阎守胜答案
固体物理基础习题解答
第一章 金属自由电子气体模型
思 考 题
1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?
[解答]
金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目
1/)(+=-T
k E E B
F e g
n ,
g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数
11
)(/)(+=-T
k E E B
F e E f
是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.
2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?
[解答]
晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数
11
/-=T
k i B i e n ω .
从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.
3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?
[解答]
自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?
[解答] 费密能级
3/2220)3(2πn m E F
=,
其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.
5.为什么温度升高, 费密能反而降低?
[解答]
当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附
近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.
6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?
[解答]
由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.
价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式
3/120)3(πn k F =
可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就
越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0
F E , 而费密能又正比与电子浓度3
/2n
:
()
3
/22
2
032πn m
E F
=,
()
3
/22
2
0310353πn m
E E
F ==.
所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.
7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?
[解答]
对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.
对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式
)(0
0ε???+
=v τe E f f f
可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移
)(0
ε???v τe E f
部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态
能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式
x
k S
x
x E
S
v e j F
ετπ?=
?d 422
2
和立方结构金属的电导率
E S v e k S x
F ?=?d 4222τπσ
看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.
总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热
和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.
8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?
[解答]
电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且
1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金
属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.
9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?
[解答]
两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高
于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0
F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0
F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未
达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为
2
T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.
10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?
[解答]
如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率
εe t -=d d k .
上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有
外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?
[解答]
电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径
3/12)3(πn k F =.
可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.
12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?
[解答]
设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.
若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为
由于F k k k ==', 所以
F F k q k q 222
sin
=
=
θ
.
在常温下, 由于q < F F k q k q == θ. 由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2 T 之差是何原因? [解答] 按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热 3 4) (512D B V T Nk C Θπ=. 而声子的浓度 ??-= -=m B m B T k p T k c e v e D V n ωωωωω ωπωω0 /2320 /1 d 231 d )(1 , 作变量变换 T k x B ω = , 得到甚低温下 33 323 2T v Ak n p B π= , 其中 ?∞ -=021d x e x x A . 可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动 量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2 T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方 2 8 622 0/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =?????? ??????--=??ωωωωωωωω , 其中 ??∞∞ --=02 031 d 1d x x e x x e x x B 。 14.霍耳电场与洛伦兹力有何关系? [解答] 霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的. 设金属的长度方向为x 轴, 电场ε沿x 方向, 磁场B 沿z 轴方向, 金属的宽度方向为y 轴方向. 在此情况下, 运动的电子将受到洛伦兹力 )(B v F ?-=e 的作用. 该作用力指向负y 方向, 使电子在运动过程中向负y 方向偏转, 致使负y 侧面的电子浓度增大, 正y 侧面的电子浓度减小. 其结果, 如下图所示, 使得导体的宽度方向产生 了一个附加电场 y ε, 即霍耳电场. 15.如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴? [解答] 由(6.109)可以看出, 电子导电材料的霍耳系数是一负值. 通过实验测定出材料的霍耳系数, 若霍耳系数是负值, 则可断定载流子是电子, 若霍耳系数是正值, 则可断定载流子是空穴. 16.磁场与电场, 哪一种场对电子分布函数的影响大? 为什么? [解答] 磁场与电场相比较, 电场对电子分布函数的影响大. 因为磁场对电子的作用是洛伦兹力, 洛伦兹力只改变电子运动方向, 并不对电子做功. 也就是说, 当只有磁场情况下, 非磁性金属中价电子的分布函数不会改变. 但在磁场与电场同时存在的情况下, 由于产生了附加霍耳电场, 磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来. 但与电场相比, 磁场对电子分布函数的影响要弱得多. 17.为什么在开路状态下, 传导电子能传输热流? [解答] 在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 说明单位时间内由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子数, 等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子数. 但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能, 高于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能. 也就是说, 尽管在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 但仍有热能由温度高的区域传输到温度低的区域. 18.电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么? [解答] 以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是 x x j σε= . 可见, 电场强度x ε一定, 电导σ大, 电流密度x j 就大. 电导σ成为金属通流能力的量度. 热导系数与热能流密度的关系是 x T k q x d d -=. 可见, 温度梯度一定, 热导系数k 大, 热能流密度x q 就大. 热导系数k 成为金属传输热能 流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大. 另外, 由(6.126)可知, 金属的热导系数 ???? ? ?==* 2222*2233m ne e T k m T n k k F B F B τπτπ. 对于立方晶系金属来说 στ=???? ? ?*2m ne F . 可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大. 1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1） 电子气体的压强)/()3/2(0V p ε?=，其中0ε为电子气体的基态能量。 （2） 体积弹性模量)/(V p V K ??-=为V 9/100ε。 证明：（1）电子气体的基态能量（即绝对零度时的内能） ()() ()F F F F F N n V g V d m V d g V F F εεεεεε ε πεεεεεεε5 323525221 22 2 1 33200=?==??????==?? （1） 而 m k F F 22 2 =ε （2） V N k F 2 3 3π = （3） 综合（1）、（2）、（3）可得 3 2 2 20325 3 ??? ? ??=V N m N πε （4） 所以压强为 )/()3/2(00V V p N εε?=??? ????-= （5） （2）对于自由电子气体 m k V F 1015 220 πε= （6） 而费米波矢k F 与体积V 的关系为 N k V F =??3 33482ππ （7） 所以 3 5 222)3(10132V N m p ππ = （8） 代入模量表达式得 V V N m V N m V V p V K 0 3 5 2 22 36 3 5 222910)3(101910) 1()3)(35(10132()/(εππππ= = --=??-= （9） 1.2 3He 原子是具有自旋1/2的费米子，在绝对零度附近，液体3He 的密度为 0.081g ·cm -3。计算费米能量εF 和费米温度T F 。3 He 原子的质量为m ≈5×10-24g 。 解：3He 原子密度为： 32224 1062.110 5081 .0--?=?= = cm m n m ρ 电子密度和费米波矢的关系为： n k F 23 3π= （2） 所以费米波矢为 17321072.73-?==cm n k F π （3） 费米能量为 eV g cm s eV m k F F 424 2 172162 21020.41052)1072.7()1058.6(2----?=?????== ε （4） 费米温度为 K K eV eV k T B F F 86.410617.81020.4/1 54=???= =---ε （5） 1.3 低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为 T C e 08.2=11--??K mol mJ ，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度T F 及 费米面上的态密度g(εF )。 解：电子热容量与费米温度关系为 F B e A V T T nk C N n C 22π== （1） 钾的电子密度为 3221040.1-?=cm n （2） 所以费米温度为 K K m o l mJ T TK K J mol C T k N T e B A F 41 11231 23 2 2 1097.1)(08.21038.11002.622 ?=????????== -----ππ （3） 电子热容量与费米面上的态密度的关系为 T g k C N n C F B e A V )(32 2επ== （4） 所以费米面上态密度为 T k N nC g B A e F 2 2 3 )(πε= 3 121314012321232 3 22111020.61072.71002.6)1038.1(3 1040.1)(08.2----------?=??=?????????= cm eV cm J mol K J T cm K mol mJ T π （5） 1.4 铜的密度为3/95.8cm g m =ρ，室温下的电阻率为cm ?Ω?=-61055.1ρ。计算 （1） 导电电子浓度； （2） 弛豫时间； （3） 费米能量F ε，费米速度F v ； （4） 费米面上的电子平均自由程F l 。 解：（1）导电电子浓度为 3 2211 2331048.85.631002.6/95.8----?=???= = cm mol g mol cm g N A n A m ρ （1） （2）电导率与弛豫时间关系是 m ne τ ρσ21 == （2） 由此可得，弛豫时间为 s cm C cm g ne m 1462193222821070.21055.1)106.1(1048.8101.9-----?=?Ω??????== ρ τ（3） （3）费米波矢和电子密度之间关系为 n k F 23 3π= （4） 由此可得铜的费米波矢为 1 833222321035.11028.833--?=???==cm cm n k F ππ （5） 费米能量为 2 2222222mc k c m k F F F ==ε =eV cm eV nm 62 18210511.02)1035.1()197(?????- （6） =6.92eV 费米速度为 1 8281056.1)101.9/(92.62/2--??=??==s cm g eV m v F F ε （7） （4）费米面上的平均自由程为 nm v l F F 2.411070.21056.1148=???==-τ （8） 1.5 考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀 正电荷背景有一小的整体位移，证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这 一小振动问题的特征频率。 解： 1.6 在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的？ 解：金属Al 的电子密度 322101.18-?=cm n （1） 对应的特征频率 1 1628212122 1932202 1040.2101.91085.8)106.1(101.18-------??=????????=∈= s rad g m N C C cm m ne p ω （2） 相应波长 nm s s m c p 5.781040.2100.3221 1618=????= = --πωπλ （3） 当满足 p ωω> （4） 时，金属Al 是透明的。此时波长应小于78.5nm 。 1.7 对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化， 即横向磁阻为零。 解： 1.8 对于表面在0=z 和L z =之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒 （1）证明单电子波函数比例于 )](ex p[sin y k x k i z k y x z + （2）证明在金属内r 处的电荷密度为 ]/)(31[)(10u u j r -=ρρ 其中z k u F 2=，0ρ是波函数比例于)](ex p[z k y k x k i z y x ++时的电荷密度，1j 是 一级球贝塞尔函数。 第二章 晶体的结构 2.1 证明对于六角密堆积结构，理想的a c /比为（8/3）2/1≈1.633 . 又：金属Na 在273K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属 的密度维持不变，已知立方相的晶格常数0=a .423nm ，设六角密堆积结构相 的a c /维持理想值，试求其晶格常数。 解：理想的六角米堆积构成的六角棱柱如右图所示 其中每4个不共面的近邻原子构成一个边长为a 的 正四面体，而c 正好是正四面体高的两倍，可以求 得正四面体的高为a 32，所以 633.138/≈=a c 体心立方每个单胞的体积为 ()333 07569.0423.0nm a V bcc bcc === 每个单胞中含有两个原子，所以原子密度为 342.2607569.02-=nm 六角密堆积的单胞体积为 32 232 3216a c a V hcp =??= 每个单胞里有6个原子，所以原子密度为 332)23/(6-=a a 要求密度相等，相当于原子密度不变 42.2623=-a 六角密堆积的晶格常数 nm c nm a 615.0,377.0== 2.2 证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子，并给出其倒格 子的晶格常数。 解：简单六角的基矢可以选为 z c a y a x a a x a a =+==321232 单胞体积为 ()c a a a a 23212 3=??=Ω 倒格基矢应为 ()() ()z c a a b y a a a b y x a y a x a a a b ππππππππ223342)2123(33433222213132321=Ω ?==Ω?= -=-=Ω?= 符合简单六角基矢特点，所以到给仍为简单六角，晶格常数分别为 a 334π 和c π2。 2.3 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上 原子排列。 解： 2.4指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）的交线的晶向。 解： 2.5如将布拉维格子的格点位置在直角坐标系中用一组数（321,,n n n ）表示，证明：（1）对于体心立方格子，i n 全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子， i n 的和为偶数。 解：（1）体心立方格子基矢 )(2 1x z y a a -+= )(2 2y x z a a -+= )(2 3z y x a a -+= 任意格矢可写为 332211a m a m a m R m ++= 代入具体的基矢 z m m m a y m m m a x m m m a R m )(2 )(2)(2321213132-++-++-+= 即 3 21321321321m m m n m m m n m m m n -+=-+=-+= 当1m ，2m ，3m 为全奇或一奇二偶时，1n ，2n ，3n 全为奇数；当1m ，2m ，3 m 为全偶或二奇一偶时，1n ，2n ，3n 全为偶数。 （2）体心立方格子基矢 )(2 1z y a a += )(2 2x z a a += )(2 3y x a a += 任意格矢可写为 332211a m a m a m R m ++= 代入具体的基矢 z m m a y m m a x m m a R m )(2 )(2)(2211332+++++= 即 2 13132321m m n m m n m m n +=+=+= 三数之和 )(2321321m m m n n n ++=++ 2.6可在面心立方晶体中掺入外来院子，掺杂原子填入四面体或八面体为止，即掺杂原子周围的晶格原子分别处于正四面体和正八面体的顶点位置上。试给出这些间隙位置的所在。 解： 2.7算出图2.1所示二维蜂房格子的几何结构因子。 解：A 原子和B 原子不等效，看作一个基元，原胞中包含这两个原子，取基矢如右图，并定为 x a a =1 y a x a a 2 322+ = 根据ij j i b a πδ2= 得 )2123(33433221y x a y a x a b -=-=πππ y a b 3342π= 倒格矢可写为i y h h a x a h b h b h G h )2(33221212211-+=+=ππ 原胞中两原子位矢 01=d y a x a d 6 322+ = 几何结构因子 )1()(3 2 121πh h j d G j e f e f S j h +-?-+==∑ 2.8已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为21,a a 和3a ，现测知该晶体的某一晶面法 线与三基矢夹角为βα,和γ。试求该晶面的面指数。 解： 2.9证明六角晶体的介电常数张量为 ? ?? ?? ??⊥⊥εεε000000 // 解：对于六角晶体，绕六重轴的转动操作可写为 ????? ??? ? ?-=Γ3c o s 3s i n 03s i n 3c o s 0001πππ π 此操作为对称操作，可使得 ∑ΓΓ=mn mn jn im ij εε 由上式得 ??? ? ? ? ?=⊥⊥εεεε0000 00 // 2.10对于一个三主轴方向周期分别为b a ,和c 的正交简单晶格，当入射X 射线与[100]方向（其重复周期为a ）一致时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X 射线波长才能观察到极大？ 解： 2.11对一双原子线，设AB 键长为2/a ，取AB ABAB 排列，原子B A ,的形状因子分别是B A f f ,，入射X 射线束垂直于原子线 （1）证明干涉条件为θλcos a n =，其中θ为衍射束与原子线的夹角； （2）倒格矢hb G =，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于 2b A f f -，h 为偶数时衍射束的强度正比于2 b A f f +； （3）说明B A f f =时会出现什么现象。 解：（1） 第三章 能带论I 3.1电子在周期场中的势能函数 ()()[] ()?? ???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b m x V 1,0,2 1222ω 其中b a 4=，ω为常数 （1）画出此势能曲线，并求其平均值； （2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个近代的宽度。 解：（1）画出势能曲线如下图 势能为周期函数，平均势能可以是在一个周期求平均得到的结果 () 2 23222 2222613121412 141)(41b m x x b m b dx x b m b dx x V b V b b b b b b ωωω=????????? ? ?-=-==---?? （2）晶体的第一个禁带宽度112V g =ε，第二个禁带宽度222V g =ε，其中 21,V V 分别是势能函数)(x V 的傅立叶展开系数 ()2 23222222214 )(214141b m dx e x b m b dx e x V b V x a i b b x a i b b ωπ ωπ π =-==----?? ()= -==----??dx e x b m b dx e x V b V x a i b b x a i b b ππω42224222)(2 14141 禁带宽度分别为 22318 b m g ωπ ε= 3.2设有二维正方晶格，其晶格势场为 )/2cos()/2cos(4),(a y a x U y x V ππ-= 按弱周期场近似，求出布里渊区角处)/,/(a a ππ的能隙。 解: 晶格势场可以变形为 ))((),(2222y a i y a i x a i x a i e e e e U y x V ππππ--++-= 将上式展开得 )(),()(2)(2)(2)(2y x a i y x a i y x a i y x a i e e e e U y x V --+--++++-=π π π π 在二维晶格空间中 j y i x r ??+= 倒格矢 )??(221j b i b a G +=π 21,b b 为整数 势能函数的泰勒展开式为 r G i G G e V V ?∑= 和前面得到的势能形式对比，可知 r G i G r G i G r G i G r G i G e V e V e V e V V ????--------+++=1,11 ,11,11 ,11,11 ,11,11 ,1 其他倒格矢对应的项都为零，只有)??(21,1j i a G +=π ，)? ?(21,1j i a G -=-π ， )??(21,1j i a G +-=-π ，)??(21,1j i a G --=--π 对应的项存在， U V V V V G G G G -====----1 ,11,11,11,1 所以在布里渊区角处)/,/(a a ππ的能隙为 U V G g 2211 == ε 3.4考虑晶格常数为a 和c 的三维简单六角晶体的第一布里渊区。令G c 为平行于 晶格c 轴的最短倒格矢。 （1）证明对于六角密堆积结构，晶体势场V(r)的傅里叶分量V(G c )为零。 （2）V(2G c )是否也为零？ （3）为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？ （4）为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？ 解：（1）简单六角的基矢为 x a a ?1= ，y a x a a ?2 3?22+= ， z c a ?3= 六角密堆积每个基元中有2个原子，坐标分别为)0,0,0(和)2 1 ,21,21(, 而z c G c ?2π= ，j c d G i c j j c e G V G V ?-∑=)()(，这两个原子的)(c j G V 相 同，所以 0]1)[(]1)[()(1)?2 ?43?43()?2(1=+=+=-++?-ππi c z c y x a z c i c c e G V e G V G V （2）六角密堆积中 0)2(2]1)[2()2(1)?2 ?43?4 3(?41≠=+=++?-c z c y x a z c i c c G V e G V G V π （3）对于处于简单六角点阵上的二价原子，每个初基晶胞中一个二价原子，这样N 个初基晶胞中共有2N 个价电子，刚好可以填满第一布里渊区的一个能带。故原则上可以成为绝缘体。 （4）对于处于六角密堆积点阵上的单价原子，每个初基晶胞中有两个单价原子，这样N 个初基晶胞中共有2N 个价电子，而第一布里渊区的一个能带可以填4N 个电子,不可能成为绝缘体。 第四章 能带论II 4.1一维晶体的电子能带可以写成 ]2c o s )8/1(c o s 8/7)[/(22ka ka ma k +-= ε 其中a 为晶格常数，试求（1）能带宽度；（2）电子速度（3）能带底部和顶部电 子的有效质量。 解：（1）0=k 是能带具有最小值0)0(=ε a k /π=时，能带具有最大值2 22)(ma k =ε 所以能带宽度为2 2 2ma （2）电子在波矢k 状态时的速度为 )2s i n 4 1 (s i n )(1ka ka ma dk k d v k -== ε （3）电子的有效质量的倒数为 )2c o s 2 1(c o s 1)(1*1222ka ka m dk k d m -==ε 0=k 时，有效质量m m 2*= a k /π=时，有效质量m m 3 2 *-= 4.3在金属铋的倒带底，有效质量张量有如下形式 ???? ? ??zz zy yz yy xx ααααα0000 且zy yz αα=，试求有效质量张量的各元素。 解：设有效质量张量为 ???? ? ??**** ***** zz zy zx yz yy yx xz xy xx m m m m m m m m m 可以得 ????? ? ?=????? ??????? ??1000100010000**** ** *** zz zy yz yy xx zz zy zx yz yy yx xz xy xx m m m m m m m m m ααααα 即 1*=xx xx m α， 0**=+zy xz yy xy m m αα，0**=+zz xz yz xy m m αα， 0* =xx yx m α， 1**=+zy yz yy yy m m αα， 0* *=+zz yz yz yy m m αα 0*=xx zx m α，0**=+zy zz yy zy m m αα，1* *=+zz zz yz zy m m αα 由此可以解得 xx xx m α1 *= ，0* ***====zx yx xz xy m m m m ，2 *yz zz yy zz yy m αααα-= ， 2 * yz zz yy yy zz m αααα-=，2* *yz zz yy yz zy yz m m αααα--== 即有效质量张量为 ???? ????? ? ? ?------222 2 000 01yz zz yy yy yz zz yy yz yz zz yy yz yz zz yy zz xx ααααααααααααααααα 第五章 晶格振动 5.2从有关一维双原子链晶格振动的结果, ()? ? ????????????????? ??+-±+=±21 22 221sin 411qa M m mM mM M m βω 说明当两原子质量M m =时,结果回到一维单原子链情形. 解：当M m =时 ???? ? ???? ??±=? ??? ??????????????? ??-±=±qa M qa M 21cos 12 21sin 11221 2 2β βω 5.3一维双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交替的等于c 和c 10。令原子质量相同，且最近邻距为2/a ，试求在0=q 和a q /π=处的)(q ω。 解：一维双原子链示意图如下 n-1,1 n-1,2 n,1 n,2 n+1,1 n+1,2 c 10c c 10c c 只考虑最近邻作用，此双原子链的运动方程为 )()(101,2,1,2,11,n n n n n u u c u u c mu -+-=- )(10)(2,1,12,1,2,n n n n n u u c u u c mu -+-=+ 取其解的形式为 )(1,t qna i n Ae u ω-= )(2,t qna i n Be u ω-= 代入运动方程可得 0)101()11(2=++--B e c A c m iqa ω 0)11()101(2=-++B c m A e c iqa ω 有解条件是下列行列式为零 011) 101()101(112 2=-++--c m e c e c c m iqa iqa ωω 由此可以解得 })]2 1 (sin 40121[11{21 22qa m c -±=± ω 0=q 时有 m c 22= +ω 0=-ω a q /π=时有 m c 20= +ω m c 2=-ω 5.7考虑一个全同原子组成的平面方格子，用u l,m 记第1列，第m 行的原子垂直 于格平面的位移，每个原子质量为M ，最近邻原子的力常数为β。（1）证明运动方程为 )]2()2[()/(,1,1,,,1,12,2m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u dt u d M -++-+=-+-+β (2)设解的形式为)](ex p[)0(,t a mq a lq i u u y x m l ω-+=，这里a 是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的，如果)cos cos 2(22a q a q M y x --=βω,这就是问题的色散关系。 （3）证明独立解存在的q 空间区域是一个边长为a /2π的正方形，这是平面方格子的第一布里渊区。画出x q q =，而0=y q 时，和y x q q =时的)(q ω图。 （4）对于qa<<1,证明 q M a q q M a y x 2/122 /1222/12)/()()/(ββω=+=。 （5）在第一布里渊区中划出一些等ω线，其中包括通过点（0,/==y x q a q π）的，并请标出ω的极大点、极小点和鞍点。 解：（1 平面格子如上图，每个格点周围有四个最近邻，相互作用分别为 )(,,1m l m l u u --β，)(,,1m l m l u u -+β，)(,1,m l m l u u --β， )(,1,m l m l u u -+β，所以运动方程可写为 )2[()/(,,1,12,2m l m l m l m l u u u dt u d M -+=-+β )]2(,1,1,m l m l m l u u u -++-+ （2）设解的形式为 )](ex p[)0(,t a mq a lq i u u y x m l ω-+= 代入运动方程可得 )4(2a iq a iq a iq a iq y y x x e e e e M ------=βω 即色散关系为 )c o s c o s 2(22a q a q M y x --=βω （3）从色散关系和解的形式可以看出他们均为周期为a /2π的 周期函数，y x q q ,的取值范围为 a q a x π π < <- ，a q a y π π < <- 这就是平面格子的第一部里渊区，是一个边长为a /2π的 正方形。 若x q q =， 0=y q 则 )c o s 1(22qa M -= β ω 若y x q q =则 l l m l-l ,m-1 l +1 )2 2c o s 1(4)c o s 1(42qa M a q M x -=-= ββω 画出)(q ω图如下 （4）若1< ])2 1()21[(4)21sin 21(sin 422222a q a q M a q a q M y x x x +=+= ββω )(2 22 y x q q M a +=β 所以 q M a q q M a y x 2/122 /1222/12)/()()/(ββω=+= 第六章 输运性质 6.4如有浓度和电荷分别为11e n 和22e n 的两种载流子存在时，给出高场时的霍尔系数的表达式，当02211=+e n e n ，即两种载流子相补偿时，情况又如何？ 解：两带模型下的电流密度可以写为 y c c c c x c c x E E J ???? ? ?+++-???? ??+++=22222 2222021212121102222202121101111τωτωστωτωστωστωσ y c c x c c c c y E E J ???? ? ?++++???? ??+++=22222021211022222 2222021212121101111τωστωστωτωστωτωσ 高场下可化为 ()( ) y c c x c c x E E J 1 21220111110222220212110--------+-+=τωστωστωστωσ ()()y c c x c c y E E J 22 222021211012 1220111110--------+++=τωστωσ τωστωσ 达到平衡时，0=y J y c c c c x E E 1 2 12201111102 2 2220212110-------++--=τωστωστωστωσ 只有x 方向有电流 y c c x E J 1 21220111110----+-=τωστωσ 按霍尔系数定义x y H BJ E R /=，可得 2 2111 e n e n R H +- = ω q q=q x , q y =0 q x =q y 1。晶体结构中，常见的考题是正格子和倒格子之间的相互关系， 布里渊区的特点及边界方程，原胞和晶胞的区别，晶面指数和晶向指数，面间距的计算，比如面心立方的倒格子是体心立方，算 晶体结构中a/c，求米勒指数，以及表面驰豫和重构等等， 拔高一点的话，可以考二维或三维的对称性操作，叫你写出点群， 空间群甚至磁群。也可以考原子形状因子和几何结构因子。 要特别注意x射线衍射得到的是倒空间中的照片。 再拔高一点，可以考你准长程序的作用范围。让你求 径向分布函数，回答测量非晶的实验方法，以及准晶 和非晶的问题（penrose堆砌等，一般是定性的问答题） 2。固体的结合是主要做化学键和弱的非键电磁相互作用 （注意不是弱相互作用！！）的计算，注意马德隆能的计算 和晶体结构中计算次序的画法，然后要牢记born-mayer势 和lenard-johns势等。并用它来计算一些物理量如分子间的 平衡位置，分子间力和弹性模量甚至摩擦力等，并不容易。 3。晶格动力学和晶格热力学是晶格理论的核心和灵魂。 求解一维单原子链最简单。一般考试时会让我们算质量不一样， 或弹性系数不一样，或两者都不一样的一维双原子链，还会要 我们回答声学波和光学波的特点，并让我们做色散关系的图的。 拔高一点的话，可以出带电荷的一维双原子链，以及二三维 和多原子链的情形，不过考的可能性不是太大，如果两节课 算不完的话。 双原子链可以退化为单原子链，这个很基本，几乎必考。 晶格振动谱有一本专著，就叫《晶格振动光谱学》，高教出的。 声子的正过程和倒逆过程是德文，这个记不住就对不住观众了， 一般会问他们之间的差别，那个过程对热导没有贡献。 计算晶体热容时，重点掌握debye模型和einstein模型，后者 最基本，前者考试考得最多。用德拜模型算态密度，零点能， 比热，声速以及其高低温极限是必考内容，注意死背debye积分 （由Reman积分和Zeta积分构成），一定要记得结果。 热膨胀是非线性作用的后果，会计算格林爱森常数。 4。晶体中的缺陷理论也很重要。 缺陷的分类，0，1，2维缺陷的实例； 小角晶界与刃位错，晶体生长与螺位错 之间的关系需要熟练掌握。可能还要掌握 伯格斯矢量，伯格斯定理和位错， 位错线的画法。这都是很基本的内容。 一般认为，扩散的主导因素是填隙原子。 扩散的分类和扩散方程的求解，可能会结合 点缺陷的寿命来出题。 有时也可能考考色心,主要是F心，画图或问答题。 以上讲的是晶格理论。一般认为 固体物理可以分为晶格理论（含理想晶格理论， 晶格结构，晶格动力学，晶格热力学以及 课程编号：011908 总学分：3学分 固体物理 （Solid-State Physics） 课程性质：学科大类基础课 适用专业：应用物理学专业 学时分配：课程总学时：48学时。其中：理论课学时：46学时（含演示学时）；实验学时：0学时；上机学时：0学时；习题课学时：2学时。 先行、后续课程情况：先行课：高等数学、热力学与统计物理,；后续课：量子力学,原子物理。 教材：《固体物理学》，黄昆，韩汝琦，高等教育出版社 参考书目：《固体物理学》，陆栋，上海科学技术出版社 《固体物理基础》，阎守胜，北京大学出版社 《固体物理简明教程》，蒋平，徐至中，复旦大学出版社 一、课程的目的与任务 固体物理学是应用物理和物理类各专业的一门必修基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程，它的主要内容是研究固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能和用途，尤其以固态电子论和固体的能带理论为主要内容。 通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体结构的基本描述，固体电子论和能带理论，以及实际晶体中的缺陷、杂质、表面和界面对材料性质的影响等，掌握周期性结构的固体材料的常规性质和研究方法，了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课学习打好基础。 二、课程的基本要求 教学内容的基本要求分三级：掌握、理解、了解。 掌握：属于较高要求。对于要求掌握的内容（包括定理、定律、原理等的内容、物理意义及适用条件）都应比较透彻明了，并能熟练地用以分析和计算有关问题，对于能由基本定律导出的定理要求会推导。 理解：属于一般要求。对于要求理解的内容（包括定理、定律、原理等的内容、物理意义及适用条件）都应明了，并能用以分析和计算有关问题。对于能由 1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a , ,互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a , , 晶胞体积abc c b a v ) ( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b abc c b v b 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 3 2 1 而与（hkl）晶面族垂直的倒格矢 2 2 2 3 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl）晶面族的面间距 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 c l b k a h c l b k a h G d 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613 个原子。 （111）面面积 222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414 个原子。 （110）面面积2 22a a a 所以（110）面原子面密度22 )110(2 22a a 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b 次近邻;2,2,,2211b b b b 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b 再再次近邻;3,322b b 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得： 第一布里渊区是一个扁长方形； 第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成； 第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。 141 第六章 自由电子论和电子的输运性质 习题 1. 一金属体积为V ，电子总数为N ，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为 .320 V U P = 其中 .5 300F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350V U P K == 【解 答】 （1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 ,PdV W dU -== 式中P 是电子气的压强.由上式可得 .V U P ??- = 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得 .3253533 22200?? ? ??===πV N m N NE U U F 由此得到 =??-=V U P 0() ().3232 3253053 22 2 V U V N m N =? -π （2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系为 .V K V P -=?? 将 =??V P () ().91035 323253038222V U V N m N -=? --π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 .9100 V U K = 2.二维电子气的能态密度 (),2 πm E N = 证明费米能 ],1ln[2-=T m k n B F B e T k E π 其中 n 为单位面积的电子数. 【解 答】 由已知条件可得单位面积金属的电子总数 ()()().1 2 0? ?∞ -∞ += =T k E E B F e dE m dE E f E N n π 142 作变量变换 ,T k E E x B F -= 则有 ? ? ∞ ---∞ -+= += T k E x x B T E x B B F B F e dx e T mk e dx T mk n 1 12 2 ππ () ( ), 1ln 1ln 22T k E B T k E x B B F B F e T mk e T mk += +- =∞ -- ππ 即 T E B F e +1=T mk n B e 2 π. 由上式解得 ( ) 1ln 2 -=T m k n B F B e T k E π 3.金属膨胀时，价带顶能级 发生移动 V V E E C ?-=?1 证明 .3 21 F E E = 【解 答】 解法一： 金属中自由电子的费米能 () ,3232323 2223 22 2 -=?? ? ??==AV V N m n m E F ππ 可认为是能带顶，式中 () .32222 πN m A = 当金属体积膨胀后，体积由V 变成了V V V ?+='，费米能变成了 ()2-?+='V V A E F () 3 23 21--? ?? ? ??+=V V V A () .3212?? ? ? ??+ ≈-V V V A 费米能的变化量 .32?? ? ???-=-'=?V V E E E E F F F F 与已知条件比较可得 .3 21 F E E = 解法二： 《固体物理学》课程简介 课程内容： 《固体物理学》是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科. 它是应用物理学的专业基础课、必修课. 固体物理学是研究固体的结构及组成粒子之间的相互作用与运动规律的学科，阐明固体的性能和用途，尤其以固态电子论和固体的能带理论为主要内容。通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体结构的基本描述，固体电子论和能带理论，以及实际晶体中的缺陷、杂质、表面和界面对材料性质的影响等，掌握周期性结构的固体材料的常规性质和研究方法，了解固体物理领域的一些新进展. 要求学生深入理解其基本概念，有清楚的物理图象，能够熟练掌握基本的物理方法，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 本课程内容主要包括：晶体结构，固体的结合，晶格振动，晶格缺陷，固体电子论，能带理论 Brief Introduction Course Description: Solid State Physics is one strong branch course of physics for its abundant contents and wide application. It is a basic or compulsory course of Applied Physics. The subject focuses on the relationship between the solid microstructure and particles and the law of their motion. The subject illustrates the solid properties and application, especially solid state theory and band theory. Through all teaching course, students can understand basic description of crystal structure, solid state theory, band theory and the effect of defect, impurity, surface and interface on material properties. Through the teaching course, students can master the general quality and method of periodic structural solid materials. And the students can know the advanced development in solid state physics fields. The students are required to penetrate with basic conception, make clear physical image, master basic physical method skillfully and fall to work on analyzing and solving problem by using the learned knowledge synthetically. The main sections of this course: crystal structure, binding of solid, lattice vibration, lattice defect, solid electronic theory, band theory. 固体物理参考书目 通用教材（近期的和有较大影响的） 1．阎守胜，固体物理基础＊北大出版社 2000 2．陈长乐，国体物理学西北工大出版社 1998 3．黄昆，韩汝琦，国体物理学高等教育出版社 1988第1版， （根据黄昆，国体物理学人民教育出版社 1966版扩充改编） 4．方俊鑫，陆栋，国体物理学（上，下两册）上海科技出版社 1980，1981 （根据谢希德，方俊鑫，国体物理学 1965版扩充改编） 5．顾秉林，王喜坤，固体物理学＊清华大学出版社 1990 6. 王矜奉，固体物理教程（4版）山东大学出版社 2004 （1999年初版） 6．Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 8th ed.John Wiley ﹠ Sons Inc.,2005 （作者是在固体物理研究领域有过重要贡献的美国加州大学Bekeley分校物理学教授， 该书1953年首次出版后受到广泛重视，后于1956，1966，1971，1976，1986，1996， 年不断修订再版，成为大学固体物理的标准教材之一，2005年是第8版。我国曾先 后翻译出版了1956年的第2版和1976年的第5版。） 中译本：固体物理导论（原著8版）化学工业出版社，2005 7． Busch G. Schade H. 固体物理学讲义高等教育出版社 1987 (原文为德文，瑞士联邦技术学院教材，1972) 8．M A Omar Elementary Solid State Physics: Principle and Applications 中译本：固体物理学基础北京师范大学出版社 1987 9．H E Hall Solid State Physics John Wiley ﹠ Sons Ltd 1974 (英国曼彻斯特大学教材) 中译本：固体物理学高等教育出版社 1983 10．N W Ashcroft, N D Mermin Solid State Physics, ＊ 1976 (美国康乃尔大学教材，是公认的固体物理权威著作) 更深入的教材 1．冯端，金国钧，凝聚态物理学（上卷）高等教育出版社 2003 2．J Callaway, Quanyum Theory of The Solid State 1976 中译本：固体量子理论科学出版社 1984 3. O Madelung, Introduction to Solid State Theory Springer 1978 4. J M Ziman, Principles of the Theory of Solid Cambridge University Press 1972 5．William Jones, Norman H March, Theoretical Solid State Physics, Vol 1: The equilibrium properties of perfect crystalline solid Vol 2；The non-equilibrium properties and Disorder John Wiley ﹠ Sons Ltd 1973 7. 李正中固体理论高等教育出版社 1985 8．冯端，金国钧，凝聚态物理新论上海科技出版社 1992固体物理
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