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1994考研数学一真题及答案详解

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 0

limcot (

)sin x x x x

→-=_____________. (2) 曲面23z

z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

(3) 设sin x

x u e y -=,则2u

x y

???在点1(2,)π处的值为_____________.

(4) 设区域D 为2

x y R +≤,则22

22()D

x y dxdy a b +=??_____________.

(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23

αβ==,设T

A αβ=,其中T α是α的转置,则n

A =_________.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1) 设42

sin cos 1x M xdx x π

π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,23422(sin cos )P x x x dx π

π-=-?, 则 ( )

(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<

(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件

n n a ∞=∑收敛,

则级数1

(1)n

n ∞

=-∑ ( )

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2

tan (1cos )lim

2ln(12)(1)

x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )

(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-

(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关

(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关

三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)

(1)

设222

cos(),cos(),t x t y t t udu ?=?

?=-??

? 求dy dx 、2

2d y dx

在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412

x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求

sin 22sin dx

x x +?.

四、(本题满分6分)

计算曲面积分2222

xdydz z dxdy x y z +++??,其中S 是由曲面222

x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且

2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的

通解.

六、(本题满分8分)

设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0

()

lim

0x f x x

→=,证明级数 1

()n f n

∞

=∑

绝对收敛.

七、(本题满分6分)

已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.

八、(本题满分8分)

设四元线性齐次方程组()I 为12240,

x x x x +=??

-=? 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为

12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.

(1) 求线性方程组()I 的基础解系；

(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

九、(本题满分6分)

设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明

||0A ≠.

十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)

(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为

则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.

十一、(本题满分6分)

已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2

(1,3)N 和

2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32

X Y

Z =+,

(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】

【解析】原式变形后为“0

”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有

原式20cos (sin )lim

sin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x x

x x

→→-=? 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x x

→=) (2)【答案】240x y +-=

【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .

已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：

000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.

因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23z

F x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量

{}{}{}(1,2,0)

(1,2,0)

,,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ??

??? ==-==???????, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.

(3)【答案】

【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求

u y ??,再求u x y ???? ?????

. 2cos x u x x

e y y y

-?=-?,

()2221

112(2,)(2,)2cos x y x x u u u

xe x x y y x x y x

ππ

ππ-=

==???????

===- ? ??????????

((1)cos )

x e x x e πππ-==--+=

(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)

【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ?ψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数

((,),(,))z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有

12z z u z v u v f f x u x v x x x

???????''=+=+???????； 12z z u z v u v f f y u y v y y y

???????''=+=+???????. (4)【答案】

211(

R a b

+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式222

2222

3222200

00cos sin cos sin R

R d r rdr d r dr a b a b π

πθθθθθθ????

+=+? ? ??????

??.

注意：

222

cos sin d d π

θθθθπ==?

则原式4422221111144R R a b a b ππ????

=+?=+

? ??

???. (5)【答案】1

111232321

33312n -??

?????????

???????

【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233T

βα??

????== ???

??????

是一个数,

而 11123111221,,2123333312T

A αβ?

?????

???????

=== ????

?????????

??????

,(是一个三阶矩阵)

于是,

()()()()()()()n T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβ==L L 111112323321

33312n T n αβ--?????

???==???

??????

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】(D)

【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.

由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且

由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则

()0 ()b

f x dx a b ≥

所以 4

cos 0N xdx π

=>?

, 420

2cos 0P xdx N π

=-=-

因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)

【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '

00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保

证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).

二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)

【解析】考查取绝对值后的级数.因

2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由22

10,0,()2

a b ab a b ≥≥≤

+得到的.) 又21n

n a ∞

=∑收敛,2112n n ∞

= ∑收敛,(此为p 级数：11

p n n

∞

=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)

所以22111

22n n a n ∞

=+∑收敛,由比较判别法,

得1n ∞

=收敛.

故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)

【解析】因为 22

211cos (),1()2

x x x o x e x o x --=-=:

:, 故 tan (1cos ) (0)a x b x ax a +-≠:,

ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠:,

因此,原式左边0lim

222x ax a

cx c

→====--原式右边,4a c ?=-.

当0,0a c =≠时,极限为0；

当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()

lim

.()

x l x αβ= （1）若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；

（2）若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ:；（3）若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为

()()()x o x αβ=.

若()

lim

()

x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则

()()()()(())x x x x o x αβαββ?=+:.

(5)【答案】(C)

【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.

对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即

10011100

200110001

-=≠, 由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由

12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,

知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).

【相关知识点】12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由

111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.

12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由

111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.

三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)

(1)【解析】dy dy dt dy

dx dt dt dx dt dx =?=

22222

cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t

===>'

- 同理 2()12sin x t

xx t y y x t t

''''=

='-, 代入参数值

t =

则

t y '=

, xx

t y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为

()()dy f u g x dx ''=? 或 dy dy du dx du dx

=?. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()

()

()()t t F t f x dx βα

?,()t α,()t β均一阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

(2)【解析】111

()ln(1)ln(1)arctan 442

f x x x x x =

+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由

2(1)

(1)(1)

(1)1,2!

n n x x x x n ααααααα---++=++

+L L L (11)x -<<

该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有

231

1(1),1n n x x x x x =-+-++-++L L (11)x -<< 231

1,1n x x x x x =++++++-L L (11)x -<< 得 222

1111111111

()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+

44401

111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得

011

()(0)() (||1)41n x

x n

n n x f x f f x dx t dt x n +∞

∞

=='=+==<+∑∑?

(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=?,并利用换元积分,

结合拆项法求积分,得

sin 22sin 2sin (cos 1)dx dx

x x x x =++??

22sin 11

cos 2sin (cos 1)2(1)(1)

xdx x u du x x u u ==-+-+?

? (Q 2

sin 1cos x x =-)

1(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-

=-++-+-++??

12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ??=--+++??+??

()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ??=--+++??+??

, 其中C 为任意常数.

方法2：换元cos x u =后,有

原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx du

x x x x u u =

==-++-+???.

用待定系数法将被积函数分解:

1(1)(1)11(1)A B D

u u u u u =++-+-++

()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,

1120,421

A B A D A B D A B D -=??

?-=?===??++=?

于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ??-

++=--+++??-+++??

?原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ??=--+++??+??

四、(本题满分6分)

【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.

这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则

0Pdydz ∑

=??.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.

先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.

方法1：注意 2222

z dxdy x y z =++??,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222S

xdydz

I x y z =

++??. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直?

2222220s s xdydz xdydz

x y z x y z ==++++????. 在3S 上将2

x y R +=代入被积表达式?3

22s xdydz

I R z =

+??. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上

,x =3S 关

于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出

22002222yz

R R D dz I R z

==?? +?? 2

201

arctan 42

z R R R R π

π1=8??=.

方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22S

xdydz

I R z =

+??. 再用高斯公式得 222222()

1R R D z x dxdy

I dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ???=

== ??+++??????????? 2

220

1122

dz R R z ππ==+?

(先一后二的求三重积分方法)

其中()D z 是圆域：2

x y R +≤.

【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数

(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有

,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑

???++=++ ???????????ò 或

()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑

?????++=++ ???????????ò 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

五、(本题满分9分)

【解析】由全微分方程的条件,有

2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x

'+-=+??, 即 2

2()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2

()()f x f x x ''+=.

因而是初值问题 2

0,1,x x y y x y y ==''?+=??'==?? 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的

齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202

x x e x =?中的0λ=,不同

于两个特征根,所以方程有特解形如 2

Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为2

2x -.

由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2

()2cos sin 2f x x x x =++-.

()f x 的解析式代入原方程,则有

22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.

先用凑微分法求左端微分式的原函数：

222211

()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221

(2(cos 2sin ))02

d x y xy y x x ++-=. 其通解为 22

12(cos 2sin )2

x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*

()y x 是二阶线性非齐次方程

()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程

变为0y py qy '''++=.其特征方程写为2

0r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1

212;rx r x y C e

C e =+

(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rx

y C C x e =+

(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x

y e C x C x αββ=+其中12

,C C 为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*

()y x ,可用待定系数法,有结论如下：

如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k x

m y x x Q x e λ=

的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果()[()cos ()sin ]x

l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程

()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为

*(1)(2)

[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,

其中(1)()m R x 与(2)

()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征

方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

六、(本题满分8分) 【解析】0

()

lim

0x f x x

→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n

也是

的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数

()n f n

∞

=∑

绝对收敛. 方法一：由0()

lim

0x f x x

→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0

x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“0

”型的极限未定式,又分

子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有

2000()()()1lim lim lim (0)222

x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2

()1

lim

(0)2

x f x f x →''?=. 由函数极限与数列极限的关系 2

()

1lim

(0)12

n f n

f n →+∞''?=. 因211n n ∞

=∑收敛11()n f n ∞=?∑收敛,即 1

()n f n ∞

=∑绝对收敛.

方法二：由0

()

lim

0x f x x

→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：

2211

()(0)(0)()()(01,[,])22

f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++

=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,

0,()f x δ''??>在[,]x δδ∈-有界,即0M ?>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈-

2211

()(),[,]22

f x f x x Mx x θδδ''?=

≤∈-. 对此0δ>,,N n N ?>时,21111

0()2f M n n n

δ<

=∑收敛11()n f n ∞=?∑收敛,即 1

()n f n ∞

=∑绝对收敛.

【相关知识点】正项级数的比较判别法：

设

n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑都是正项级数,且lim

n n

v A u →∞=则

⑴ 当0A <<+∞时,

n u

∞

=∑和

n v

∞

=∑同时收敛或同时发散；

⑵ 当0A =时,若

n u

∞

=∑收敛,则

n v

∞

=∑收敛；若

n v

∞

=∑发散,则

n u

∞

=∑发散；

⑶ 当A =+∞时,若1

n v

∞

=∑收敛,则

n u

∞

=∑收敛；若

n u

∞

=∑发散,则

n v

∞

=∑发散.

七、(本题满分6分)

【解析】方法1：用定积分.

设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1

()V S z dz =

,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,

所以,A B 所在的直线方程为

1111x y z

-== - 或 1x z y z =-??

. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 2

(1)R x y z z =+=-+,则面积

222()[(1)]S z R z z ππ==-+,

由此 1

220[(1)]V z z dz π=-+?()1

20122z z dz π=-+?1

3023z z z π??=-+ ??

?23π=.

方法2：用三重积分

V dV d dz ππ

θΩ

===

?????,

或者 11

[(1)]z

D V dV dz d z z dz σπΩ

==-+??????? ()1

122z z dz π=-+?

230

23z z z π?

?=-+ ???23π=.

八、(本题满分8分)

【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ??

?-??

由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.

取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.

将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有

21212122

20k k k k k k k k -++=??=-?

+-=?. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.

九、(本题满分6分)

【解析】证法一：由于 *

A A =,根据*

A 的定义有

(,1,2,,)ij ij A a i j n =?=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.

由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么

2222

112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,

故 ||0A ≠.

证法二：(反证法)若||0A =,则*T

AA AA ==||0A E =.

设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222

120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .

于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.

十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)

(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有

()()1()P AB P A B P A B ==-U U

1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.

因题目已知 ()()P AB P AB =,故有

()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.

(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量

{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且

{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004

P X Y P X P Y =====?==, {}{}31104

P Z P Z ==-==

. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：

十一、(本题满分6分)

【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数

XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.

(1) 由2

(1,3)X N :,2

(0,4)Y N :,知

()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.

由数学期望和方差的性质：

()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,

22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,

其中,,a b c 为常数.

得 111,323EZ EX EY =+= 111

Cov(,)943DZ DX DY X Y =++

111

916943XY ρ=?+?+

5()34 3.32

=+?-??=

(2) 因为11

Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+

Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+

211

3(6)032

=?+-= 所以 0

XZ ρ=

(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而

X Y

Z =

+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0

XZ ρ=

=,所以X 与Z 是相互独立的.

考研数学一真题完整版

世纪文都教育科技集团股份有限公司 2018 考研数学（一）真题（完整版）来源：文都教育一、选择题 1.下列函数中，在 x = 0 处不可导的是： A. f ( x ) = x sin x B. f ( x ) = x sin x C. f ( x ) = cos x D. f ( x ) = cos x 2.过点(1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ), 且与曲面 z = x 2 + y 2 相切的平面为： A. z = 0 与 x + y ? z =1 B. z = 0 与 2 x + 2 y ? z = 2 C. x = y 与 x + y ? z = 1 D. x = y 与 2 x + 2 y ? z = 2 ∞ 2 n + 3 3. ∑(? 1)n = ( 2 n +1)! n =0 A. sin1 + cos1. B. 2 sin1 + cos1. C. 2 sin1 + 2 cos1. D. 2 sin1 + 3 cos1. π 1 + x 2 π 2 ) 2 1+ x 2 (1 + cos x ) d x .则： 4.设 M = ∫? d x , N = ∫? d x , K = ∫? 1 + x 2 e x 2 2 2 A. M > N > K B. M > K > N C. K > M > N D. K > N > M

世纪文都教育科技集团股份有限公司 110 01相拟的为： 1 00 1 11?1 011 001 10?1 011 001 11?1 010 001 10?1 010 001 6.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X Y)表示分块矩阵，则 A. r ( A AB )= r ( A) B. r ( B BA)= r ( A) C.r( A B )=max{ r ( A), r ( B)} D.r( A B )= r ( A T B T) 7.设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1?x)，且∫02f(x)d x=0.6，则P{x<0}= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 8.设总体X服从正态分布 N (μ,σ2). X 1, X 2, X n是来自总体X的简单随机样本，据此样本检验假设： H 0:μ=μ0, H1:μ≠μ0.则： A.如果在检验水平α=0.05下拒绝H0，那么在检验水平α=0.01下必拒绝H0 .

1994考研数四真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知0()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000 000,0000 0n n a a A a a -?? ??? ? ? ?=???????? 其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________. (5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 曲线2 1 21 arctan (1)(2) x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程 1 ()0() x x a b f t dt dt f t +=? ? 在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( ) (A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14), ααα=-==4(1,2,2,0),α=- 5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( ) (A) 123,,ααα (B) 124,,ααα

99考研数学一真题及答案详解

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)0 11 limcot ( )sin x x x x →-=_____________. (2)曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设sin x x u e y -=,则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D 为2 2 2 x y R +≤,则22 22()D x y dxdy a b +=??_____________. (5)已知11(1,2,3),(1,,)23 αβ==,设T A αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)设422 2 sin cos 1x M xdx x π π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,23422(sin cos )P x x x dx π π-=-?, 则() (A)N P M <<(B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N << (2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的() (A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0λ>,且级数 21 n n a ∞=∑收敛, 则级数1 (1)n n ∞ =-∑() (A)发散(B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关 (4)2 tan (1cos )lim 2ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有() (A)4b d =(B)4b d =- (C)4a c =(D)4a c =- (5)已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组() (A)12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关 (B)12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)0 11 lim cot ( )sin x x x π→-= _____________. (2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,x x u y -=则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D 为2 2 2 ,x y R +≤则22 22()D x y dxdy a b +??=_____________. (5)已知11 [1,2,3],[1,,],23 ==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 434234222 2222 sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x π ππ πππ--- ==+=-+???则有 (A)N P M << (B)M P N << (C)N M P << (D)P M N << (2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数2 1 n n a ∞ =∑收敛, 则级数1 (1)n n ∞ =-∑ (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2 tan (1cos )lim 2,ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有 (A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441 ,,,----αααααααα

完整word版,历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

1994考研数三真题与解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -???? ?? ??=???????? L L M M M M L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为 2,01, ()0,x x f x <,而级数 21 n n a ∞ =∑收敛, 则级数 1 (1) n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则 ( ) (A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定

考研数学历年真题(1987-1997)年数学二

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1）已知()()==?????=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在，，000 2 _____________. （2）设则,11ln 2 x x y +-==''=0x y _____________. （3） () =-? x x dx 4_____________. （4）设 =++? +∞ 28 4x x dx _____________. （5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-= ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x x x e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231 (),()(),[()()](), 2 b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-?则（） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S << (D)213S S S << (3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x （） (A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0 (C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00 (D)()()()()的拐点也不是曲线的极值，不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t x F x tdt π += ? 则()F x （） (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数（5）.设()()()为则][,0,0,,0 ,20 ,22x f g x x x x x f x x x x x g ???? ????≥-<=>+≤-=（）（A ）?<+0 ,22x x （B ）?<-0,22x x

2007年考研数学一真题及参考答案

2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 (2)曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3 【答案】D。【解析】由于

，则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设 ,则下列结论正确的是 (A)

(B) (C) (D) 四个选项中出现的由定积分几何意义知,排除又由的图形可知的奇函数，则显然排除(A)和(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是C 。【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是 (A)若存在，则

(B)若存在，则 (C)若存在，则存在 (D)若存在，则存在若因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A) 若存在，则,，正确。 (C)存在，知，则存在，故 (D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下

历年考研数学线代真题1987-2016年(最新最全)

1 / 26 历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示