实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章
。习题2.1
1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b
E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b
E E E '===?。
2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ????
??=≤<=x y x y x E ，求b
E E E E ,,,' ．
解 E =?；{(,):0,11}.b
E E x y x y E E '==-≤≤==
3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．
(1) 11n n n n E E ∞
∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==?
??? ??1
1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(?
??=B A B A
解 (1) 不一定。如设12={,,
,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1
(
)n n E ∞=''==Q R ,
而1.n n E ∞
='=?但是，总有11
n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R
(3) 不一定。如设12={,,
,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则
1
n n E ∞===Q R , 而
1
.n n E ∞
==Q 但是，总有11
n n n n E E ∞∞
==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而
()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =.
(6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此，
有()A B A
B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即
()A
B A B ?。因此，()A B A B =.
4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ．
解 令1111
{1,,,,,,}234A n
=，则{0}A '=，()A ''=?.
5．试作一点集E ，使得b
E E ?．
解 取E =Q ，则b
E =R 。
6．证明：无聚点的点集至多是可数集．
证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而
(,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，
从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x
f x P r =，则得到单射:n f A +
→?Q Q 。由于n +
?Q Q 可
数，所以，A 是最多可数。
7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?
答 不相同。例如，点集1111
{1,
,,,,,}234A n
=只有孤立，但是有一个聚点：{0}A '=。
8．对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于
d ?
答 不一定。例如，取
1{(,0):1,2,}{(,):1,2,}A n n n n n -===，
则A 无聚点。但是()
11(,0),(,)0()d n n n n n --=→→∞，这说明：不存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d 。
9．点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若E x '∈0，则存在E x n ?}{且
),(m n x x m n ≠≠ 使得)(0∞→→n x x n ．
证明 不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对
于一个点列1{}n
k k x ∞=?R ，可以得到一个点集{:1,2,
}k E x k ==。 如果0x E '∈, 则0x 必
是点列1{}k k x ∞
=的极限点。反之不真。如取1(1,2,)k x k ==，则1是点列1{}k k x ∞=的极限点，
但它不是点集{:1,2,
}k E x k ==的聚点（因为{1}E =没有聚点）。对于可数点集
12{,,
,,}(())n k i j E x x x x x i j =?≠≠R ，
得到点列1{}k k x ∞
=。显然，点集E 的聚点与点列1{}k k x ∞
=的极限点是相同的。
设E x '∈0，则对11ε=, 01(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点
1001(\{})(,
)x E x B x ε∈。令1210min{(,),2}d x x ε-=，则02(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点2002(\{})
(,)x E x B x ε∈。如此下去, 可得点列1{}k k x ∞=满足： 00(\{})
(,)k k x E x B x ε∈，110min{(,),2}k k k d x x ε-+-=(k +?∈Z ).
易见，1{}k k x ∞
=是E 的各项互不相同的点列且0(,)20()k k d x x k -<→→∞。可见，
0()k x x k →→∞。
10．证明：E x '∈0的充要条件是对任意0>δ，),(0δx B 含有一个异于0x 的E 的点． 证明 必要性显然.
充分性. 对11δ=, 在0(,1)B x 中有一点1x E ∈, 而10x x ≠。令
2101min{(,),}2
d x x δ=,
在02(,)B x δ中有一点2x E ∈且21x x ≠。令
3201min{(,),}3
d x x δ=,
在03(,)B x δ中有3x E ∈且30x x ≠。这样继续下去，得到E 中各项互不相同的点列{}n x 使得1
0(,)0()k d x x k
k -<→→∞。从而，0lim n n x x →∞
=，由上题知E x '∈0.
11．E x E x k ???∈}{0使得)(0∞→→k x x k ．
证明 必要性。设0x E ∈，则1
0,(,)k k x E
B x k +
-?∈?∈Z 。显然，{}k x E ?且
)(0∞→→k x x k 。
充分性 设{}k x E ??使得)(0∞→→k x x k ，则0,N ε?>?使得当n N >时有
0(,)k d x x ε<，从而10(,)N x B x E ε+∈。可见，0x E ∈。
12. 设点列)(∞→→n a x n ,)(∞→→n b x n ,证明: b a =.
证明 由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞可知：对任意的120,,N N ε>?使得当
1n N ≥时, 有(,)2
n d x a ε
<
; 当2n N ≥时, (,)2
n d x b ε
<
。令{}12max ,N N N =, 则当
n N ≥时, 有(,)2
n d x a ε
<
且(,)2
n d x b ε
<
. 从而，当n N ≥时，有
11(,)(,)(,)2
2
N N d a b d a x d x b ε
ε
ε++≤+<
+
=。
所以(,)d a b ε<。由ε的任意性知，a b =.
13. 设点列)(∞→→n x x n ,)(∞→→n y y n ,证明: R ∈?βα,,有 (1) )(∞→+→+n y x y x n n βαβα; (2) ))(,(),(∞→→n y x d y x d n n .
证明 （1）由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞, 可知对任意的120,,N N ε>?使得当
1n N >时，有(,)2||1
n d x x εα<
+; 当2n N >时，有(,)2||1n
d y y ε
β<+.令{}12max ,N N N =, 则当n N >时, 有
(,)2||1
n d x x εα<+且(,)2||1n d y y ε
β<+.
所以，当n N >，有
(,)||(,)||(,)22
n n n n d x y x y d x x d y y εε
αβαβαβε++≤+<+=。
从而n n x y αβ+x y αβ→+()n →∞.
（2）因为
(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,),
n n n n n n n n d x y d x x d x y d y y d x y d x x d x y d y y ≤++≤++
所以
|(,)(,)|(,)(,)0()n n n n d x y d x y d x x d y y n -≤+→→∞。
因此，))(,(),(∞→→n y x d y x d n n 。
习题2.2
1．点集E 为闭集当且仅当E 中的收敛点列的极限仍然属于E ．
证明 必要性. 设E 为闭集, 即E E '?。取任一收敛点列{}n x E ?, 且
0n x x →()n →∞.
下证0x E ∈. 事实上, 若存在n 使得0n x x =, 则0x A ∈；否则，对任一N n +
∈都有0n x x ≠。
因为0()n x x n →→∞, 所以对任意0>δ，),(0δx B 中必有E 的异于0x 的点n x 。从而，由习题2.1.10可知:0x 是E 的聚点, 所以0x E ∈.
充分性. 设E 中任何一个收敛点列必收敛于E 中的一点, 则对任意的0x E '∈, 存在点列{}n x E ?使得0n x x →()n →∞, 由假设知0x E ∈。所以E E '?, 即E 为闭集.
2．证明：?
E 是含于E 内的一切开集的并．
证明 设{}F αα∈∧, 为所有含于E 内的开集所组成的集合, 则F E α?(任意的α∈∧).
记F F αα
=
, 下证F E =。一方面, E 显然是一个含于E 的开集, 所以E F ?。另一方
面, α?∈Λ，有F E α?,从而F E α?。但是F F α=(F α为开集), 所以F F E αα=?.因此，F F E αα
=
? 。因此E F =.
3．证明：E 是包含E 的一切闭集的交．
证明 设{}F αα∈∧为所有包含了E 的闭集之集, 则E F α?(任意的α∈∧). 记
F F αα
=
，下证F E =. 一方面，E 显然是一个含E 的闭集，所以E F ?。另一方面, 对
α?∈Λ，有E F α?，从而E F α?。但F F αα= (F α为闭集), 所以E F α?（α?∈Λ）。 因此，E F ?. 故F E =.
4．设R ?F 是非空有界闭集，令,sup ,inf F F a ==β证明：F a ∈β,．
证明 F x ∈?>?,0ε使得εα+ x αεαε-<<+, 于是(,)x B αε∈，因此(,)B F αε=?. 再由ε的任意性知F F α∈=. 同理可得：,,0F y ∈?>?δ使得,y βδββδ-<≤<+ 所以(,)y B βδ∈. 因此， 知(,) B F βδ≠?. 由δ的任意性知F F β∈=. 5．设}{k G 是渐张开集列，令k k G G ∞==1 ，点集F 是有界闭集且G F ?．证明：存在自然数0k ，当0k k ≥时，有k G F ?． 证明 由F 是有界集, ? F 1k k G ∞=, 必存在},,,{21n k k k 使得? F 1 i n k k G =. 又因为 n k G G G ??? 21, 所以?F n i k n i K G G == 1 . 取01,n k k =+则当0k k ≥时，有k G F ?. 6．证明：n R 中的任何闭集F 都可表示为可数个开集的交；n R 中的任何开集G 都可表示为可数个闭集的并． 提示：考虑)1,(n x B G F x n ∈= ． 证明 当F 为空集时，显然。下设F 为非空集。令)1,(n x B G F x n ∈= ，则 (1,2,)n F G n ?=，从而 ∞=?1 n n G F . 另一方面， 设01 n n x G ∞ =∈，则,n ?有0n x G ∈, 所 以n x F ?∈,使得01 (,)n x B x n ∈, 即01 (,)n d x x n <. 当∞→n , 则0n x x →. 由于F 是闭集, 必有0x F ∈. 因此 ∞=?1 n n F G . 综上可知： 1 n n G F ∞ ==。 对n R 中的任何开集G ，:c F G =为闭集，从而由已证结论知：存在一列开集{}n G 使得 1 n n G F ∞==，所以1 c c n n G F G ∞ === .显然，c n G 都是闭集。 7．设E 是n R 中的点集，证明：b E 是闭集． 证明 因为b E E E =__ 且?=b E E ,所以c b E E E E E )(\__ __ ==,故b E 是闭 集. 8．设m n B A R R ??,是两个有界闭集，证明： },:),{(B y A x y x B A ∈∈=? 是m n +R 中的有界闭集． 证明 有界性. 因为,A B 有界, 所以存在,M N 0>使得对任意的x A ∈,有(,0),d x M ≤对任意的y B ∈, 有(,0)d y N ≤, 从而任意的(,)x y A B ∈?，有 ((,),0)d x y =≤, 于是A B ?且有界的 闭性. 设1{(,)}k k k x y ∞ =为A B ?中的收敛点列，且 (,)(,)()n m n m k k x y x y k +→??=→∞R R R . 由于 (,),(,)((,),(,))0()k k k k d x x d y y d x y x y k ≤→→∞, 可见()k x x k →→∞，()k y y k →→∞. 因为,A B 为闭集，所以x A ∈，y B ∈即 (,)x y A B ∈?, 故A B ?为闭集. 9．两个完备集的交集是否一定是完备集？两个完备集的并集是否一定是完备集？可数多个完备集的并集呢？ 证明 两个完备集的交集不一定是完备集，如}1{]2,1[]1,0[= 不完备. 两个完备集的并集是完备集. 事实上，设,n E F ?R 完备，则 ,)(F E F E F E =''=' 所以F E 是完备的. 可数个完备集的并集不一定是完备集. 如： )1,0(]2 11,11[ 1 =+-+∞ = n n n 不完备. 10．若G 是n R 中的开集，证明：G G '=． 11．设f 在整个数轴上有定义，其函数值只取整数，证明：f 的连续点之集f C 是开集，间断点之集f D 是闭集． 证明 设A 表示f 的连续点之集, 则0x A ?∈, 有 0()f x n =)(为整数n 。 对于0.1ε=，0>?δ使得0(,),x B x δ?∈有0|()()||()|0.11f x f x f x n -=-<<. 因为 ()f x 为整数，所以，0(,),x B x δ?∈有()f x n =。因此，0(,)B x A δ?, 故A 为开集. 进 而，f 的间断点之集c A 是闭集. 12．证明：直线上任何一列稠密开集的交集是稠密的δG 型集,即若),2,1( =?k G k R 为开集且),2,1( ==k G k R ，则 1 k k G ∞==R . 证明 设00(,)I a b =为直线上任一有限开区间，则由1G =R 知：1I G 为非空开集， 从而存在闭区间111[,]a b I G ?使得111b a -<。再由2G =R 知： 112(,)a b G 为非空开集，从而存在闭区间22112[,](,) a b a b G ?使得1222b a --<。如此可得闭区间列{[,]}n n a b 满 足： 1111[,](,),(1,2,)n n n n n n n a b a b G b a n n -+++?-<=。 根据闭区间套定理知：存在唯一一点[,](1,2, )n n c a b n ∈=。因为 [,](1,2,)n n n a b G n ?=， 从而(1,2, )n c G n ∈=，即1 n n c G ∞=∈ 。又由111[,]c a b I G ∈?知，c I ∈。因此， 1n n c I G ∞=??∈ ??? 。所以，1n n I G ∞=?? ≠? ???。这就证明了1n n G ∞ ==R 。 13. 全体有理点之集Q 不是δG 型集；全体无理点之集c Q 不是σF 型集。 证明 假设全体有理点之集Q 是δG 型集，则存在开集(1,2, )n G n =使得Q = 1 n n G ∞=。 由于n G ?Q ，所以),2,1( ==k G k R 。令n n F G =，则n F 为开集且 (1,2,)k k F G k ====R ，且 1 1 1 (2)2c n n n n n n F G G ∞∞ ∞==== += +=?Q Q 。 所以 11n n n n G F ∞∞==???? =? ? ????? 。 记221,(1,2, )k k k k H F H G k -===，则k H 是开集且(1,2,)k H k ==R ，但是， 1n n H ∞ ==11n n n n G F ∞∞==???? =? ? ????? 。 这与习题12的结论矛盾. 这就证明了：全体有理点之集Q 不是δG 型集；从而，全体无理 点之集c Q 不是σF 型集。 14. 证明：]1,0[中的全体无理点之集[0,1] c Q 不是σF 型集． 证明 假设不然，则存在闭集(1,2, )n F n =使得[0,1]c Q = 1 n n F ∞=。令 ()2n f x n x n =-，则()n n f F 为闭集(1,2,)n =，且 [,]([0,1]) ()([0,1])c c c n n n n n f f f -=== Q Q Q 1 ()n k k f F ∞=。 因此， ()1 11 [,]()c c n k n n k n n f F ∞∞∞ ==== -= Q Q 。 容易看出：()n k f F 都是闭集。因而，全体无理点之集c Q 也是σF 型集。这与习题13的结论 矛盾。 15．设D 是由]1,0[中所有三进无穷小数表示不含1的点之集，证明：c D =． 证明 对任一x D ∈，令其三进无穷小数表示为 12 0.n x x x x = 其中{0,2}(1,2, )i x i ∈=。令1,2; 0,0, i i i x y x =?=?=?12 ()0.n f x y y y =，则得到一个双射 :[0,1]f D →。从而，[0,1]D c ==。 习题2.3 1．若开圆族}{λO 覆盖了集E ，则对应的闭圆族是否一定覆盖E ? 答 不一定。例如，取12{,, ,,},n E x x x ==Q 令(2,2)k k k k k G x x --=-+，则 1 k k E G ∞=? 。但是，1 1, [2,2]k k k k k k k E G x x ∞∞ --==== -+R 。假设1 k k E G ∞=?，则 1 [0,1](32,32)k k k k k x x ∞ --=?? -?+?R 。 根据有限覆盖定理知：存在自然数N 使得 1 [0,7](32,32)N k k k k k x x --=? -?+?。 令(32,32)k k k k k I x x --=-?+?，则1 [0,7]N k k I =?。取有限开区间1 (,)N k k a b I =? 。从而， [0,7]1 k N I k χχ=?∑。于是，有 [0,7]1 1 113 7()d ()d ()d 62 k k N N N b b b k I I a a a k k k x x x x x x χχχ-====≤∑=∑=∑ k k E G ∞=≠ 。 2．若I 是开单位正方形，即}10:),,{(1<<=i n x x x I ，如果开球族}{λO 覆盖了I 中的全体有理点之集，试问开球族}{λO 是否一定覆盖I ? 答 不一定。例如，设I 中的全体有理点之集 1212{,, ,,},(,,,)n k k k n k n E I P P P P x x x ===Q ， 取01r <<使得26>1n n n n r r --，作开球(,)k k k O B P r -=，则1k k E O ∞=?。假设1k k I O ∞=?，则 111 [3,2]n k k O ∞--=? 。根据有限覆盖定理知：存在自然数N 使得 1 11[3,2]N n k k O --=? 。 令1 (,)n k k k k k i i i I x r x r --==∏-+，则111 [3,2]N n k k I --=? 。取有限开区间1 N k k I I =? 。从而， 1 1[3 ,2]1 n k N I k χχ--=?∑。于是，有 1 11212[3 ,2]12121 1212 116(,,,)d d d (,, ,)d d d (,, ,)d d d (2)2 <. 1n k k n n n I N n n I I k N n n I I k N k n k n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x r r r χχχ---====≤∑=∑=∑-?????? ?? ? 因此，26<.1n n n n r r --这与26>.1n n n n r r --矛盾。这就证明了1k k I O ∞=?。 3．证明：平面不可能被任意多个互不相交的开圆覆盖． 证明 假设平面可以被一族互不相交的开圆{}I λλ∈O 覆盖，即2 I O λλ∈= R ，则对任一 0I λ∈，有002\{}I O O λ λλλ∈??= ???R 。所以，0 2 \{}\I O O λλλλ∈=R 为闭集，这是不可能的。 4．设Ω集合X 上的一个σ-代数, R →X f :为任一映射, 证明： (1) })(,:{:1 Ω∈?=-Y f Y Y M R 是R 上的一个σ-代数； (2) 以下等价: (i) Ω∈∈?-)(),(1 B f B B 有R ，即()B M ?R ； (此时，称f 为可测空间) ,(ΩX 上的一个随机变量) (ii) ()B O ?∈R ，有1 ()f B -∈Ω，即()O M ?R (iii) Ω∈∞<<<∞-?-)),((,1 b a f b a 有，即()OI M ?R . 证明 （1） 因为1 1(),()X f f --=∈Ω?=?∈ΩR ，所以,M ?∈R 。设Y M ∈， 则1 ()f Y -∈Ω，从而1(())c f Y -∈Ω，即11()(())c c f Y f Y --=∈Ω。可见，c Y M ∈。设 (1,2, )k Y M k ∈=，则1 ()k f Y -∈Ω(1,2,)k =。从而，1 1 11()k k k k f Y f Y ∞∞--==??=∈Ω ??? 。因此， 1 k k Y M ∞ =∈。故M 是R 上的一个σ-代数。 （2） (i)(ii)(iii)??：显然。 (iii)(i)?：设（iii ）成立，则()G O ?∈R ，由定理2.3.4知：G 是有限或可数个开区 间 (,)(1,2, ,)i i a b i d = 之并，其中d ≤∞，即1 (,)d i i i G a b == ，从而 1 11 ()((,))d i i i f G f a b --== ∈Ω。 因此，（ii ）成立。所以，()O M ?R 。因为Borel 代数()B R 是包含所有开集的最小σ-代数，所以由（1）知()B M ?R ，即（i ）成立。 习题2.4 1．证明：在n R 中既开又闭的点集只有n R 和?． 证明 设E 是n R 中既开又闭的点集，如果它不是n R 和?，则由界点存在定理（定理2.1.3）知它至少有界点0P 。因为它是闭集，所以0P E ∈。又因为E 是开集，所以存在 0(,)B P r E ?。这与0P 是E 的界点矛盾。因此，n E =R 或E =?。