+1

即﹣﹣λ＜0?λ＞…

设f（n）=﹣，

f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+

=+﹣

=2++1+﹣3﹣

=…

∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…当n=2或n=3时，f（n）max=，

∴=

所以λ＞．…