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圆的性质及与圆有关的位置关系

一、圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

（6）弦心距：圆心到弦的距离．

2．注意

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．

二、垂径定理及其推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

1．定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d．

(1)d

(2)d=r?点在⊙O上；

(3)d>r?点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．

六、切线的性质与判定

1．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点．

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．

（3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

七、三角形与圆

1．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

考向一圆的基本认识

1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

3．在同一个圆中，直径是最长的弦．

4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．

5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例1 下列命题中正确的有

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【答案】A

【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；

②半径不是弦，所以②错误；

③直径是最长的弦，正确；

④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．

1．把圆的半径缩小到原来的1

，那么圆的面积缩小到原来的

A．1

B．

C．1

D．

2．半径为5的圆的一条弦长不可能是

A．3 B．5 C．10 D．12

考向二垂径定理

1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．

2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．

典例2 如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=

A．3cm B．33cm C．53cm D．63cm

【答案】D

【解析】如图，连接OA，

∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，

∴CD是⊙O的直径，

∵CD⊥AB，

∴AE=BE，OE=3，OA=6，

∴AE=2233

OA OE

-=，

∴AB=2AE=63，

故选D．

典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

A．2 cm B3 cm

C．23cm D．25cm

【答案】C

【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．

作OD⊥AB于D，连接OA．

根据题意得OD=1

OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=3cm，

根据垂径定理得AB=23cm．

故选C．

3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是

A．3 B．6 C．4 D．8

4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为851

米，大

棚顶点C离地面的高度为2.3米．

（1）求该圆弧形所在圆的半径；

（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？

考向三弧、弦、圆心角、圆周角

1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°

的圆心角对着1°的弧．

2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．

典例4 如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为

A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D

【解析】∠A=1

BOC=

×50°=25°．

故选D．

典例5 如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是

A．20°B．25°C．30°D．35°

【答案】B

【解析】如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，

∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，

∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，

∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．

5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则?BC的长为

A．10

πB．

πC．

πD．

6．如图，AB是⊙O的直径，???

BC CD DE

，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

A．52°B．57°C．66°D．78°

考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．

2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．

典例6 已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内

C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合

【答案】C

【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，

∴点A在⊙O外．故选C．

【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

典例7 在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切

C．相交D．无法确定

【答案】B

【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11

AB=?=1，即B

到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．

7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是

A．在⊙O内B．在⊙O上

C．在⊙O外D．以上都有可能

8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．

考向五切线的性质与判定

有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例8 如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=

A．30°B．40°C．50°D．60°

【答案】B

【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，

∴∠PBA=90°，

∵∠PBC=50°，

∴∠ABC=40°．

故选B．

典例9 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为

A．7

B．

C．5

D．1

【答案】B

【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，

∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22

AB AC

，而AD为中线，∴DC=2，

∵以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，∴EG =EF =r ，∴HC =r ，AH =3–r ， ∵EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ADC ， ∴EH ∶CD =AH ∶AC ，即EH =233

r -（）

， ∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴

()1112154333422232r r r ??+??+??-=??，∴6

r =．故选B ．

9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD

BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是

A ．大于

B ．等于

C ．小于

D ．不能确定

10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．

求证：（1）DB DC =；（2）DE 为⊙O 的切线．

1．下列关于圆的叙述正确的有

①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；

③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是

A ．44°

B ．22°

C ．46°

D ．36°

3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于

A ．41

B ．34

C ．8

D ．6

4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是

A ．点（1，0）

B ．点（2，1）

C ．点（2，0）

D ．点(2．5，1)

5．如图，O e 的直径8AB =，30CBD ∠=?，则CD 的长为

A ．2

B ．23

C ．4

D ．436．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为

A ．32

B ．34

C ．36

D ．38

7．已知在⊙O 中，AB =BC ，且??34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．

8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．

9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于

14 cm ，则PA =__________cm ．

10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=?，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙

O 的内接正十边形的一边，?DE

的度数为__________．

11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．

12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果半径的长为3，tan D=3

，求AE的长．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC 于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；

（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．

1．（2019?吉林）如图，在O e 中，?AB 所对的圆周角50ACB ∠=?，若P 为?AB 上一点，55AOP ∠=?，则POB ∠的度数为

A ．30°

B ．45°

C ．55°

D ．60°

2．（2019?贵港）如图，AD 是O e 的直径，??AB CD =，若40AOB ∠=?，则圆周角BPC ∠的度数是

A ．40?

B ．50?

C ．60?

D ．70?

3．（2019?广元）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为

A ．25

B ．4

C ．213

D ．4.8

4．（2019?益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是

A ．PA =P

B B ．∠BPD =∠APD

C ．AB ⊥PD

D ．AB 平分PD

5．（2019?福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等

于

A ．55°

B ．70°

C ．110°

D ．125°

6．（2019?重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为

A ．60°

B ．50°

C ．40°

D ．30°

7．（2019?甘肃）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =

A ．54°

B ．64°

C ．27°

D ．37°

8．（2019?仙桃）如图，AB 为O e 的直径，BC 为O e 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，

连接BD ．下列结论：①CD 是O e 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ?=?．其中正确结论的个数有

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

9．（2019?娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=?，则AD =__________．

10．（2019?安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，

则CD的长为__________．

11．（2019?福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．

（1）求证：∠BAC=2∠CAD；

（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．

12．（2019?河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是?BD 上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．

（1）求证：△ADF≌△BDG；

（2）填空：

①若AB=4，且点E是?BD的中点，则DF的长为__________；

②取?AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．

答案1．【答案】D

【解析】设原来的圆的半径为r，则面积S1=πr2，

∴半径缩小到原来的1

后所得新圆的面积2

π()π

416

S r r

==，∴

π16

S r

==，故选D．

2．【答案】D

【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，

又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10

l≤，故选D．3．【答案】B

【解析】如图，连接OA，∵O

e的直径为10，5

∴=，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，

由垂径定理知，点M是AB的中点，

AM AB

=，

由勾股定理可得，3

AM=，所以6

AB=．故选B．

4．【解析】（1）如图所示：

CO⊥AB于点D，

设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，

则（x–2．3）2+（

851

）2=x2，解得x=3．

答：圆弧形所在圆的半径为3米；

（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，

可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B

【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210

π1809

?=，

故选B ． 6．【答案】B

【解析】∵???=BC

CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A

【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．

8．【答案】2

【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，

又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．

【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B

【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．

∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =

12?OB ?AH =1

?AB ?OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．