线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)

考试方式：闭卷 考试时间：

一、单项选择题（每小题

3分，共15分）

1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222

123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．

(A )

1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．

4．初等矩阵（A ）；

(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,

,n ααα线性无关，则（C ）

A. 12231,,

,n n αααααα-+++必线性无关；

B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；

C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；

D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t

7．设矩阵020003400A ??

?

= ? ???

，则1A -=

8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213

2122

233132

33

a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;

10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ?? ?

= ? ???

，则()R AB =_____________；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．求行列式11

1213

21

222331

32

33

a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

12．设矩阵111111111A -?? ?

=- ? ?-??

，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。

13． 求线性方程组???????=--+=--+=+-+=+-1

341321230

2432143214

321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T

T

T

T

αααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。

15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值

123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.

四、解答题（10分）

16. 已知100032023A ?? ?

= ? ???

，求10A

五、证明题（每小题5分，共10分）

17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη为对应的齐次线性方程

组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,

,r ξηηη线性无关。

18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.

2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)

考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5.28

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。

A. ();k k k AB A B =

B. ;A A -=-

C. 22()();A B A B A B -=-+

D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；

2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ ）。

A ．12,,,s ααα???都不是零向量;

B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;

C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;

D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;

3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。

A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；

4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；

D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；

5．二次型()222

123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设300140003A ??

?

= ? ???

，则()12A E --＝ ；

7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131

D =中元素ij a 的代数余子式，则

11

12

2122

A A A A = ；

8．100201100010140001201103010?????? ?????

????? ?????-??????

= ；

9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ；

10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值

λ= ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．设()1111222

20+a

a A a n

n n n a +??

?+

?

=≠ ?

???

，求A 。 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中

102030201A ?? ?= ? ?-??

。

13．已知111011001A -??

?

= ? ?-??，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

14．λ取何值时，线性方程组1231231

2321

24551

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？当

有无穷多解时，求通解。

15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。

四、解答题（10分）

16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：

()11,1,1T α=，()21,2,4T α=，()31,3,9T α=，()1,1,3T

β=。

（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)

1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。

2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)

考试方式：闭卷统考 考试时间：2010.12.19

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。

(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;

（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2

n n -个.

2．下列矩阵中（ ）不满足2

A E =-。

(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?--??

.

3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( )。

(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1

,P P AP B -=使； (C) 存在可逆矩阵,T

C C AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使. 4．向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（ ） （A ）错误!未找到引用源。均不为零向量；

（B ）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关； （C ）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；

（D ）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。

5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ ）。

（A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件;

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设???

?

?

??=101020101A ，则22A A -= ；

7．已知(),,,,,,??

?

??==31211321βα设,A T βα=则A = ；

8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*12A A --= ；

9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 ;

10. 已知111242335A -?? ?=- ? ?--??，00020002B λ??

?

= ? ???

，且A 于B 相似，则λ= 。

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．12

3

12

11111

1111111(0)1

1

1

1n n n

a a D a a a a a ++=

+≠+

12．12．已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123

220

2030x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=? 的解.

①求λ的值；②证明0B =.

13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,

其中311110012,102,004202A B ???? ? ?== ? ? ? ?????

求矩阵X 。 14．求向量组123411343354,,,,22323342αααα--????????

? ? ? ?

-- ? ? ? ?==== ? ? ? ?

-- ? ? ? ?

--????????

53101α?? ? ?= ? ?-?? 的秩及最大

无关组。

15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??

?? ?

?= ? ? ? ?????

1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；

2. 求A 的特征值和对应的特征向量。

四、解答题（10分）

16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-

3(1,2,2)T b a b α=---+， 试讨论b a ,为何值时 （1）β不能用321,,ααα线性表示；

（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；

（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设12,,

,n ααα错误!未找到引用源。是一组n 维向量，证明它们线性无关的充

分必要条件是：任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。

18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：

()()

1

A B A B -+-是正交矩阵。

。

武汉科技大学

2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)

解答与参考评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。 A. ();k k k AB A B = B. ;A A -=-

C. 22()();A B A B A B -=-+

D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=； 2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ B ）。

A ．12,,,s ααα???都不是零向量;

B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;

C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;

D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;

3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）。

A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关； 4． 如果（ D ），则矩阵A 与矩阵

B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；

D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；

5．二次型()222123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设300140003A ?? ?

= ? ?

??

，则()12A E --＝1

011

022001??

? ?-

? ??

?

；

7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131

D =

中元素ij a 的代数余子式，则

11

12

2122

A A A A = -1 ；

8．100201100010140001201103010?????? ????? ????? ?????-??????=210104350??

? ? ?

?

?；

9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 2 ； 10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值

λ= -3 ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．设()1111222

20+a

a A a n

n n n a +??

?+

?

=≠ ?

???

，求A 。 解：11111111

011

110

02222000

+00

a a A a

a n

n

n a

n a

+-==+-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 1111111000

(1)10002

00

n

i n

n n n i i a

a i n n a a a a a a

=-=++?

?=

=+=+ ???∑

∑．

．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中

102030201A ??

?= ? ?-??

。

解：由2A B A B E --=，得()2A E B A E -=+，即

()()A E A E B A E +-=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由于202040202A E ?? ?

+= ? ?-??

，320A E +=≠，

002020200A E ?? ?

-= ? ?-??

，80A E -=≠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

()()()()1

11100200110200102200100B A E A E A E A E -----????

? ?

=-++=-== ? ? ? ?

-????

，．．．．8分

所以18B =。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

13．已知111011001A -??

?

= ? ?-??

，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

解：因为111

01110001A -==-≠-，所以A 可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由2A AB E -=，得2A E AB -=，故()121A A E A AB ---=，即1A A B --=，．．．．4分

不难求出 1112011001A ---??

?

= ? ?-??,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因此1111112021011011000001001000B A A ----??????

? ? ?

=-=-= ? ? ? ? ? ?--?????? 。．．．．．．．．．．．．．．．10分

14．λ取何值时，线性方程组1231231

2321

24551

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？当

有无穷多解时，求通解。

解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式

()()221

11541544

5

5

A λ

λ

λλλλ-=-=--=-+；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

1.当45

λ=-时，有()421

15

104555

,112455104000945

51A b r ??-

- ?

--??

? ?

?=-

--- ? ?

? ???-- ? ??

?，

()()2,3R A R A b =≠=，原方程组无解；

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2.当1λ=时，有()211103331001,111211120111455109990000A b r r ---??????

? ? ?

=---- ? ? ? ? ? ?----??????，

所以原方程的通解为1230111,10x x k x ?????? ? ? ?

=+- ? ? ? ? ? ???????

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

3.当4

1,5λ≠-时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。 解：

()2

13

41021102110211441~0462~0462023102310000T

T T

T

A αααα------??????

? ? ?== ? ? ? ? ? ???????

．6分

所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因为任意两个向量均不成比例，

所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

四、解答题（10分）

16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，

3α。其中：()11,1,1T α=，()21,2,4T α=，()31,3,9T α=，()1,1,3T

β=。

（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。 解：（1）把β用123,,ααα线性表示，即求解方程

112233x x x αααβ++=

111111111002123101200102149300110011r r ?????? ? ? ?- ? ? ? ? ? ???????

故12322βααα=-+。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()1231232222n n n n n A A A A A βαααααα=-+=-+

11211122331233222322223223.223n n n n n n n n n n n λαλαλαααα++++++??

-+ ?

=-+=-+=-+ ? ?-+??

．．．．．．．．．．10分

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 证明：()01A E A E R A E ≠?-≠?-≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ()()()()1R A R A E n R A n R A E n +-=?=--≤-，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以0Ax =有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)

1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。

证明：向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组，因此4α可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．．2分 假设向量组12354,,,ααααα-的秩不为4，又因为向量组123,,ααα的秩为3，所以向量组12354,,,ααααα-的秩为3，因此54αα-也可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．4分 因此5α可唯一的由123,,ααα线性表示，而向量组1235,,,αααα的秩为4，即

1235,,,αααα线性无关，因此5α不能由123,,ααα线性表示，矛盾，因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

武汉科技大学

2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)

解答与参考评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ A ）。

(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2

n

n -个.

2．下列矩阵中（ C ）不满足2

A E =-。

(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?

--??

. 3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( D )。

(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1

,P P AP B -=使；

(C) 存在可逆矩阵,T

C C

AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使.

4．向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（ D ）

（A ）错误!未找到引用源。均不为零向量； （B ）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；

（C ）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；

（D ）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。 5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）。

（A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件.

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设???

?

? ??=101020101A ，则22A A -= 0 。

7．已知(),,,,,,??

? ??==31211321βα设,A T

βα=则A =1112322

133312

?

? ?

? ? ? ? ? ??

?

； 8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*

1

2A A

--= 27 ；

9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 2 ;

10. 已知

111

242

335

A

-

??

?

=-

?

?

--

??

，

00

020

002

B

λ??

?

= ?

?

??

，且A于B相似，则λ= 6 。

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．

1

2

312

1111

1111

1111(0)

1111

n n

n

a

a

D a a a a

a

+

+

=+≠

+

解：

1

21

32

11111111

11110111

11110111

11110111

n

n n

a

a a

D a a

a a

+

++

=+=+

++

5分

1

1

1

2

2

1

11

11

11

11

100

000

100

000

100

000

n

i i

n

n

a

a

a

a

a

a

a

=

+

-

=-=

-

∑

8分

12

1

1

1

n

n

i i

a a a

a

=

??

=+

?

??

∑10分

12．已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组

123

123

123

220

20

30

x x x

x x x

x x x

λ

+-=

?

?

-+=

?

?+-=

?

的解.

①求λ的值；②证明0

B=.

解：①因为非零矩阵B的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组

123

123

123

220 20 30 x x x

x x x

x x x

λ

+-=?

?

-+=?

?+-=?

有非零解，即122

210451

311

λλλ

-

-=?+=?=

-

5分

②由题意可得1222110()()3311B R B R A n -?? ?

-=?+== ? ?-??

， 8分

因为()1R A >，所以()3R B <，即B 不可逆，所以0B = 10分 注：第二问也可以用反证法，方法对即可。

13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102.004202A B ????

? ?

== ? ? ? ?????

求矩阵X 。

解：()22AX B X A E X B =+?-=1112012,002A E ?? ?

-=- ? ??? 3分

()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ???--?

? ?

-=- ? ? ? ?????

8分

所以111100101X --?? ?

= ? ???

。 10分

14．求向量组123451134333541,,,,2232033421ααααα--??????????

? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?---??????????的秩及最大无关组。 解：()123451

134

3113433

354100488,,,,~22320003693

34210051010ααααα----???? ? ?

----

? ?

= ? ?

---- ? ?

-----????

1134300488~0000000000--?? ?--

? ? ???

， 6分 所以()12345,,,,2R ααααα=，任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。 10分

15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??

?? ?

?= ? ? ? ?????

1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；

2. 求A 的特征值和对应的特征向量。

解：1. 二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ??

?

= ? ???

， 3分

2．()()2

10003201505,10

2

3A E λ

λλλλλλ

--=

-=?--=?=-（二重） 6分

当5λ=时，()40010050022~011022000A E x -????

? ?

-=?-- ? ? ? ?-????

，

所以1011k ??

?

? ???为5λ=对应的特征向量。 8分

当1λ=时，()0000000022~011022000A E x ???? ? ?

-=? ? ? ? ?????

，

所以23100,101k k ????

? ?

- ? ? ? ?????

为1λ=对应的特征向量。 10分

四、解答题（10分）

16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-3(1,2,2)T b a b α=---+， 试讨论b a ,为何值时

（1）β不能用321,,ααα线性表示；（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，并求出表示式.

解：问题转化为方程组求解问题??

?

??

-=++-=+-++=-+3

)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x

增广矩阵11

1111112223~010323000A a b a b a a b a b --???? ? ?=+--- ? ?

? ?-+--???? 5分

（1）0a =时,(若b=0则2)(,1)(==A R A R ,若≠b 0则()2,()3R A R A ==) 方程组无解，即β不能用321,,ααα线性表示 6分 （2）0,0≠-≠b a a 时，()()3R A R A ==，方程组有唯一解，即β可由321,,ααα唯一地表示，求表示式：

111111110110010100101000000100010a a A a b a a b --??

???? ? ? ??-?? ?

? ? ? ? ?-??????

1112(1)a a βαα?=-+ 8分

（3）0,0a a b ≠-=时，()()2R A R A ==，β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，

求表示式：11111110010101100000000a a A a a --????

? ??-?- ? ? ? ?????

11

123(1)()a a k k βααα?=-+++， 10分

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设12,,

,n ααα错误!未找到引用源。是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件

是：任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。

证明：充分性：12,,

,n ααα是一组n 维向量，任一n 维向量都可由它们线性表示。因此有E

可由12,,

,n ααα线性表示，因此有

()()()n R E R A n R A n =≤≤?=?12,,,n ααα线性无关。 3分

必要性：,n b R ?∈12,,

,n ααα线性无关，因此有12,,

,,n b ααα线性相关，即

()12,,

,n x b ααα=有惟一解，所以向量b 可由向量组12,,

,n ααα线性表示，由b 的任意性

可得任一错误!未找到引用源。维向量都可由12,,

,n ααα线性表示。

5分

18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：

()()

1

A B A B -+-是正交矩阵。

证明：A 为对称矩阵T A A ?=，B 为反对称矩阵T B B ?=-，

,A B 可交换()()()()AB BA A B A B A B A B ?=?+-=-+， 2分

()()()

()()

()()

()()

()

()()()

11

11

1

T

T

T

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B E

-----+-+-=

-++=+-+-= 4分

所以()()1

A B A B -+-是正交矩阵。 5分